Пифагорейские средства

Классические средние значения изучались в Древней Греции

Геометрическое построение квадратичного среднего и пифагорейского среднего (двух чисел a и b ). Гармоническое среднее обозначается как  H , геометрическая по  G , арифметика по  А и квадратичное среднее (также известное как среднеквадратичное ), обозначаемое как  В .

Сравнение арифметического, геометрического и гармонического средних значений пары чисел. Вертикальные пунктирные линии — асимптоты для гармонических средних.

В математике три классических средних Пифагора — это среднее арифметическое (AM), среднее геометрическое (GM) и среднее гармоническое (HM). Эти средние изучались с помощью пропорций пифагорейцами и последующими поколениями греческих математиков ^[1] из-за их важности в геометрии и музыке.

Определение

Они определяются следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}}\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$$

Характеристики

Каждое среднее значение имеет следующие свойства: ${\textstyle \operatorname {M} }$

Однородность первого порядка

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Инвариантность при обмене

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

для любого и . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Монотонность

${\displaystyle a\leq b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

Идемпотентность

${\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}$

Монотонность и идемпотентность вместе подразумевают, что среднее значение множества всегда лежит между крайними значениями множества: $${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}).}$$

Гармоническое и арифметическое средние являются обратными двойственными величинами друг друга для положительных аргументов, $${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}},}$$

в то время как геометрическое среднее является своим собственным обратным двойственным значением: $${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}.}$$

Неравенство среди средств

Геометрическое доказательство без слов того, что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) двух различных положительных чисел a и b ^{[примечание 1]}

Существует упорядочение этих средних значений (если все положительны), при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все равны. ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$$ ${\displaystyle x_{i}}$

Это обобщение неравенства средних арифметических и геометрических и частный случай неравенства для обобщенных средних . Доказательство следует из неравенства среднего арифметического и геометрического , и взаимной двойственности ( и также взаимно двойственны друг другу). ${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$ ${\displaystyle \min }$ ${\displaystyle \max }$

Изучение средних пифагоровых чисел тесно связано с изучением мажорации и выпуклых по Шуру функций . Гармонические и геометрические средние являются вогнутыми симметричными функциями своих аргументов и, следовательно, вогнутыми по Шуру, в то время как среднее арифметическое является линейной функцией своих аргументов и, следовательно, является как вогнутой, так и выпуклой.

История

Почти все, что мы знаем о пифагорейских средних, пришло из арифметических справочников, написанных в первом и втором веке. Никомах из Герасы говорит, что они были «признаны всеми древними, Пифагором, Платоном и Аристотелем». ^[2] Их самое раннее известное использование — фрагмент пифагорейского философа Архита из Тарента :

В музыке есть три средства: одно — арифметическое, второе — геометрическое, третье — субпротивоположное, которое они называют гармоническим. Среднее — арифметическое, когда три члена находятся в такой пропорции, что избыток, на который первый член превышает второй, равен избытку, на который второй превышает третий. В этой пропорции оказывается, что интервал больших членов меньше, а интервал меньших членов больше. Среднее — геометрическое, когда они таковы, что как первый относится ко второму, так и второй относится к третьему. Из этих членов больший и меньший имеют между собой равный интервал. Субпротивоположное, которое мы называем гармоническим, есть среднее, когда они таковы, что на какую бы часть себя первый член ни превосходил второй, на какую бы часть себя средний член ни превосходил третий. Оказывается, что в этой пропорции интервал между большими членами больше, а между меньшими членами меньше.

—  Архит из Тарента, ^[3]

Название «гармоническое среднее», согласно Ямвлиху , было придумано Архитом и Гиппасом . Пифагорейские средние также появляются в «Тимее» Платона . Другим свидетельством их раннего использования является комментарий Паппа .

[...] Теэтет отличил соизмеримые по длине силы от несоизмеримых и разделил общеизвестные иррациональные линии в соответствии с различными средствами, приписав срединные линии геометрии, биномиальные — арифметике, а апотомные — гармонии, как утверждает Эвдем , перипатетик. ^[4]

Термин «среднее» (др.-греч. μεσότης, mesótēs ) появляется в неопифагорейских арифметических справочниках в связи с термином «пропорция» (др.-греч. ἀναλογία, analogía ). ^{[ необходима цитата ]}

Наименьшее отличное положительное целое число означает

Из всех пар различных натуральных чисел вида ( a , b ), таких, что a < b , наименьшими (определяемыми как наименьшее значение a + b ), для которых арифметические, геометрические и гармонические средние также являются натуральными числами, являются (5, 45) и (10, 40). ^[5]

Смотрите также

• Среднее арифметическое–геометрическое
• Средний
• Золотое сечение
• Треугольник Кеплера

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM точек a и b , и радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники , ⁠ХК/ГК⁠ = ⁠ГК/ОК⁠ ∴ ХК = ⁠GC²/ОК⁠ = ГМ .

Ссылки

1. Хит, Томас. История древнегреческой математики .
2. Гераса.), Никомах (1926). Введение в арифметику. Макмиллан.
3. Хаффман, Карл (2005). Архит из Тарента: пифагореец, философ и король математиков . Cambridge University Press. стр. 163. ISBN 1139444077.
4. Хаффман, Карл (2014). История пифагореизма . Cambridge University Press. стр. 168. ISBN 978-1139915984.
5. Математический факультет Технологического университета Вирджинии, 39-й VTRMC, 2017, Решения, часть 5

Внешние ссылки

• Кантрелл, Дэвид В. «Пифагорейские средние». MathWorld .