Представление Глаубера–Сударшана P

Представление Глаубера –Сударшана P является предлагаемым способом записи распределения фазового пространства квантовой системы в формулировке фазового пространства квантовой механики. Представление P является распределением квазивероятности , в котором наблюдаемые выражаются в нормальном порядке . В квантовой оптике это представление, формально эквивалентное нескольким другим представлениям, ^{[1] [2] [3]} иногда предпочтительнее таких альтернативных представлений для описания света в оптическом фазовом пространстве , потому что типичные оптические наблюдаемые, такие как оператор числа частиц , естественным образом выражаются в нормальном порядке. Оно названо в честь Джорджа Сударшана ^[4] и Роя Дж. Глаубера ^[5] , которые работали над этой темой в 1963 году. ^[6] Несмотря на множество полезных приложений в теории лазера и теории когерентности, представление Сударшана–Глаубера P имеет особенность, что оно не всегда положительно и не является добросовестной функцией вероятности.

Определение

Мы хотим построить функцию со свойством, что матрица плотности является диагональной в базисе когерентных состояний , т.е. ${\displaystyle P(\alpha )}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|\alpha \rangle \}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\alpha )|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\qquad d^{2}\alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Im}}(\alpha ).}$

Мы также хотим построить функцию так, чтобы математическое ожидание нормально упорядоченного оператора удовлетворяло теореме оптической эквивалентности . Это подразумевает, что матрица плотности должна быть в антинормальном порядке, чтобы мы могли выразить матрицу плотности как степенной ряд

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}=\sum _{j,k}c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}{\hat {a}}^{\dagger k}.}$

Вставка разрешения идентичности

${\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{\pi }}\int |{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,}$

мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{A}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|{\hat {a}}^{\dagger k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*})|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\end{aligned}}}$

и таким образом мы официально назначаем

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*}).}$

Для любого практического расчета необходимы более полезные интегральные формулы для P. ^{Один из методов [7]} заключается в определении характеристической функции

${\displaystyle \chi _{N}(\beta )=\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot e^{i\beta \cdot {\hat {a}}^{\dagger }}e^{i\beta ^{*}\cdot {\hat {a}}})}$

и затем выполнить преобразование Фурье

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \chi _{N}(\beta )e^{-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Другая полезная интегральная формула для P — ^[8]

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\pi ^{2}}}\int \langle -\beta |{\hat {\rho }}|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Обратите внимание, что обе эти интегральные формулы не сходятся в каком-либо обычном смысле для "типичных" систем. Мы также можем использовать матричные элементы в базисе Фока . Следующая формула показывает, что всегда возможно ^[4] записать матрицу плотности в этой диагональной форме без обращения к упорядочению операторов с использованием инверсии (приведенной здесь для одной моды), ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$

${\displaystyle P(\alpha )=\sum _{n}\sum _{k}\langle n|{\hat {\rho }}|k\rangle {\frac {\sqrt {n!k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(n-k)\theta }\left[\left(-{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{n+k}\delta (r)\right],}$

где r и θ — амплитуда и фаза α . Хотя это полное формальное решение этой возможности, оно требует бесконечно много производных дельта-функций Дирака , что далеко за пределами досягаемости любой обычной теории распределения с умеренным распределением .

Обсуждение

Если квантовая система имеет классический аналог, например, когерентное состояние или тепловое излучение , то P неотрицательно везде, как обычное распределение вероятностей. Если, однако, квантовая система не имеет классического аналога, например, некогерентного состояния Фока или запутанной системы , то P отрицательно где-то или более сингулярно, чем дельта-функция Дирака. (По теореме Шварца , распределения, которые более сингулярны, чем дельта-функция Дирака, всегда где-то отрицательны.) Такая « отрицательная вероятность » или высокая степень сингулярности является особенностью, присущей представлению, и не уменьшает значимости ожидаемых значений, взятых относительно P. Однако даже если P ведет себя как обычное распределение вероятностей, вопрос не так прост. Согласно Манделю и Вольфу: «Различные когерентные состояния не являются [взаимно] ортогональными, так что даже если они ведут себя как истинная плотность вероятности [функция], они не будут описывать вероятности взаимоисключающих состояний». ^[9] ${\displaystyle P(\alpha )}$

Примеры

Фок заявляет

Состояния Фока для целого числа соответствуют высокосингулярному распределению P , которое можно записать как ^[10] Хотя это не функция, это выражение соответствует умеренному распределению . В частности, для вакуумного состояния распределение P является дельта-функцией Дирака в начале координат, как . Аналогично, состояние Фока дает Мы также можем легко проверить, что приведенное выше выражение для работает в более общем случае, наблюдая, что вместе с тождеством Те же рассуждения можно использовать, чтобы показать в более общем случае, что функция P операторов задается выражением ${\displaystyle |\psi \rangle =|n\rangle }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle P_{0}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ $${\displaystyle P_{1}(\alpha ,\alpha ^{*})=e^{|\alpha |^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha )=\delta ^{2}(\alpha )+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$ ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)|\alpha \rangle \!\langle \alpha |=\sum _{j,k=0}^{\infty }{\frac {|j\rangle \!\langle k|}{n!{\sqrt {j!k!}}}}\int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k},}$$ $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{2}\alpha \left({\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}\delta ^{2}(\alpha )\right)\alpha ^{j}\alpha ^{*k}=\left.{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*n}}}(\alpha ^{j}\alpha ^{*k})\right\vert _{\alpha =0}=n!^{2}\delta _{j,n}\delta _{k,n}.}$$ ${\displaystyle |n\rangle \!\langle m|}$ $${\displaystyle P_{n,m}(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\sqrt {n!m!}}}{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha ^{*m}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$$

Другое краткое формальное выражение для функции P состояний Фока с использованием полиномов Лагерра имеет вид ^[3] $${\displaystyle P_{n}(\alpha ,\alpha ^{*})=L_{n}(-{\frac {1}{4}}\partial _{\alpha }\partial _{\alpha ^{*}})\delta ^{2}(\alpha ).}$$

Тепловое излучение

Из соображений статистической механики в базисе Фока известно, что среднее число фотонов моды с волновым вектором k и состоянием поляризации s для черного тела при температуре T равно

${\displaystyle \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle ={\frac {1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}.}$

P - представление черного тела:

${\displaystyle P(\{\alpha _{\mathbf {k} ,s}\})=\prod _{\mathbf {k} ,s}{\frac {1}{\pi \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }.}$

Другими словами, каждая мода черного тела нормально распределена в базисе когерентных состояний. Поскольку P положительно и ограничено, эта система по сути является классической. Это на самом деле весьма примечательный результат, поскольку для теплового равновесия матрица плотности также диагональна в базисе Фока, но состояния Фока неклассические.

Весьма уникальный пример

Даже очень простые на вид состояния могут демонстрировать весьма неклассическое поведение. Рассмотрим суперпозицию двух когерентных состояний

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{0}|\alpha _{0}\rangle +c_{1}|\alpha _{1}\rangle }$

где c ₀ , c ₁ — константы, подчиняющиеся нормировочному ограничению

${\displaystyle 1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).}$

Обратите внимание, что это совсем не похоже на кубит , потому что и не ортогональны. Поскольку вычислить P просто , мы можем использовать формулу Мехты выше, чтобы вычислить P , ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha _{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle -\alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =\langle -\alpha |\psi \rangle \langle \psi |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\alpha )={}&|c_{0}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0})+|c_{1}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{aligned}}}$

Несмотря на бесконечное множество производных дельта-функций, P все еще подчиняется теореме оптической эквивалентности. Если, например, математическое ожидание числового оператора берется относительно вектора состояния или как среднее фазового пространства относительно P , два математических ожидания совпадают:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {n}}|\psi \rangle &=\int P(\alpha )|\alpha |^{2}\,d^{2}\alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Распределение квазивероятности § Характеристические функции
• Неклассический свет
• Распределение квазивероятности Вигнера
• Представительство Хусими Кью
• Споры вокруг Нобелевской премии

Ссылки

1. Л. Коэн (1966). «Обобщенные функции распределения фазового пространства». J. Math. Phys . 7 (5): 781–786. Bibcode :1966JMP.....7..781C. doi :10.1063/1.1931206.
2. Л. Коэн (1976). «Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке фазового пространства квантовой механики». J. Math. Phys . 17 (10): 1863–1866. Bibcode :1976JMP....17.1863C. doi :10.1063/1.522807.
3. Шляйх, Вольфганг П. (9 февраля 2001 г.). Квантовая оптика в фазовом пространстве (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/3527602976. ISBN 978-3-527-29435-0.
4. ECG Sudarshan (1963). «Эквивалентность полуклассических и квантово-механических описаний статистических световых пучков». Phys. Rev. Lett . 10 (7): 277–279. Bibcode :1963PhRvL..10..277S. doi :10.1103/PhysRevLett.10.277.
5. RJ Glauber (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Phys. Rev. 131 ( 6): 2766–2788. Bibcode :1963PhRv..131.2766G. doi :10.1103/PhysRev.131.2766.
6. Это стало предметом спора , когда Глауберу была присуждена доля Нобелевской премии по физике 2005 года за его работу в этой области, а вклад Джорджа Сударшана не был признан, см. Чжоу, Лулу (2005-12-06). "Ученые подвергают Нобелевской премии сомнению". The Harvard Crimson . Получено 28.04.2016 .. Статья Сударшана была получена в Physical Review Letters 1 марта 1963 года и опубликована 1 апреля 1963 года, тогда как статья Глаубера была получена в Physical Review 29 апреля 1963 года и опубликована 15 сентября 1963 года.
7. CL Mehta; ECG Sudarshan (1965). «Связь между квантовым и полуклассическим описанием оптической когерентности». Phys. Rev. 138 ( 1B): B274–B280. Bibcode :1965PhRv..138..274M. doi :10.1103/PhysRev.138.B274.
8. CL Mehta (1967). «Диагональное представление когерентных состояний квантовых операторов». Phys. Rev. Lett . 18 (18): 752–754. Bibcode :1967PhRvL..18..752M. doi :10.1103/PhysRevLett.18.752.
9. Мандель и Вольф 1995, стр. 541
10. Джерри, Кристофер; Найт, Питер (2004). Введение в квантовую оптику. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. doi :10.1017/cbo9780511791239. ISBN 978-0-521-52735-4.

Библиография

Мандель, Л.; Вольф , Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2