В музыке перестановка ( порядок ) набора — это любой порядок элементов этого набора. [3] Конкретное расположение набора дискретных объектов или параметров , таких как высота тона , динамика или тембр . Различные перестановки могут быть связаны посредством преобразования , посредством применения нуля или более операций , таких как транспонирование , инверсия , ретроградация , круговая перестановка (также называемая вращением ) или мультипликативные операции (такие как цикл преобразований кварт и цикл квинт ). Они могут привести к переупорядочению членов набора или просто отобразить набор сам на себя.
Порядок особенно важен в теориях композиционных техник, возникших в 20 веке, таких как техника двенадцати тонов и сериализм . Аналитические методы, такие как теория множеств, позволяют различать упорядоченные и неупорядоченные коллекции. В традиционной теории такие понятия, как вокализация и форма , включают порядок; например, многие музыкальные формы, такие как рондо , определяются порядком своих разделов.
Перестановки , возникающие в результате применения операций инверсии или ретроградности, классифицируются как инверсии и ретрограды первичной формы соответственно. Применение как инверсии , так и ретроградности к простой форме приводит к ее ретроградным инверсиям , которые считаются отдельным типом перестановки.
Перестановку можно применять и к меньшим наборам. Однако операции преобразования таких меньших наборов не обязательно приводят к перестановке исходного набора. Вот пример неперестановки трихордов с использованием ретроградации, инверсии и ретроградной инверсии, в сочетании в каждом случае с транспозицией, как это обнаружено в тоновом ряду (или двенадцатитоновой серии) из Концерта Антона Веберна : [ 4] ]
Если первые три ноты считать «исходной» клеткой, то следующие 3 — это ее транспонированная ретроградная инверсия (назад и вверх ногами), следующие три — транспонированная ретроградная (назад) и последние 3 — ее транспонированная инверсия. (с ног на голову). [5]
Не все простые ряды имеют одинаковое число вариаций, поскольку транспонированные и обратные преобразования тонового ряда могут быть одинаковыми, что является довольно редким явлением: менее 0,06% всех рядов допускают 24 формы вместо 48. [6]
Одним из методов, облегчающих перестановку двенадцати тонов, является использование числовых значений, соответствующих музыкальным буквам. Первая нота первого из простых чисел, на самом деле простого нуля (обычно ошибочно принимаемого за простое число), обозначается 0. Остальные числа считаются полушаговыми, так что: B = 0, C = 1, C ♯ /D ♭ = 2, D = 3, D ♯ /E ♭ = 4, E = 5, F = 6, F ♯ /G ♭ = 7, G = 8, G ♯ /A ♭ = 9, A = 10 , и A ♯ /B ♭ = 11.
Простой ноль извлекается полностью по выбору композитора. Чтобы получить ретроградное число любого простого числа, числа просто переписываются задом наперед. Чтобы получить инверсию любого простого числа, каждое числовое значение вычитается из 12 и полученное число помещается в соответствующую ячейку матрицы (см. двенадцатитоновую технику ). Ретроградная инверсия — это значения чисел инверсии, считанные задом наперед.
Поэтому:
Заданный простой ноль (полученный из нот Концерта Антона Веберна):
0, 11, 3, 4, 8, 7, 9, 5, 6, 1, 2, 10
Ретроград:
10, 2, 1, 6, 5, 9, 7, 8, 4, 3, 11, 0
Инверсия:
0, 1, 9, 8, 4, 5, 3, 7, 6, 11, 10, 2
Ретроградная инверсия:
2, 10, 11, 6, 7, 3, 5, 4, 8, 9, 1, 0
В более общем смысле, музыкальная перестановка — это любое изменение порядка простой формы упорядоченного набора классов высоты тона [7] или, в отношении двенадцатитоновых рядов, любое упорядочение всего набора, состоящего из целых чисел по модулю 12. [8] В этом отношении музыкальная перестановка — это комбинаторная перестановка математики применительно к музыке. Перестановки никоим образом не ограничиваются двенадцатитоновой серийной и атональной музыкой, но с тем же успехом используются в тональных мелодиях, особенно в XX и XXI веках, особенно в « Вариациях на тему Паганини» Рахманинова для оркестра и фортепиано . [ нужна цитата ]
Циклическая перестановка (также называемая вращением ) [9] — это поддержание исходного порядка ряда тонов с единственным изменением, связанным с начальным классом высоты тона , а исходный порядок следует за ним. Вторичный набор можно рассматривать как циклическую перестановку, начинающуюся с шестого члена гексахордальной комбинаторной строки. Например, ряд тонов из «Лирической сюиты» Берга реализуется тематически, а затем циклически переставляется (0 для справки выделен жирным шрифтом):
5 4 0 9 7 2 8 1 3 6 тэ3 6 тэ 5 4 0 9 7 2 8 1