пространство Хаусдорфа

Тип топологического пространства

В топологии и смежных разделах математики , пространство Хаусдорфа ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ^[1] ), пространство T ₂ или разделенное пространство , является топологическим пространством , в котором различные точки имеют непересекающиеся окрестности . Из многих аксиом разделения , которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (T ₂ ) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Оно подразумевает единственность пределов последовательностей , сетей и фильтров . [ 2 ^]

Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликса Хаусдорфа , одного из основателей топологии. Первоначальное определение Хаусдорфа топологического пространства (в 1914 году) включало условие Хаусдорфа как аксиому .

Определения

Точки x и y, разделенные соответствующими им окрестностями U и V.

Точки и в топологическом пространстве могут быть разделены окрестностями , если существует окрестность и окрестность такие , что и не пересекаются . является хаусдорфовым пространством , если любые две различные точки в разделены окрестностями. Это условие является третьей аксиомой разделения (после T ₀ и T ₁ ), поэтому хаусдорфовы пространства также называются пространствами T ₂ . Также используется название разделенное пространство . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Связанное, но более слабое понятие — это понятие предрегулярного пространства . является предрегулярным пространством, если любые две топологически различимые точки могут быть разделены непересекающимися окрестностями. Предрегулярное пространство также называется пространством R ₁ . ${\displaystyle X}$

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является как предрегулярным (т. е. топологически различимые точки разделены окрестностями), так и колмогоровским (т. е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство является предрегулярным тогда и только тогда, когда его колмогоровское частное является хаусдорфовым.

Эквивалентности

Для топологического пространства следующие условия эквивалентны: ^[2] ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$является хаусдорфовым пространством.
• Пределы сетей в являются уникальными. ^[3] ${\displaystyle X}$
• Пределы фильтров уникальны . ^[3] ${\displaystyle X}$
• Любой одноэлементный набор равен пересечению всех замкнутых окрестностей . [ ^4] (Замкнутая окрестность — это замкнутое множество , которое содержит открытое множество, содержащее .) ${\displaystyle \{x\}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Диагональ замкнута как подмножество пространства произведений . ${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Любая инъекция из дискретного пространства с двумя точками в обладает свойством подъема относительно отображения из конечного топологического пространства с двумя открытыми точками и одной замкнутой точкой в ​​одну точку. ${\displaystyle X}$

Примеры хаусдорфовых и нехаусдорфовых пространств

Почти все пространства, встречающиеся в анализе, являются хаусдорфовыми; что наиболее важно, действительные числа (в стандартной метрической топологии действительных чисел) являются хаусдорфовыми пространствами. В более общем смысле, все метрические пространства являются хаусдорфовыми. Фактически, многие пространства, используемые в анализе, такие как топологические группы и топологические многообразия , имеют условие Хаусдорфа, явно указанное в их определениях.

Простым примером топологии, которая является топологией T 1 , но не является хаусдорфовой, является кофинитная топология, определенная на бесконечном множестве , а также косчетная топология, определенная на несчетном множестве .

Псевдометрические пространства обычно не являются хаусдорфовыми, но они являются предрегулярными, и их использование в анализе обычно заключается только в построении хаусдорфовых калибровочных пространств . Действительно, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно все еще, вероятно, по крайней мере предрегулярно, и тогда они просто заменяют его его колмогоровским фактором, который является хаусдорфовым. ^[5]

Напротив, не-предрегулярные пространства встречаются гораздо чаще в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии , в частности, как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или спектр кольца . Они также возникают в теории моделей интуиционистской логики : каждая полная алгебра Гейтинга является алгеброй открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не обязательно должно быть предрегулярным, не говоря уже о Хаусдорфе, и фактически обычно не является ни тем, ни другим. Связанное с этим понятие области Скотта также состоит из не-предрегулярных пространств.

В то время как существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы пространства T ₁ , в которых каждая сходящаяся последовательность имеет уникальный предел. ^[6] Такие пространства называются пространствами US . ^[7] Для последовательных пространств это понятие эквивалентно слабо хаусдорфовости .

Характеристики

Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств являются хаусдорфовыми, но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязаны быть хаусдорфовыми. Фактически, каждое топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфового пространства. ^[8]

Хаусдорфовы пространства являются T 1 , что означает, что каждый синглтон является замкнутым множеством. Аналогично, предрегулярные пространства являются R 0 . Каждое хаусдорфово пространство является пространством Собера, хотя обратное в общем случае неверно.

Другое свойство хаусдорфовых пространств заключается в том, что каждое компактное множество является замкнутым множеством. Для нехаусдорфовых пространств может быть так, что каждое компактное множество является замкнутым множеством (например, косчетная топология на несчетном множестве) или нет (например, кофинитная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского ).

Определение хаусдорфова пространства гласит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, это подразумевает нечто, что, по-видимому, сильнее: в хаусдорфовом пространстве каждая пара непересекающихся компактных множеств также может быть разделена окрестностями, ^[9] другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, так что эти две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство является полностью регулярным . ^{[10] [11]} Компактные предрегулярные пространства являются нормальными , ^[12] что означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме о расширении Титце и имеют разбиения единицы, подчиненные локально конечным открытым покрытиям . Хаусдорфовы версии этих утверждений таковы: каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским , а каждое компактное хаусдорфово пространство является нормальным хаусдорфовым.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства, касающиеся отображений ( непрерывных и иных) в хаусдорфовы пространства и из них.

Пусть будет непрерывной функцией и предположим, что является Хаусдорфовой. Тогда график , , является замкнутым подмножеством . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Пусть будет функцией и пусть будет ее ядром, рассматриваемым как подпространство . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

• Если является непрерывным и хаусдорфовым, то является замкнутым множеством. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$
• Если — открытая сюръекция, а — замкнутое множество, то — Хаусдорфово. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle Y}$
• Если — непрерывная открытая сюръекция (т.е. открытое факторное отображение), то оно является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда — замкнутое множество. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Если являются непрерывными отображениями и является хаусдорфовым, то уравнитель является замкнутым множеством в . Отсюда следует, что если является хаусдорфовым и и совпадают на плотном подмножестве, то . Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах. ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=g}$

Пусть будет замкнутой сюръекцией такой, что компактно для всех . Тогда если является Хаусдорфовым, то является . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Пусть — фактор-карта с компактным хаусдорфовым пространством. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$это Хаусдорф.
• ${\displaystyle f}$это закрытая карта .
• ${\displaystyle \ker(f)}$представляет собой замкнутое множество.

Предрегулярность против регулярности

Все регулярные пространства являются предрегулярными, как и все хаусдорфовы пространства. Существует много результатов для топологических пространств, которые справедливы как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены для регулярных и хаусдорфовых пространств отдельно, потому что идея предрегулярных пространств появилась позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, как правило, не применимы также к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Существует много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (такое как паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется предрегулярность. Такие условия часто бывают двух версий: регулярная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства, в общем случае, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство является предрегулярным. Таким образом, с определенной точки зрения, в этих ситуациях на самом деле важна предрегулярность, а не регулярность. Однако определения обычно все еще формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие лучше известно, чем предрегулярность.

Более подробную информацию по этому вопросу см. в разделе История аксиом разделения .

Варианты

Термины «хаусдорфов», «разделенный» и «предрегулярный» могут также применяться к таким вариантам топологических пространств, как равномерные пространства , пространства Коши и пространства сходимости . Характерной чертой, которая объединяет концепцию во всех этих примерах, является то, что пределы сетей и фильтров (когда они существуют) являются единственными (для разделенных пространств) или единственными с точностью до топологической неразличимости (для предрегулярных пространств).

Как выясняется, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда являются предрегулярными, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T _0. Это также пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфовость является естественным спутником полноты в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет по крайней мере один предел, в то время как пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь пределы изначально).

Алгебра функций

Алгебра непрерывных (действительных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C*-алгеброй , и наоборот, по теореме Банаха–Стоуна можно восстановить топологию пространства из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии , где некоммутативные C*-алгебры рассматриваются как представляющие алгебры функций на некоммутативном пространстве.

Академический юмор

• Условие Хаусдорфа иллюстрируется игрой слов, что в хаусдорфовых пространствах любые две точки могут быть «отделены» друг от друга открытыми множествами . ^[13]
• В Математическом институте Боннского университета , в котором Феликс Хаусдорф проводил исследования и читал лекции, есть определенная комната, называемая Hausdorff-Raum . Это игра слов , поскольку Raum на немецком языке означает и комнату , и пространство .

Смотрите также

• Пространство с неподвижной точкой  — пространство, в котором все функции имеют неподвижные точки, хаусдорфово пространство X, такое, что каждая непрерывная функция f  : X → X имеет неподвижную точку.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Нехаусдорфово многообразие  – обобщение многообразийPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Квазитопологическое пространство  – множество X, снабженное функцией, которая каждому компактному хаусдорфову пространству K сопоставляет набор отображений K→C, удовлетворяющих некоторым естественным условиям.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Аксиома разделения  – Аксиомы в топологии, определяющие понятия «разделения»
• Слабое хаусдорфово пространство  – понятие в алгебраической топологииPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. "Определение и значение пространства Хаусдорфа". www.dictionary.com . Получено 15 июня 2022 г. .
2. "Аксиомы разделения в nLab". ncatlab.org .
3. Willard 2004, стр. 86–87
4. Бурбаки 1966, стр. 75
5. См., например, пространство Lp#пространства Lp и интегралы Лебега , компакт Банаха–Мазура и т. д.
6. ван Даувен, Эрик К. (1993). «Антихаусдорфово пространство Фреше, в котором сходящиеся последовательности имеют уникальные пределы». Топология и ее приложения . 51 (2): 147–158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
7. Вилански, Альберт (1967). «Между T ₁ и T ₂ ». The American Mathematical Monthly . 74 (3): 261–266. doi :10.2307/2316017. JSTOR  2316017.
8. Шимрат, М. (1956). «Пространства разложения и свойства разделения». Quarterly Journal of Mathematics . 2 : 128–129. doi :10.1093/qmath/7.1.128.
9. Уиллард 2004, стр. 124
10. Шехтер 1996, 17.14(d), с. 460.
11. "Локально компактные предрегулярные пространства полностью регулярны". math.stackexchange.com .
12. Шехтер 1996, 17.7(g), с. 457.
13. Адамс, Колин ; Францоса, Роберт (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Pearson Prentice Hall . стр. 42. ISBN 978-0-13-184869-6.

Ссылки

• Архангельский А.В.; Понтрягин, Л.С. (1990). Общая топология I. Спрингер . ISBN 3-540-18178-4.
• Бурбаки (1966). Элементы математики: Общая топология . Эддисон-Уэсли .
• «Хаусдорфово пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications . ISBN 0-486-43479-6.