Потенциальный градиент

Локальная скорость изменения потенциала относительно смещения

В физике , химии и биологии градиент потенциала — это локальная скорость изменения потенциала по отношению к смещению , т.е. пространственная производная , или градиент . Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, поскольку она приводит к той или иной форме потока .

Определение

Одно измерение

Простейшее определение потенциального градиента F в одном измерении следующее: ^[1]

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

где φ ( x ) — некоторый тип скалярного потенциала , а x — смещение (не расстояние ) в направлении x , нижние индексы обозначают две разные позиции x ₁ , x ₂ и потенциалы в этих точках, φ ₁ = φ ( x ₁ ) , φ ₂ знак равно φ ( Икс ₂ ) . В пределе бесконечно малых перемещений отношение разностей становится отношением дифференциалов :

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

Направление градиента электрического потенциала от до . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Три измерения

В трех измерениях декартовы координаты ясно показывают , что результирующий градиент потенциала представляет собой сумму градиентов потенциала в каждом направлении:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

где e _x , e _y , e _z — единичные векторы в направлениях x, y, z . Это можно компактно записать в терминах оператора градиента ∇ ,

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!}$

хотя эта окончательная форма справедлива в любой криволинейной системе координат , а не только в декартовой.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативного векторного поля F , а именно, F имеет соответствующий потенциал φ . ^[2]

Используя теорему Стокса , это эквивалентно формулируется как

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

это означает, что ротор векторного поля, обозначаемый ∇×, обращается в нуль.

Физика

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля g , которое можно показать консервативным, ^[3] оно равно градиенту гравитационного потенциала Φ :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi .\,\!}$

Между гравитационным полем и потенциалом существуют противоположные знаки, поскольку градиент потенциала и поле противоположны по направлению: с увеличением потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм

В электростатике электрическое поле E не зависит от времени t , поэтому не существует индукции зависящего от времени магнитного поля B по закону индукции Фарадея :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

откуда следует, что E — градиент электрического потенциала V , идентичный классическому гравитационному полю: ^[4]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

В электродинамике поле E зависит от времени и также индуцирует зависящее от времени поле B (опять же по закону Фарадея), поэтому ротор E не равен нулю, как раньше, что означает, что электрическое поле больше не является градиентом электрического потенциала. Необходимо добавить член, зависящий от времени: ^[5]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

где А — электромагнитный векторный потенциал . Это последнее потенциальное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Гидравлическая механика

В механике жидкости поле скорости v описывает движение жидкости. Безвихревой поток означает, что поле скорости консервативно или, что то же самое, псевдовекторное поле завихренности ω равно нулю:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

Это позволяет просто определить потенциал скорости как:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$

Химия

В электрохимической полуячейке на границе между электролитом ( ионным раствором ) и металлическим электродом стандартная разность электрических потенциалов равна: ^[6]

${\displaystyle \Delta \phi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^{+z}}\,\!}$

где R = газовая постоянная , T = температура растворения, z = валентность металла, e = элементарный заряд , N _A = константа Авогадро , а M _{+ ^z} — активность ионов в растворе. Величины с верхним индексом ⊖ обозначают, что измерение выполнено в стандартных условиях . Градиент потенциала относительно резкий, поскольку существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и термин «интерфейс». ^{[ нужны разъяснения ]}

Биология

В биологии градиент потенциала – это чистая разница электрических зарядов на клеточной мембране .

Неединственность потенциалов

Поскольку градиенты в потенциалах соответствуют физическим полям , не имеет значения, добавляется ли константа (она стирается оператором градиента ∇ , который включает частичное дифференцирование ). Это означает, что невозможно определить, что такое «абсолютное значение» потенциала – нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано где угодно для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классической теории поля , а также в теории калибровочного поля .

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаются, наблюдаются только градиенты и зависящие от пути разности потенциалов. Однако эффект Ааронова-Бома представляет собой квантово-механический эффект, который показывает, что ненулевые электромагнитные потенциалы вдоль замкнутого контура (даже когда поля E и B равны нулю повсюду в области) приводят к изменениям фазы волновой функции электрически заряженная частица в этой области, поэтому потенциалы имеют измеримое значение.

Потенциальная теория

Уравнения поля , такие как законы Гаусса для электричества , магнетизма и гравитации , можно записать в виде:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho }$

где ρ — плотность электрического заряда , плотность монополей (если они существуют) или плотность массы , а X — константа (в терминах физических констант G , ε 0 , µ 0 и других числовых факторов).

Градиенты скалярного потенциала приводят к уравнению Пуассона :

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho }$

Для решения этого уравнения для потенциала была разработана общая теория потенциалов . Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

Смотрите также

• Тензоры в криволинейных координатах

Рекомендации

1. Основные принципы физики, П. М. Уилан, М. Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN  0-7195-3382-1
2. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
3. Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8 
4. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
5. Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
6. Физическая химия, П.В. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7