В теории представлений и алгебраической теории чисел программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и последовательных предположений о связях между теорией чисел и геометрией . Предложенная Робертом Ленглендсом (1967, 1970), она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями . Широко рассматриваемая как единственный крупнейший проект в современных математических исследованиях, программа Ленглендса была описана Эдвардом Френкелем как «своего рода великая унифицированная теория математики». [1]
Программа Ленглендса состоит из некоторых очень сложных теоретических абстракций, которые могут быть трудны для понимания даже специалистами-математиками. Если упростить, то фундаментальная лемма проекта постулирует прямую связь между обобщенным фундаментальным представлением конечного поля с его групповым расширением до автоморфных форм, при которых оно инвариантно . Это достигается посредством абстракции к более многомерной интеграции , посредством эквивалентности определенной аналитической группе как абсолютному расширению ее алгебры . Следовательно, это позволяет аналитически функционально строить мощные преобразования инвариантности для числового поля в его собственную алгебраическую структуру .
Значение такой конструкции тонкое, но ее конкретные решения и обобщения очень мощные. Следствие для доказательства существования таких теоретических объектов подразумевает аналитический метод построения категориального отображения фундаментальных структур для практически любого числового поля . Как аналог возможного точного распределения простых чисел , программа Ленглендса допускает потенциальный общий инструмент для разрешения инвариантности на уровне обобщенных алгебраических структур . Это, в свою очередь, допускает несколько унифицированный анализ арифметических объектов через их автоморфные функции . Проще говоря, философия Ленглендса допускает общий анализ структурирования абстракций чисел. Естественно, это описание является одновременно редукцией и чрезмерным обобщением собственных теорем программы, но эти математические аналоги обеспечивают основу ее концептуализации.
Короче говоря, упрощенное описание этой теории для неспециалиста будет выглядеть так: конструкция обобщенной и в некоторой степени унифицированной структуры, характеризующая структуры , лежащие в основе чисел и их абстракций ... таким образом, инварианты , на которых они основаны. С помощью аналитических методов.
В очень широком контексте программа строилась на существующих идеях: философии форм возврата, сформулированной несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Гельфандом (1963), работах и подходе Хариш-Чандры по полупростым группам Ли , а в техническом плане — на формуле следа Сельберга и других.
Первоначально новым в работе Ленглендса, помимо технической глубины, была предполагаемая прямая связь с теорией чисел, а также гипотеза о богатой организационной структуре (так называемая функториальность ).
Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, что то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли , должно быть сделано для всех. Поэтому, как только роль некоторых низкоразмерных групп Ли, таких как GL(2), была признана в теории модулярных форм, а с оглядкой на GL(1) в теории полей классов , был открыт путь, по крайней мере, для спекуляций о GL( n ) для общего n > 2.
Идея формы каспа возникла из каспов на модулярных кривых , но также имела значение, видимое в спектральной теории как « дискретный спектр », в отличие от « непрерывного спектра » из рядов Эйзенштейна . Она становится гораздо более технической для больших групп Ли, поскольку параболические подгруппы более многочисленны.
Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных, помимо прочего, на разложениях Леви , но эта область была и остается очень сложной. [2]
А со стороны модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта , модулярные формы Зигеля и тета-ряды .
Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество различных групп во многих различных областях, для которых они могут быть сформулированы, и для каждой области существует несколько различных версий гипотез. [3] Некоторые версии [ какие? ] гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса , существование которых не доказано, или от L -группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые сформулировал их в 1967 году.
Существуют различные типы объектов, для которых можно сформулировать гипотезы Ленглендса:
Существует несколько различных способов сформулировать гипотезы Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.
Начальной точкой программы можно считать закон взаимности Эмиля Артина , который обобщает квадратичную взаимность . Закон взаимности Артина применяется к расширению Галуа алгебраического числового поля, группа Галуа которого абелева ; он назначает L -функции одномерным представлениям этой группы Галуа и утверждает, что эти L -функции идентичны определенным L -рядам Дирихле или более общим рядам (то есть определенным аналогам дзета-функции Римана ), построенным из символов Гекке . Точное соответствие между этими различными видами L -функций составляет закон взаимности Артина.
Для неабелевых групп Галуа и их многомерных представлений можно по-прежнему определить L -функции естественным образом: L -функции Артина .
Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L -функций Дирихле , которое позволило бы сформулировать утверждение Артина в этой более общей постановке. Ранее Гекке связал L -функции Дирихле с автоморфными формами ( голоморфными функциями на верхней полуплоскости комплексной числовой плоскости , которые удовлетворяют определенным функциональным уравнениям ). Затем Ленглендс обобщил их до автоморфных каспидальных представлений , которые являются определенными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL( n ) над кольцом аделей ( рациональных чисел ). (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения см. p -адических чисел .)
Ленглендс присоединил автоморфные L -функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L -функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля , равна функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его « гипотеза взаимности ».
Грубо говоря, гипотеза взаимности устанавливает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Ленглендса в L -группу . Существует множество ее вариаций, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L -группы не являются фиксированными.
Над локальными полями это, как ожидается, даст параметризацию L -пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над действительными числами это соответствие является классификацией Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями это должно давать параметризацию автоморфных форм.
Гипотеза функториальности утверждает, что подходящий гомоморфизм L -групп, как ожидается, даст соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза взаимности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.
Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо использования общей линейной группы GL( n ) можно использовать другие связные редуктивные группы . Кроме того, учитывая такую группу G , Ленглендс строит дуальную группу Ленглендса LG , а затем для каждого автоморфного каспидального представления G и каждого конечномерного представления LG , он определяет L -функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L -функции удовлетворяют определенному функциональному уравнению, обобщающему уравнения других известных L -функций.
Затем он переходит к формулировке очень общего «принципа функториальности». При наличии двух редуктивных групп и (хорошо себя ведущего) морфизма между их соответствующими L -группами эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, совместимым с их L -функциями. Эта гипотеза функториальности подразумевает все другие гипотезы, представленные до сих пор. Она имеет природу конструкции индуцированного представления — того, что в более традиционной теории автоморфных форм называлось « подъемом », известным в особых случаях, и поэтому является ковариантным (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.
Все эти гипотезы можно сформулировать для более общих полей вместо : полей алгебраических чисел (исходный и наиболее важный случай), локальных полей и полей функций (конечных расширений F p ( t ), где p — простое число , а F p ( t ) — поле рациональных функций над конечным полем с p элементами).
Геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном вслед за идеями Владимира Дринфельда , возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса, которая пытается связать больше, чем просто неприводимые представления. В простых случаях она связывает l -адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории l -адических пучков на стеке модулей векторных расслоений над кривой.
Совместный проект из 9 человек под руководством Денниса Гейтсгори объявил о доказательстве (категорической, неразветвленной) геометрической гипотезы Ленглендса, использующей собственный пучок Гекке как часть доказательства. [4] [5] [6] [7]
Гипотезы Ленглендса для GL(1, K ) следуют из теории полей классов (и по сути эквивалентны ей) .
Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями ( действительные числа ) и ( комплексные числа ), дав классификацию Ленглендса их неприводимых представлений.
Классификацию Люстига неприводимых представлений групп типа Ли над конечными полями можно считать аналогом гипотез Ленглендса для конечных полей.
Доказательство Эндрю Уайлса модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, поскольку основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для остается недоказанной.
В 1998 году Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга, проверяющую гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для полей функций K . Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал случай GL(2, K ) в 1980-х годах.
В 2018 году Винсент Лаффорг установил глобальное соответствие Ленглендса (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными функциональными полями. [8] [9] [10]
Филипп Куцко (1980) доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2, K ) над локальными полями.
Жерар Лаумон , Майкл Рапопорт и Ульрих Штулер (1993) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для положительных характеристических локальных полей K. Их доказательство использует глобальный аргумент.
Майкл Харрис и Ричард Тейлор (2001) доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL( n , K ) для локальных полей K характеристики 0 . Гай Хенниарт (2000) дал другое доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Питер Шольце (2013) дал другое доказательство.
В 2008 году Нго Бао Чау доказал « фундаментальную лемму », которая была первоначально выдвинута Ленглендсом и Шелстадом в 1983 году и которая требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса. [11] [12]
Для неспециалиста или даже математика-неспециалиста абстракции в программе Ленглендса могут быть несколько непроницаемыми. Однако существуют некоторые сильные и ясные следствия для доказательства или опровержения фундаментальных гипотез Ленглендса.
Поскольку программа постулирует мощную связь между аналитической теорией чисел и обобщениями алгебраической геометрии , идея «функториальности» между абстрактными алгебраическими представлениями числовых полей и их аналитическими простыми конструкциями приводит к мощным функциональным инструментам, позволяющим точно квантифицировать простые распределения . Это, в свою очередь, дает возможность классификации диофантовых уравнений и дальнейших абстракций алгебраических функций .
Более того, если взаимность таких обобщенных алгебр для постулируемых объектов существует, и если можно показать, что их аналитические функции хорошо определены, некоторые очень глубокие результаты в математике могут быть в пределах досягаемости доказательства. Примеры включают: рациональные решения эллиптических кривых , топологическое построение алгебраических многообразий и знаменитую гипотезу Римана . [13] Такие доказательства, как ожидается, будут использовать абстрактные решения в объектах обобщенных аналитических рядов , каждое из которых относится к инвариантности внутри структур числовых полей.
Кроме того, были постулированы некоторые связи между программой Ленглендса и теорией М , поскольку их дуальности соединяются нетривиальным образом, обеспечивая потенциальные точные решения в теории суперструн (как это было сделано в теории групп посредством чудовищного лунного света ).
Проще говоря, проект Ленглендса подразумевает глубокую и мощную структуру решений, которая касается самых фундаментальных областей математики, посредством обобщений высокого порядка в точных решениях алгебраических уравнений, с аналитическими функциями, как встроенными в геометрические формы. Он позволяет объединить многие отдаленные математические области в формализм мощных аналитических методов .
Все эти штуки, как выразился мой отец, довольно тяжелые: у нас есть пространства модулей Хитчина, зеркальная симметрия, A -браны, B -браны, автоморфные пучки... Можно заработать головную боль, просто пытаясь уследить за всем этим. Поверьте мне, даже среди специалистов очень мало людей знают азы всех элементов этой конструкции.
Программа Ленглендса теперь является обширной темой. Над ней работает большое сообщество людей в разных областях: теория чисел, гармонический анализ, геометрия, теория представлений, математическая физика. Хотя они работают с очень разными объектами, все они наблюдают похожие явления.
