Поверхность подразделения

Curved curface derived from a coarse polygon mesh

В области 3D-компьютерной графики поверхность подразделения (обычно сокращаемая до поверхности SubD или Subsurf ) — это изогнутая поверхность , представленная спецификацией более крупной полигональной сетки и созданная рекурсивным алгоритмическим методом. Искривленная поверхность, лежащая в основе внутренняя сетка , ^[1] может быть рассчитана на основе грубой сетки, известной как контрольная клетка или внешняя сетка , как функциональный предел итерационного процесса разделения каждой многоугольной грани на более мелкие грани, которые лучше аппроксимируют конечный результат. подлежащая изогнутая поверхность. Реже для добавления геометрии в сетку используется простой алгоритм путем разделения граней на более мелкие без изменения общей формы или объема.

Противоположным является уменьшение полигонов или их разделение. ^[2]

Обзор

Простое деление куба до 3

Конвейер тесселяции с использованием метода подразделения

Алгоритм подразделения поверхности является рекурсивным по своей природе. Процесс начинается с создания полигональной сетки базового уровня. Затем к этой сетке применяется схема уточнения . Этот процесс берет эту сетку и разделяет ее, создавая новые вершины и новые грани. Положения новых вершин в сетке вычисляются на основе положений близлежащих старых вершин, ребер и/или граней. Во многих схемах уточнения также изменяются положения старых вершин (возможно, на основе положений новых вершин).

Этот процесс создает более плотную сетку, чем исходная, содержащую больше полигональных граней (часто в 4 раза). Полученную сетку можно снова и снова пропускать через одну и ту же схему уточнения для получения все более и более уточненных сеток. Каждую итерацию часто называют уровнем подразделения , начиная с нуля (до того, как произойдет какое-либо уточнение).

Предельная поверхность подразделения — это поверхность, полученная в результате этого процесса, итеративно применяемая бесконечное количество раз . Однако на практике этот алгоритм применяется лишь ограниченное и довольно небольшое ( ) количество раз. ${\displaystyle \leq 5}$

Математически окрестность необыкновенной вершины (нечетырехвалентного узла для четырехкратно уточненных сеток) поверхности подразделения представляет собой сплайн с параметрически особой точкой . ^[3]

Схемы доработки

Схемы уточнения поверхности подразделения можно условно разделить на две категории: интерполирующие и аппроксимирующие .

• Интерполяционные схемы необходимы для соответствия исходному положению вершин исходной сетки.
• Аппроксимирующих схем нет; они могут и будут корректировать эти позиции по мере необходимости.

В целом аппроксимирующие схемы имеют большую плавность, но у пользователя меньше возможностей общего контроля над результатом. Это аналогично сплайновым поверхностям и кривым, где кривые Безье необходимы для интерполяции определенных контрольных точек, тогда как B-сплайны этого не делают (и являются более приблизительными).

Схемы подразделения поверхности также можно классифицировать по типу многоугольника, с которым они работают: некоторые лучше всего работают для четырехугольников (четырехугольников), тогда как другие в основном работают с треугольниками (трис).

Аппроксимирующие схемы

Аппроксимация означает, что предельные поверхности аппроксимируют исходные сетки и что после подразделения вновь сгенерированные контрольные точки не попадают в предельные поверхности. ^{[ нужны разъяснения ]} Существует пять приблизительных схем подразделения:

• Кэтмалл и Кларк (1978), Quads - обобщает вставку бикубического однородного узла B-сплайна . Для произвольных начальных сеток эта схема генерирует предельные поверхности, которые являются C 2 непрерывными всюду, за исключением необыкновенных вершин, где они C 1 непрерывны (Peters and Reif 1998). ^[4]
• Ду-Сабин (1978), Квадратики. Вторая схема подразделения была разработана Ду и Сабином, которые успешно распространили метод срезания углов Чайкина (Джордж Чайкин, 1974 ^[5] ) для кривых на поверхности. Они использовали аналитическое выражение биквадратичной однородной поверхности B-сплайна для создания процедуры подразделения для создания предельных поверхностей C 1 с произвольной топологией для произвольных начальных сеток. Вспомогательная точка может улучшить форму подразделения Ду-Сабин. ^[6] После подразделения все вершины имеют валентность 4. ^[7]
• Loop (1987), Triangles – Loop предложил свою схему подразделения, основанную на квадратном сплайне из шести векторов направления, чтобы обеспечить правило для генерации непрерывных предельных поверхностей C 2 везде, за исключением необыкновенных вершин, где они непрерывны C 1 (Zorin 1997).
• Схема подразделения среднего края (1997–1999 гг.). Схема подразделения среднего края была независимо предложена Петерсом-Рейфом (1997) ^[8] и Хабибом-Уорреном (1999). ^[9] Первый вариант использовал середину каждого края для построения новой сетки. Последний для построения схемы использовал четырехнаправленный коробчатый сплайн . Эта схема генерирует C 1 непрерывные предельные поверхности на исходных сетках произвольной топологии. (Подразделение Mid-Edge, которое можно было бы назвать «подразделением √2», поскольку два шага сокращают расстояние вдвое, можно считать самым медленным.)
• Схема подразделения √3 (2000), Треугольники. Эта схема была разработана Коббелтом ^[10] и предлагает несколько интересных функций: она обрабатывает произвольные треугольные сетки, она C 2 непрерывна везде, за исключением необыкновенных вершин, где она C 1 непрерывна и предлагает естественная адаптивная доработка, когда это необходимо. Он демонстрирует как минимум две особенности: это двойная схема для треугольных сеток и более медленная скорость уточнения, чем у основных.

Схемы подразделения

Интерполяционные схемы

После разделения контрольные точки исходной сетки и вновь созданные контрольные точки интерполируются на предельной поверхности. Самой ранней работой была так называемая «схема бабочки» Дина, Левина и Грегори (1990), которые расширили четырехточечную интерполяционную схему подразделения кривых до схемы подразделения поверхности. Зорин, Шредер и Свелденс (1996) заметили, что схема «бабочка» не может создавать гладкие поверхности для неправильных треугольных сеток, и поэтому модифицировали эту схему. Коббелт (1996) далее обобщил четырехточечную интерполяционную схему подразделения кривых до схемы подразделения тензорного произведения для поверхностей. В 1991 году Насри предложил схему интерполяции Ду-Сабина; ^[11] в то время как в 1993 году Холстед, Касс и ДеРоуз предложили один вариант для Кэтмалл-Кларка. ^[12]

• Бабочка (1990), Треугольники - названы в честь формы схемы.
• Модифицированная бабочка (1996), Quads ^[13] - предназначена для устранения артефактов, возникающих из-за нерегулярной топологии.
• Коббелт (1996), Квады - вариационный метод подразделения, который пытается преодолеть недостатки равномерного подразделения.

Ключевые события

• 1978: Поверхности подразделения были описаны Эдвином Кэтмаллом и Джимом Кларком (см. Поверхность подразделения Кэтмулла-Кларка ), а также Дэниелом Ду и Малкольмом Сэбином (см. Поверхности подразделения Ду-Сэбина ).
• 1995: Ульрих Райф решил проблему поведения поверхности подразделения вблизи необыкновенных вершин. ^[14]
• 1998: Джос Стам представил метод точной оценки поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров. ^[15]

Смотрите также

• Игра Джери (1997) - фильм Pixar, в котором впервые было использовано разделение поверхностей для изображения человеческой кожи.
• Неоднородные поверхности рационального B-сплайна (NURBS) - еще один метод представления изогнутых поверхностей.

Рекомендации

1. «Поверхности подразделения». Nevercenter.com . Проверено 19 января 2021 г.
2. Blender: уменьшение полигонов – простое объяснение
3. Дж. Петерс и У. Рейф: Поверхности подразделения , серия Springer, монография «Геометрия и вычисления» 3, 2008, doi
4. Дж. Питерс и У. Рейф: Анализ обобщенных алгоритмов подразделения B-сплайнов , SIAM J of Numer. Анальный. 32 (2) 1998, с.728-748
5. «Кривые Чайкина в обработке».
6. К. Карчаускас и Дж. Петерс: Биквадратные поверхности подразделения C ¹ , дополненные точками , Графические модели, 77, стр.18-26 [1] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. Джой, Кен (1996–2000). «ДУ-САБИН ПОВЕРХНОСТИ» (PDF) . Онлайн-заметки по геометрическому моделированию – через Калифорнийский университет в Дэвисе.
8. Дж. Питерс и У. Рейф: Простейшая схема подразделения для сглаживания многогранников , Транзакции ACM в графике 16 (4) (октябрь 1997 г.), стр. 420-431, doi
9. А. Хабиб и Дж. Уоррен: Вставка ребер и вершин для класса поверхностей подразделения C 1 , Компьютерное геометрическое проектирование 16 (4) (май 1999 г.), стр. 223-247, doi
10. Л. Коббелт: √3-подразделение , 27-я ежегодная конференция по компьютерной графике и интерактивным методам, doi
11. Насри, А.Х. Поверхностная интерполяция на нерегулярных сетях с нормальными условиями. Компьютерное геометрическое проектирование 8 (1991), 89–96.
12. Холстед М., Касс М. и ДеРоуз Т. Эффективная и справедливая интерполяция с использованием поверхностей Катмулла-Кларка. В материалах по компьютерной графике (1993), серии ежегодных конференций, ACM Siggraph.
13. Зорин, Денис; Шредер, Питер; Свелденс, Вим (1996). «Интерполяционное подразделение сеток с произвольной топологией» (PDF) . Департамент компьютерных наук, Калифорнийский технологический институт, Пасадена, Калифорния 91125 .
14. Ульрих Рейф. 1995. Единый подход к алгоритмам подразделения вблизи необыкновенных вершин. Компьютерное геометрическое проектирование . 12(2)153–174
15. Джос Стам, «Точная оценка поверхностей подразделения Катмулла-Кларка при произвольных значениях параметров», Труды SIGGRAPH'98. В материалах по компьютерной графике, ACM SIGGRAPH, 1998, 395–404.

Внешние ссылки

• «Игра Джери»: получившая «Оскар» анимация от Pixar , завершенная в 1997 году, в которой были представлены поверхности подразделения с использованием подразделения Кэтмулла-Кларка (наряду с моделированием ткани).
• Учебное пособие «Подраздел по моделированию и анимации», конспекты курса SIGGRAPH 1999 г.
• Учебное пособие «Подраздел по моделированию и анимации», примечания к курсу SIGGRAPH 2000
• Единый подход к алгоритмам подразделения вблизи необыкновенных вершин, Ульрих Райф (Computer Aided Geometric Design 12(2):153–174, март 1995 г.)
• Подразделение поверхностных и объемных сеток, программное обеспечение для разделения поверхностей с использованием самых популярных схем.
• Методы подразделения поверхности в CGAL, библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии