Теория музыкальных множеств предлагает концепции категоризации музыкальных объектов и описания их отношений. Говард Хэнсон первым разработал многие концепции анализа тональной музыки. [2] Другие теоретики, такие как Аллен Форте , далее развили теорию анализа атональной музыки, [3] опираясь на теорию двенадцати тонов Милтона Бэббита . Понятия теории музыкальных множеств очень общие и могут быть применены к тональным и атональным стилям в любой равнотемперированной системе настройки, а также, в некоторой степени, в более общем плане.
Одна ветвь теории музыкальных множеств имеет дело с коллекциями ( наборами и перестановками ) звуковых частот и классов высоты тона ( теория множеств звуковых классов ), которые могут быть упорядочены или неупорядочены и могут быть связаны с помощью музыкальных операций, таких как транспонирование , мелодическая инверсия и дополнение . . Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств и для анализа ритма .
Хотя часто считается, что теория музыкальных множеств предполагает применение математической теории множеств к музыке, между этими двумя методами и терминологией существует множество различий. Например, музыканты используют термины транспонирование и инверсия там, где математики использовали бы перевод и отражение . Более того, там, где теория музыкальных множеств относится к упорядоченным наборам, математика обычно относится к кортежам или последовательностям (хотя математика действительно говорит об упорядоченных множествах , и хотя можно увидеть, что они в некотором смысле включают в себя музыкальный тип, они гораздо более сложны).
Более того, теория музыкальных множеств более тесно связана с теорией групп и комбинаторикой , чем с математической теорией множеств, которая занимается, например, такими вопросами, как различные размеры бесконечно больших множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество из n объектов, такое как классы основного тона , называется комбинацией , а упорядоченное подмножество — перестановкой . Теорию музыкальных множеств лучше рассматривать как приложение комбинаторики к теории музыки, чем как раздел математической теории множеств. Его основная связь с математической теорией множеств заключается в использовании словаря теории множеств для разговора о конечных множествах.
Фундаментальной концепцией теории музыкальных множеств является (музыкальный) набор, который представляет собой неупорядоченную коллекцию звуковых классов. [4] Точнее, набор тон-классов — это числовое представление, состоящее из различных целых чисел (т. е. без дубликатов). [5] Элементы набора могут проявляться в музыке в виде одновременных аккордов, последовательных тонов (как в мелодии) или того и другого. [ нужна цитация ] Соглашения об обозначениях различаются от автора к автору, но множества обычно заключаются в фигурные скобки: {}, [6] или квадратные скобки: []. [5]
Некоторые теоретики используют угловые скобки ⟨ ⟩ для обозначения упорядоченных последовательностей, [7] , в то время как другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами. [8] Таким образом, можно обозначить неупорядоченный набор классов высоты тона 0, 1 и 2 (соответствующих в данном случае C, C ♯ и D) как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность CC ♯ -D будет обозначаться ⟨0,1,2⟩ или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулевым, это не всегда так. Например, пьесу (тональную или атональную) с четким центром высоты звука F может быть наиболее полезно анализировать с F, установленным на ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F ♯ и G. (Для использование цифр для обозначения нот, см. класс высоты тона .)
Хотя теоретики множеств обычно рассматривают наборы классов высоты звука с одинаковым темпераментом, можно рассматривать наборы звуков, классы высоты звука с неравным темперированием, ритмические начала или «классы ударов». [9] [10]
Наборы из двух элементов называются диадами , наборы из трех элементов — трихордами (иногда «триадами», хотя это легко спутать с традиционным значением слова « триада» ). Наборы более высоких мощностей называются тетрахордами (или тетрадами), пентахордами (или пентадами), гексахордами (или гексадами), гептахордами (гептахордами или, иногда, смешением латинских и греческих корней, «септахордами» — например, Раном ), [11] октахордами ( октады), нонахорды (нонады), декакорды (декады), ундекахорды и, наконец, додекахорды .
Основные операции, которые можно выполнять над множеством, — это транспонирование и инверсия . Множества, связанные транспозицией или инверсией, называются транспозиционно связанными или инверсионно связанными и принадлежат к одному и тому же классу множеств . Поскольку транспозиция и инверсия являются изометриями пространства высотных классов, они сохраняют интервальную структуру набора, даже если они не сохраняют музыкальный характер (т.е. физическую реальность) элементов набора. [ нужна цитата ] Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретико-множественный музыкальный анализ часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных отношений между наборами, встречающимися в произведении.
Некоторые авторы рассматривают также операции дополнения и умножения . Дополнением к множеству X является множество, состоящее из всех классов высоты звука, не содержащихся в X. [12] Произведение двух классов высоты звука является произведением чисел их классов высоты звука по модулю 12. Поскольку дополнение и умножение не являются изометриями высоты звука, классовое пространство, они не обязательно сохраняют музыкальный характер трансформируемых объектов. Другие авторы, такие как Аллен Форте, подчеркивали Z-отношение , которое возникает между двумя множествами, которые имеют одинаковое общее содержание интервалов или вектор интервалов , но не являются транспозиционно или инверсионно эквивалентными. [13] Другое название этого отношения, использованное Хэнсоном, [14] — «изомерное». [15]
Операции над упорядоченными последовательностями классов высоты тона также включают транспозицию и инверсию, а также ретроградное движение и вращение . Ретроградация упорядоченной последовательности меняет порядок ее элементов. Вращение упорядоченной последовательности эквивалентно циклической перестановке .
Транспонирование и инверсию можно представить как элементарные арифметические операции. Если x — число, представляющее класс высоты звука, его транспонирование на n полутонов записывается T n = x + n mod 12. Инверсия соответствует отражению вокруг некоторой фиксированной точки в пространстве классов высоты звука . Если x — класс высоты тона, инверсия с индексным номером n записывается I n = n — x mod 12.
«Чтобы отношение в множестве S было отношением эквивалентности [в алгебре ], оно должно удовлетворять трем условиям: оно должно быть рефлексивным ..., симметричным ... и транзитивным ...». [16] «Действительно, неформальное понятие эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Однако теория множеств ПК придерживалась формальных определений эквивалентности». [17]
Говорят, что два транспозиционно связанных множества принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных множеств (Tn ) . Говорят, что два множества, связанные транспозицией или инверсией, принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных/инверсионных множеств (инверсия обозначается T n I или I n ). Множества, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных множеств, звучат очень похоже; в то время как наборы, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных наборов, могут включать два аккорда одного типа, но в разных тональностях, что будет менее похоже по звучанию, но, очевидно, все же будет относиться к ограниченной категории. По этой причине теоретики музыки часто считают наборы классов основными объектами музыкального интереса.
Существует два основных соглашения для именования классов множеств с одинаковым темпом. Одно из них, известное как число Форте , происходит от Аллена Форте, чья «Структура атональной музыки» (1973) является одной из первых работ по теории музыкальных множеств. Форте присвоил каждому классу множеств номер в форме c – d , где c указывает мощность набора, а d – порядковый номер. [18] Таким образом, хроматический трихорд {0, 1, 2} принадлежит классу набора 3–1, что указывает на то, что это первый класс набора из трех нот в списке Форте. [19] Расширенный трихорд {0, 4, 8} получает метку 3–12 и является последним трихордом в списке Форте.
Основная критика номенклатуры Forte заключается в следующем: (1) метки Forte произвольны и их трудно запомнить, и на практике часто проще просто перечислить элемент набора классов; (2) Система Форте предполагает равную темперацию и не может быть легко расширена за счет включения диатонических наборов, наборов тонов (в отличие от наборов тональных классов), мультисетов или наборов в других системах настройки; (3) Исходная система Форте считает, что инверсионно связанные множества принадлежат одному и тому же классу множеств. Это означает, что, например, мажорное и минорное трезвучие считаются одним и тем же набором.
Западная тональная музыка на протяжении веков считала мажор и минор, а также инверсию аккордов существенно разными. Они действительно генерируют совершенно разные физические объекты. Игнорирование физической реальности звука является очевидным ограничением атональной теории. Однако в защиту высказывалось мнение, что теория не была создана для заполнения вакуума, в котором существующие теории неадекватно объясняли тональную музыку. Скорее, теория Форте используется для объяснения атональной музыки, где композитор изобрел систему, в которой различие между {0, 4, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) и его инверсией {0, 3, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) «минор» в теории тонов) может быть неуместным.
Вторая система обозначений обозначает множества в терминах их нормальной формы , которая зависит от концепции нормального порядка . Чтобы расположить набор в обычном порядке, расположите его по возрастающей шкале в пространстве высотных классов, охватывающем менее октавы. Затем циклически переставляйте его, пока его первая и последняя ноты не окажутся как можно ближе друг к другу. В случае ничьей минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой. (В случае совпадений минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой и т. д.) Таким образом, {0, 7, 4} в обычном порядке равно {0, 4, 7}, в то время как {0, 2, 10} в обычном порядке равно {10, 0, 2}. Чтобы привести набор в нормальную форму, начните с размещения его в нормальном порядке, а затем транспонируйте его так, чтобы его первый шаг был равен 0. [20] Математики и специалисты по информатике чаще всего упорядочивают комбинации, используя либо алфавитный порядок, либо двоичный (по основанию два) упорядочивание, или кодирование Грея , каждое из которых приводит к различным, но логическим нормальным формам. [ нужна цитата ]
Поскольку транспозиционно связанные множества имеют одну и ту же нормальную форму, нормальные формы могут использоваться для обозначения классов множеств T n .
Чтобы определить класс набора T n /I n :
Результирующий набор помечает класс набора T n /I n исходного набора .
Число различных операций в системе, которые отображают множество в себя, является степенью симметрии множества . [21] Степень симметрии «определяет количество операций, которые сохраняют неупорядоченные наборы раздела; она указывает степень, в которой наборы классов тона этого раздела сопоставляются (или находят) друг друга при транспонировании или инверсии». [22] Каждое множество имеет по крайней мере одну симметрию, поскольку оно отображается само на себя при выполнении тождественной операции T 0 . [23] Транспозиционно-симметричные множества отображаются сами на себя при T n , где n не равно 0 (mod 12). Инверсионно-симметричные множества отображаются сами в себя относительно TnI. Для любого данного типа Tn / TnI все множества имеют одинаковую степень симметрии. Число различных наборов в типе равно 24 (общее количество операций транспозиции и инверсии для n = 0–11), деленное на степень симметрии типа T n /T n I.
Транспозиционно-симметричные множества либо делят октаву поровну, либо могут быть записаны как объединение множеств одинакового размера, которые сами делят октаву поровну. Инверсионно-симметричные аккорды инвариантны относительно отражений в пространстве высотных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочивать циклически, чтобы серия интервалов между последовательными нотами была одинаковой при чтении вперед или назад. Например, при циклическом порядке (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотами равен 1, интервал между второй и третьей нотой равен 1, интервал между третьей и четвертой нотой равен 5, а интервал между четвертой и первой нотами равен 5. [24]
Ту же самую последовательность можно получить, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим элементом ряда и вторым равен 1; интервал между вторым элементом ряда и первым равен 1; интервал между первым элементом ряда и четвертым равен 5; а интервал между последним элементом ряда и третьим элементом равен 5. Таким образом, между T 0 и T 2 I обнаруживается симметрия, и в классе эквивалентности T n /T n I имеется 12 множеств . [24]
Источники