В алгебраической геометрии гладкая схема над полем — это схема , которая хорошо аппроксимируется аффинным пространством вблизи любой точки. Гладкость — один из способов уточнения понятия схемы без особых точек. Частным случаем является понятие гладкого многообразия над полем. Гладкие схемы играют роль в алгебраической геометрии многообразий в топологии.
Сначала пусть X — аффинная схема конечного типа над полем k . Эквивалентно, X имеет замкнутое погружение в аффинное пространство A n над k для некоторого натурального числа n . Тогда X — замкнутая подсхема, определяемая некоторыми уравнениями g 1 = 0, ..., g r = 0, где каждый g i принадлежит кольцу полиномов k [ x 1 ,..., x n ]. Аффинная схема X является гладкой размерности m над k , если X имеет размерность не менее m в окрестности каждой точки, а матрица производных (∂ g i /∂ x j ) имеет ранг не менее n − m всюду на X. [1] (Отсюда следует, что X имеет размерность, равную m, в окрестности каждой точки . ) Гладкость не зависит от выбора погружения X в аффинное пространство.
Условие на матрицу производных понимается так, что замкнутое подмножество X , где все ( n − m ) × ( n − m ) миноров матрицы производных равны нулю, является пустым множеством. Эквивалентно, идеал в кольце многочленов, порожденный всеми g i и всеми этими минорами, является всем кольцом многочленов.
В геометрических терминах матрица производных (∂ g i /∂ x j ) в точке p в X дает линейное отображение F n → F r , где F — поле вычетов p . Ядро этого отображения называется касательным пространством Зарисского для X в p . Гладкость X означает, что размерность касательного пространства Зарисского равна размерности X вблизи каждой точки; в особой точке касательное пространство Зарисского будет больше.
В более общем случае схема X над полем k является гладкой над k, если каждая точка X имеет открытую окрестность, которая является гладкой аффинной схемой некоторой размерности над k . В частности, гладкая схема над k локально имеет конечный тип .
Существует более общее понятие гладкого морфизма схем, который является примерно морфизмом с гладкими слоями. В частности, схема X является гладкой над полем k тогда и только тогда, когда морфизм X → Spec k является гладким.
Гладкая схема над полем регулярна и, следовательно, нормальна . В частности, гладкая схема над полем приведена .
Определим многообразие над полем k как целочисленную отделимую схему конечного типа над k . Тогда любая гладкая отделимая схема конечного типа над k является конечным дизъюнктным объединением гладких многообразий над k .
Для гладкого многообразия X над комплексными числами пространство X ( C ) комплексных точек X является комплексным многообразием , использующим классическую (евклидову) топологию. Аналогично, для гладкого многообразия X над действительными числами пространство X ( R ) действительных точек является действительным многообразием , возможно пустым.
Для любой схемы X , которая локально имеет конечный тип над полем k , существует когерентный пучок Ω 1 дифференциалов на X. Схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда Ω 1 является векторным расслоением ранга, равного размерности X вблизи каждой точки. [ 2 ] В этом случае Ω 1 называется кокасательным расслоением X. Касательное расслоение гладкой схемы над k можно определить как двойственное расслоение, TX = (Ω 1 ) * .
Гладкость — это геометрическое свойство , означающее, что для любого расширения поля E поля k схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда схема X E := X × Spec k Spec E является гладкой над E. Для совершенного поля k схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда X локально имеет конечный тип над k и X является регулярным .
Говорят, что схема X является генерически гладкой размерности n над k , если X содержит открытое плотное подмножество, которое является гладким размерности n над k . Каждое многообразие над совершенным полем (в частности, алгебраически замкнутым полем) является генерически гладким. [3]