В физике закон гравитации Гаусса , также известный как теорема Гаусса о потоке гравитации , представляет собой закон физики, который эквивалентен закону всемирного тяготения Ньютона . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Он утверждает, что поток ( поверхностный интеграл ) гравитационного поля над любой замкнутой поверхностью пропорционален заключенной в ней массе . Закон гравитации Гаусса зачастую удобнее использовать, чем закон Ньютона. [1]
Форма закона Гаусса для гравитации математически аналогична закону Гаусса для электростатики , одному из уравнений Максвелла . Закон гравитации Гаусса имеет такое же математическое отношение к закону Ньютона, какое закон Гаусса для электростатики имеет к закону Кулона . Это связано с тем, что и закон Ньютона, и закон Кулона описывают взаимодействие обратных квадратов в трехмерном пространстве.
Гравитационное поле g (также называемое гравитационным ускорением ) представляет собой векторное поле – вектор в каждой точке пространства (и времени). Оно определяется так, что гравитационная сила, испытываемая частицей, равна массе частицы, умноженной на гравитационное поле в этой точке.
Гравитационный поток — это поверхностный интеграл гравитационного поля над замкнутой поверхностью, аналогично тому, как магнитный поток является поверхностным интегралом магнитного поля.
Закон Гаусса для гравитации гласит:
Интегральная форма закона Гаусса для гравитации гласит:
где
Левая часть этого уравнения называется потоком гравитационного поля. Заметим, что по закону оно всегда отрицательно (или ноль) и никогда не положительно. Это можно противопоставить закону Гаусса для электричества, где поток может быть как положительным, так и отрицательным. Разница в том, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, а масса может быть только положительной.
Дифференциальная форма закона Гаусса для гравитационных состояний
где обозначает дивергенцию , G — универсальная гравитационная постоянная , а ρ — плотность массы в каждой точке.
Две формы закона гравитации Гаусса математически эквивалентны. Теорема о дивергенции гласит: где V — замкнутая область, ограниченная простой замкнутой ориентированной поверхностью ∂ V , а dV — бесконечно малая часть объема V ( более подробную информацию см. в разделе «Интеграл объема» ). Гравитационное поле g должно быть непрерывно дифференцируемым векторным полем, определенным в окрестности V .
Учитывая также, что мы можем применить теорему о дивергенции к интегральной форме закона Гаусса для гравитации, которая будет выглядеть так: что можно переписать: Это должно выполняться одновременно для каждого возможного объема V ; единственный способ, которым это может произойти, - это если подынтегральные выражения равны. Таким образом, мы приходим к дифференциальной форме закона Гаусса для гравитации.
Можно вывести интегральную форму из дифференциальной формы, используя обратный метод.
Хотя эти две формы эквивалентны, в конкретных вычислениях может быть удобнее использовать одну или другую.
Закон гравитации Гаусса можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона , который гласит, что гравитационное поле, создаваемое точечной массой , равно: где
Доказательство с использованием векторного исчисления показано в рамке ниже. Математически оно идентично доказательству закона Гаусса (в электростатике ), начиная с закона Кулона . [2]
g ( r ), гравитационное поле в точке r , можно рассчитать, сложив вклад в g ( r ), вносимый каждым битом массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, складывая вклад в g ( r ), связанный с массой (если таковая имеется) в точке s , где этот вклад рассчитывается по закону Ньютона. Результат: ( d 3 s означает ds x ds y ds z , каждый из которых интегрируется от −∞ до +∞.) Если мы возьмем расхождение обеих частей этого уравнения относительно r и воспользуемся известным теорема [2] где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат: Используя «свойство просеивания» дельта-функции Дирака, мы приходим к дифференциальной форме закона Гаусса для гравитации, как и хотелось.
Невозможно математически доказать закон Ньютона, исходя только из закона Гаусса , поскольку закон Гаусса определяет расхождение g , но не содержит никакой информации относительно ротора g (см. разложение Гельмгольца ). В дополнение к закону Гаусса используется предположение, что g является безвихревой (имеет нулевой ротор), поскольку гравитация является консервативной силой :
Даже этого недостаточно: граничные условия на g также необходимы для доказательства закона Ньютона, например, предположение о том, что поле равно нулю на бесконечном расстоянии от массы.
Доказательство закона Ньютона из этих предположений состоит в следующем:
Начните с интегральной формы закона Гаусса: примените этот закон к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса r с центром в точечной массе M . Разумно ожидать, что гравитационное поле точечной массы будет сферически симметричным. (Для простоты мы опускаем доказательство.) При таком предположении g принимает следующую форму: (т. е. направление g антипараллельно направлению r , а величина g зависит только от величины, а не направления р ). Подставив это и используя тот факт, что ∂ V представляет собой сферическую поверхность с постоянным r и площадью ,
что является законом Ньютона.
Поскольку гравитационное поле имеет нулевой ротор (т. е. гравитация является консервативной силой ), как упоминалось выше, его можно записать как градиент скалярного потенциала , называемого гравитационным потенциалом : Тогда дифференциальная форма закона Гаусса для гравитации становится уравнением Пуассона : Это обеспечивает альтернативный способ расчета гравитационного потенциала и гравитационного поля. Хотя вычисление g с помощью уравнения Пуассона математически эквивалентно вычислению g непосредственно из закона Гаусса, тот или иной подход может быть более простым вычислением в данной ситуации.
В радиально-симметричных системах гравитационный потенциал является функцией только одной переменной (а именно ), и уравнение Пуассона принимает вид (см. Дель в цилиндрических и сферических координатах ): тогда как гравитационное поле равно:
При решении уравнения следует учитывать, что в случае конечных плотностей ∂ φ /∂ r должна быть непрерывной на границах (разрывах плотности), а при r = 0 — нулевой .
Закон Гаусса можно использовать для легкого определения гравитационного поля в некоторых случаях, когда прямое применение закона Ньютона было бы сложнее (но не невозможно). Дополнительную информацию о том, как выполняются эти выводы, см. в статье «Гауссова поверхность» . Три таких приложения следующие:
Мы можем заключить (используя « гауссову дот »), что для бесконечной плоской пластины ( пластины Бугера ) любой конечной толщины гравитационное поле снаружи пластины перпендикулярно пластине, по направлению к ней, с величиной, в 2 раза превышающей массу πG . на единицу площади, независимо от расстояния до плиты [3] (см. также гравитационные аномалии ).
В более общем смысле, для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z , гравитация для любого z в 2 πG раза превышает разницу в массе на единицу площади по обе стороны от этого значения z .
В частности, параллельная комбинация двух параллельных бесконечных плит одинаковой массы на единицу площади не создает между ними гравитационного поля.
В случае бесконечного однородного (по z ) цилиндрически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя цилиндрическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной, в 2 раза превышающей полную величину G / r . масса единицы длины на меньшем расстоянии (от оси), независимо от каких-либо масс на большем расстоянии.
Например, внутри бесконечного однородного полого цилиндра поле равно нулю.
В случае сферически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя сферическую поверхность Гаусса ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной G / r , умноженной только на общую массу на меньшем расстоянии. чем р . Вся масса, находящаяся на расстоянии большем, чем r от центра, не оказывает результирующего действия.
Например, полая сфера не создает внутри себя чистой гравитации. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы не было (т.е. результирующее поле - это поле всех масс, за исключением сферы, которые могут находиться внутри и снаружи сферы).
Хотя это в одной или двух строках алгебры следует из закона гравитации Гаусса, Исааку Ньютону потребовалось несколько страниц громоздких вычислений, чтобы вывести это напрямую, используя его закон гравитации; этот прямой вывод см. в статье « Теорема об оболочке» .
Плотность лагранжа для ньютоновской гравитации. Применяя принцип Гамильтона к этому лагранжиану, результатом является закон Гаусса для гравитации: подробности см. в Лагранжиане (теории поля) .