Представительство Хусими Кью

Инструмент для моделирования вычислительной физики

Представление Husimi Q , введенное Коди Хусими в 1940 году, ^[1] является квазивероятностным распределением, обычно используемым в квантовой механике ^[2] для представления распределения фазового пространства квантового состояния , такого как свет, в формулировке фазового пространства . ^[3] Оно используется в области квантовой оптики ^[4] и, в частности, для томографических целей. Оно также применяется при изучении квантовых эффектов в сверхпроводниках . ^[5]

Распределение Хусими сжатого когерентного состояния

Функция распределения Хусими трех объединенных когерентных состояний

Определение и свойства

Распределение Q Хусими (называемое Q-функцией в контексте квантовой оптики ) является одним из простейших распределений квазивероятности в фазовом пространстве . Оно построено таким образом, что наблюдаемые, записанные в антинормальном порядке , следуют теореме об оптической эквивалентности . Это означает, что это по сути матрица плотности , приведенная к нормальному порядку . Это делает его относительно простым для вычисления по сравнению с другими распределениями квазивероятности по формуле

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle ,}$

который пропорционален следу оператора , включающего проекцию на когерентное состояние . Он создает наглядное представление состояния ρ для иллюстрации нескольких его математических свойств. ^[6] Его относительная простота вычисления связана с его гладкостью по сравнению с другими распределениями квазивероятности. Фактически, его можно понимать как преобразование Вейерштрасса распределения квазивероятности Вигнера , т.е. сглаживание гауссовым фильтром , ${\displaystyle {\hat {\rho }}|\alpha \rangle \langle \alpha |}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta )e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta .}$

Такие преобразования Гаусса, будучи по существу обратимыми в области Фурье посредством теоремы о свертке , Q обеспечивает эквивалентное описание квантовой механики в фазовом пространстве тому, что дает распределение Вигнера.

В качестве альтернативы можно вычислить распределение Хусими Q, применив преобразование Сигала–Баргмана волновой функции и затем вычислив соответствующую плотность вероятности.

Q нормализовано до единицы,

${\displaystyle \int Q(\alpha )\,d^{2}\alpha =1}$

и является неотрицательно определенной ^[7] и ограниченной :

${\displaystyle 0\leq Q(\alpha )\leq {\frac {1}{\pi }}.}$

Несмотря на то, что Q неотрицательно определено и ограничено, как стандартное совместное распределение вероятностей , это сходство может быть обманчивым, поскольку различные когерентные состояния не ортогональны. Две различные точки α не представляют собой непересекающиеся физические контингентности; таким образом, Q(α) не представляет собой вероятность взаимоисключающих состояний , как того требует третья аксиома теории вероятностей .

Q также может быть получено с помощью другого преобразования Вейерштрасса представления Глаубера–Сударшана P ,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ,}$

задано , и стандартный внутренний продукт когерентных состояний. ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\beta ,\beta ^{*})|{\beta }\rangle \langle {\beta }|\,d^{2}\beta }$

Смотрите также

• Распределение квазивероятности § Характеристические функции
• Неклассический свет
• P-представление Глаубера–Сударшана
• энтропия Верля

Ссылки

1. Коди Хусими (1940). "Некоторые формальные свойства матрицы плотности", Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. 22 : 264-314. J Harriman и M Casida (1993), Int Jou Quant Chem 45 : 263-294 doi :10.1002/qua.560450304.
2. Дирак, П. А. М. (1982). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. стр. 18 и далее. ISBN 0-19-852011-5.
3. Ульф Леонхардт (1997). Измерение квантового состояния света , Кембриджские исследования современной оптики. ISBN 0521497302 , ISBN 978-0521497305 .  
4. HJ Carmichael (2002). Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера-Планка , Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54882-9 
5. Callaway, DJE (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Nuclear Physics B. 344 ( 3): 627–645. Bibcode : 1990NuPhB.344..627C. doi : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
6. Космас К. Захос , Дэвид Б. Фэрли и Томас Л. Кертрайт (2005). Квантовая механика в фазовом пространстве , (World Scientific, Сингапур) ISBN 978-981-238-384-6 [1]. 
7. Картрайт, НД (1975). «Неотрицательное распределение типа Вигнера». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 83 (1): 210–818. Bibcode :1976PhyA...83..210C. doi :10.1016/0378-4371(76)90145-X.