Последовательность Шеффера

Тип полиномиальной последовательности

В математике последовательность Шеффера или пауэроид — это полиномиальная последовательность , т. е. последовательность ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...) многочленов , в которой индекс каждого многочлена равен его степени. , удовлетворяющий условиям, связанным с теневым исчислением в комбинаторике . Они названы в честь Айседора М. Шеффера .

Определение

Зафиксируйте полиномиальную последовательность ( p _n ). Определим линейный оператор Q на многочленах от x формулой

$${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$$

Это определяет Q для всех полиномов. Полиномиальная последовательность p _n является последовательностью Шеффера, если только что определенный линейный оператор Q является сдвиг-эквивариантным ; такой Q тогда является дельта-оператором . Здесь мы определяем линейный оператор Q на полиномах как сдвиг-эквивариантный, если всякий раз, когда f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) является «сдвигом» g ( x ), тогда ( Qf )( Икс ) = ( Qg )( Икс + а ); т. е. Q коммутирует с каждым оператором сдвига : T _a Q = QT _a .

Характеристики

Множество всех последовательностей Шеффера представляет собой группу при операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемую следующим образом. Предположим, (  p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) и (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) являются полиномиальными последовательностями, заданными формулой

$${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$$

Тогда теневая композиция — это полиномиальная последовательность, n-й член которой равен ${\displaystyle p\circ q}$

$${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$

npnnq_.

Единичным элементом этой группы является стандартный мономиальный базис.

$${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.}$$

Двумя важными подгруппами являются группа последовательностей Аппелла , которые представляют собой те последовательности, для которых оператор Q является простым дифференцированием , и группа последовательностей биномиального типа , которые удовлетворяют тождеству

$${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$$

p _nxn

$${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$$

$${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ for }}n\geq 1.\,}$$

Группа последовательностей Аппеля абелева ; группа последовательностей биномиального типа — нет. Группа последовательностей Аппелла является нормальной подгруппой ; группа последовательностей биномиального типа — нет. Группа последовательностей Шеффера является полупрямым произведением группы последовательностей Аппелла и группы последовательностей биномиального типа. Отсюда следует, что каждый смежный класс группы последовательностей Аппелла содержит ровно одну последовательность биномиального типа. Две последовательности Шеффера находятся в одном таком смежном классе тогда и только тогда, когда описанный выше оператор Q , называемый « дельта-оператором » этой последовательности, является одним и тем же линейным оператором в обоих случаях. (Вообще, дельта-оператор — это линейный оператор, эквивариантный сдвигу многочленов, который уменьшает степень на единицу. Этот термин принадлежит Ф. Хильдебрандту.)

Если s _n ( x ) является последовательностью Шеффера, а p _n ( x ) является одной последовательностью биномиального типа, которая использует один и тот же дельта-оператор, то

$${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$$

Иногда термин « последовательность Шеффера» определяют как означающий последовательность, которая имеет это отношение к некоторой последовательности биномиального типа. В частности, если (  s _n ( x ) ) является последовательностью Аппелла, то

$${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$$

Последовательность полиномов Эрмита , последовательность полиномов Бернулли и мономов ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...) являются примерами последовательностей Аппелла.

Последовательность Шеффера p _n характеризуется своей экспоненциальной производящей функцией

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$$

ABформальныестепенные рядыtобобщенных полиномов Аппелларекуррентное соотношение

Примеры

Примеры полиномиальных последовательностей, которые являются последовательностями Шеффера, включают:

• Полиномы Абеля ;
• Полиномы Бернулли ;
• Полином Эйлера ;
• Центральные факториальные полиномы;
• Полиномы Эрмита ;
• Полиномы Лагерра ;
• Мономы ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... ) ;
• Полиномы Мотта ;
• Полиномы Бернулли второго рода ;
• Падающие и растущие факториалы ;
• Полиномы Тушара ;
• Полиномы Миттаг -Леффлера ;

Рекомендации

• Рота, Г.-К. ; Каханер, Д.; Одлизко, А. (июнь 1973 г.). «Об основах комбинаторной теории VIII: конечно-операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–750. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Перепечатано в следующей ссылке.
• Рота, Г.-К. ; Дубилет, П.; Грин, К.; Каханер, Д.; Одлизко А.; Стэнли, Р. (1975). Конечное операторное исчисление . Академическая пресса. ISBN 0-12-596650-4.
• Шеффер, И.М. (1939). «Некоторые свойства полиномиальных множеств нулевого типа». Математический журнал Дьюка . 5 (3): 590–622. дои : 10.1215/S0012-7094-39-00549-1.
• Роман, Стивен (1984). Умбральное исчисление. Чистая и прикладная математика. Том. 111. Лондон: Academic Press Inc. [Издательство Harcourt Brace Jovanovich]. ISBN 978-0-12-594380-2. МР  0741185.Перепечатано Дувром, 2005 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Шеффера». Математический мир .