Последовательность апелляции

Тип полиномиальной последовательности

В математике последовательность Аппелла , названная в честь Поля Эмиля Аппеля , — это любая полиномиальная последовательность , удовлетворяющая тождеству ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

и в котором – ненулевая константа. ${\displaystyle p_{0}(x)}$

Среди наиболее известных последовательностей Аппелла, помимо тривиального примера, — полиномы Эрмита , полиномы Бернулли и полиномы Эйлера . Каждая последовательность Аппелла является последовательностью Шеффера , но большинство последовательностей Шеффера не являются последовательностями Аппелла. Последовательности Аппелла имеют вероятностную интерпретацию как системы моментов . ${\displaystyle \{x^{n}\}}$

Эквивалентные характеристики последовательностей Аппелла

Легко увидеть, что следующие условия для полиномиальных последовательностей эквивалентны:

• Для , ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

и является ненулевой константой; ${\displaystyle p_{0}(x)}$

• Для некоторой последовательности скаляров с , ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• Для той же последовательности скаляров

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

где

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Для , ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

Формула рекурсии

Предполагать

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

где последнее равенство взято для определения линейного оператора в пространстве многочленов от . Позволять ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

— обратный оператор, причем коэффициенты — это коэффициенты обычного обратного формального степенного ряда , так что ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

В соглашениях теневого исчисления этот формальный степенной ряд часто рассматривается как представляющий последовательность Аппеля . Можно определить ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

используя обычное разложение степенного ряда и обычное определение состава формального степенного ряда. Тогда у нас есть ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(Это формальное дифференцирование степенного ряда в дифференциальном операторе является примером дифференцирования Пинчерле .) ${\displaystyle D}$

В случае полиномов Эрмита это сводится к обычной формуле рекурсии для этой последовательности.

Подгруппа полиномов Шеффера

Множество всех последовательностей Аппелла замкнуто относительно операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предположим , и являются полиномиальными последовательностями, заданными формулой ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Тогда теневая композиция представляет собой полиномиальную последовательность, th-й член которой равен ${\displaystyle p\circ q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(нижний индекс появляется в , поскольку это -й член этой последовательности, но не в , поскольку он относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

При этой операции множество всех последовательностей Шеффера является неабелевой группой , но множество всех последовательностей Аппелла является абелевой подгруппой . В том, что она абелева, можно убедиться, если принять во внимание тот факт, что каждая последовательность Аппеля имеет вид

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

и что теневая композиция последовательностей Аппелла соответствует умножению этих формальных степенных рядов на оператор . ${\displaystyle D}$

Другая конвенция

Другое соглашение, которому следуют некоторые авторы (см. Чихара ), определяет это понятие по-другому, что противоречит первоначальному определению Аппелла, используя тождество

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

вместо.

Гипергеометрические полиномы Аппелла

Огромный класс полиномов Аппелла можно получить в терминах обобщенной гипергеометрической функции.

Обозначим массив отношений ${\displaystyle \Delta (k,-n)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

Рассмотрим полином ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

где – обобщенная гипергеометрическая функция. ${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$

Теорема. Семейство полиномов представляет собой последовательность Аппелла для любых натуральных параметров . ${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$ ${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$

Например, если тогда полиномы станут полиномами Гулда-Хоппера и если они станут полиномами Эрмита . ${\displaystyle p=0,q=0,}$ ${\displaystyle k=m,}$ ${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$ ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$ ${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$ ${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$ ${\displaystyle H_{n}(x)}$

Смотрите также

• Последовательность Шеффера
• Теневое исчисление
• Обобщенные полиномы Аппелла
• Фитильный продукт

Рекомендации

• Аппелл, Пол (1880). «Sur une classe de multinômes». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e Серия. 9 : 119–144.
• Роман, Стивен; Рота, Джан-Карло (1978). «Теневое исчисление». Достижения в математике . 27 (2): 95–188. дои : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
• Рота, Джан-Карло; Каханер, Д.; Одлыжко, Андрей (1973). «Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 685–760. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Перепечатано в одноименной книге Academic Press, Нью-Йорк, 1975 г.
• Стивен Роман. Умбральное исчисление . Дуврские публикации .
• Теодор Сейо Чихара (1978). Введение в ортогональные полиномы . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 978-0-677-04150-6.
• Бедратюк Л.; Луно, Н. (2020). «Некоторые свойства обобщенных гипергеометрических полиномов Апелля». Карпатская математика. Публикация . 12 (1): 129–137.

Внешние ссылки

• «Полиномы Аппеля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Последовательность апелляций в MathWorld