Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 г. – 23 марта 2007 г.) [1] был американским математиком. Он наиболее известен своими доказательствами того, что континуум-гипотеза и аксиома выбора независимы от теории множеств Цермело–Френкеля , за что был награжден медалью Филдса . [2]
Коэн родился в Лонг-Бранч, штат Нью-Джерси , в 1934 году в еврейской семье, иммигрировавшей в США из нынешней Польши ; он вырос в Бруклине . [3] [4] В 1950 году, в возрасте 16 лет, он окончил среднюю школу Стайвесант в Нью-Йорке . [1] [4]
Затем Коэн учился в Бруклинском колледже с 1950 по 1953 год, но он оставил его, не получив степени бакалавра , когда узнал, что может начать обучение в аспирантуре Чикагского университета, отучившись всего два года. В Чикаго Коэн получил степень магистра математики в 1954 году и степень доктора философии в 1958 году под руководством Антони Зигмунда . Название его докторской диссертации было «Темы теории уникальности тригонометрических рядов» . [5] [6]
В 1957 году, перед получением докторской степени, Коэн был назначен преподавателем математики в Рочестерском университете на год. Затем он провел учебный год 1958–59 в Массачусетском технологическом институте , прежде чем провести 1959–61 в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, в которые Коэн совершил ряд значительных математических прорывов. В работе «Факторизация в групповых алгебрах » (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решив проблему, поставленную Уолтером Рудиным . В работе Коэна (1960) он совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда. [7]
Коэн был членом Американской академии искусств и наук , [8] Национальной академии наук США , [9] и Американского философского общества . [10] 2 июня 1995 года Коэн получил почетную докторскую степень от факультета науки и технологий Уппсальского университета , Швеция . [11]
Коэн известен разработкой математической техники, называемой форсингом , которую он использовал для доказательства того, что ни континуум-гипотеза (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны из стандартных аксиом Цермело–Френкеля (ZF) теории множеств . В сочетании с более ранней работой Гёделя это показало, что оба эти утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты из этих аксиом. В этом смысле континуум-гипотеза неразрешима, и это наиболее широко известный пример естественного утверждения, которое не зависит от стандартных аксиом ZF теории множеств.
За свой результат по гипотезе континуума Коэн получил медаль Филдса по математике в 1966 году, а также Национальную медаль науки в 1967 году. [12] Медаль Филдса, которую выиграл Коэн, по состоянию на 2022 год остается единственной медалью Филдса, присуждаемой за работу в области математической логики.
Помимо своей работы в теории множеств, Коэн также внес много ценных вкладов в анализ. В 1964 году он был удостоен Премии памяти Бохера по математическому анализу за свою работу «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах » [13] и дал свое имя теореме о факторизации Коэна–Хьюитта .
Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете . Он был приглашенным докладчиком на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.
Ангус Макинтайр из Лондонского университета королевы Марии сказал о Коэне: «Он был пугающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы задать свою «сложнейшую проблему» Полу, которого я знал в 60-х». Он продолжил сравнивать Коэна с Куртом Гёделем , говоря: «Ничего более драматичного, чем их работа, не происходило в истории предмета». [14] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что действительно приятно читать ваше доказательство независимости гипотезы кон[тинуума]. Я думаю, что во всех существенных отношениях вы дали наилучшее возможное доказательство, и это случается нечасто. Чтение вашего доказательства оказало на меня такое же приятное воздействие, как просмотр действительно хорошей пьесы». [15]
При изучении гипотезы континуума Коэн, как говорят, сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди считали проблему безнадежной, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. На самом деле, они думали, что нужно быть немного сумасшедшим, чтобы даже думать об этой проблеме». [16]
Точка зрения, которая, по мнению автора [Коэна], может в конечном итоге быть принята, заключается в том, что CH очевидно ложна. Главная причина, по которой принимается аксиома бесконечности , вероятно, в том, что мы считаем абсурдным думать, что процесс добавления только одного множества за раз может исчерпать всю вселенную. Аналогично с высшими аксиомами бесконечности. Теперь — это мощность множества счетных ординалов, и это всего лишь особый и простейший способ создания более высокого кардинала. Множество [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно аксиомой множества мощности . Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить этот кардинал из идей, вытекающих из заменяющей аксиомы, когда-либо сможет достичь .
Таким образом, больше, чем , где , и т. д. Эта точка зрения рассматривает как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой никогда не приблизиться никаким частичным процессом построения. Возможно, последующие поколения увидят проблему более ясно и выскажутся более красноречиво.
— Коэн (2008)
«Устойчивый и мощный продукт» работы Коэна над гипотезой континуума, который использовался «бесчисленным множеством математиков» [16] , известен как «форсинг» и применяется для построения математических моделей с целью проверки истинности или ложности данной гипотезы.
Незадолго до своей смерти Коэн прочитал лекцию, в которой описал свое решение проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетию Гёделя в Вене в 2006 году . [17]
У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 года в Стэнфорде, Калифорния , после перенесенного заболевания легких . [18]
