Равномерное распределение

В математике однородное распределение — это распределение S на евклидовом пространстве R ⁿ или R ⁿ \ {0 }, которое является однородным в том смысле, что, грубо говоря,

${\displaystyle S(tx)=t^{m}S(x)\,}$

для всех t > 0.

Точнее, пусть будет скалярным оператором деления на R ⁿ . Распределение S на R ⁿ или R ⁿ \ {0 } является однородным степени m при условии, что ${\displaystyle \mu _{t}:x\mapsto x/t}$

${\displaystyle S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]}$

для всех положительных действительных t и всех тестовых функций φ. Дополнительный множитель t ^{− n} необходим для воспроизведения обычного понятия однородности для локально интегрируемых функций и возникает из якобианской замены переменных . Число m может быть действительным или комплексным.

Может быть нетривиальной задачей расширить заданное однородное распределение от R ⁿ \ {0} до распределения на R ⁿ , хотя это необходимо для многих методов анализа Фурье , в частности преобразования Фурье , чтобы быть примененным. Однако такое расширение существует в большинстве случаев, хотя оно может быть не единственным.

Характеристики

Если S — однородное распределение на R ⁿ \ {0} степени α, то слабая первая частная производная S

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}}$

имеет степень α−1. Более того, имеет место версия теоремы Эйлера об однородной функции : распределение S однородно степени α тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.}$

Одно измерение

Возможна полная классификация однородных распределений в одном измерении. Однородные распределения на R \ {0 } задаются различными степенными функциями . Помимо степенных функций, однородные распределения на R включают дельта-функцию Дирака и ее производные.

Дельта-функция Дирака однородна степени −1. Интуитивно понятно,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }\delta (y)\varphi (y/t)\,{\frac {dy}{t}}=t^{-1}\varphi (0)}$

путем замены переменных y = tx в «интеграле». Более того, k -я слабая производная дельта-функции δ ^{( k )} однородна степени − k −1. Все эти распределения имеют носитель, состоящий только из начала координат: при локализации над R \ {0 } все эти распределения тождественно равны нулю.

хα +

В одном измерении функция

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

локально интегрируемо на R \ {0 }, и, таким образом, определяет распределение. Распределение однородно степени α. Аналогично и являются однородными распределениями степени α. ${\displaystyle x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }}$ ${\displaystyle |x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }}$

Однако каждое из этих распределений локально интегрируемо только на всех R при условии Re(α) > −1. Но хотя функция, наивно определенная приведенной выше формулой, не является локально интегрируемой при Re α ≤ −1, отображение ${\displaystyle x_{+}^{\alpha }}$

${\displaystyle \alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }}$

является голоморфной функцией из правой полуплоскости в топологическое векторное пространство умеренных распределений. Она допускает единственное мероморфное расширение с простыми полюсами в каждом отрицательном целом числе α = −1, −2, ... . Полученное расширение однородно степени α, при условии, что α не является отрицательным целым числом, поскольку, с одной стороны, соотношение

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]}$

выполняется и является голоморфным при α > 0. С другой стороны, обе стороны мероморфно расширяются по α и, таким образом, остаются равными во всей области определения.

Во всей области определения x^α
₊также удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}}$

Другие расширения

Существует несколько различных способов расширить определение степенных функций до однородных распределений на R при отрицательных целых числах.

χ^α
₊

Полюса в x^α
₊при отрицательных целых числах можно удалить путем перенормировки. Положим

${\displaystyle \chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.}$

Это целая функция α. При отрицательных целых числах

${\displaystyle \chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.}$

Распределения имеют свойства ${\displaystyle \chi _{+}^{a}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{k}}$

Второй подход заключается в определении распределения для k = 1, 2, ..., ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\log |x|.}$

Они явно сохраняют исходные свойства степенных функций:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x}}^{-k-1}}$
• ${\displaystyle x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{if }}k>1.}$

Эти распределения также характеризуются своим воздействием на тестовые функции.

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,}$

и таким образом обобщить распределение главного значения Коши 1/ x , которое возникает в преобразовании Гильберта .

( х ± i0) ^α

Другое однородное распределение задается пределом распределения

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.}$

То есть, действуя на тестовые функции

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.}$

Ветвь логарифма выбирается однозначной в верхней полуплоскости и согласуется с натуральным логарифмом вдоль положительной действительной оси. Как предел целых функций, ( x + i0) ^α [φ] является целой функцией α. Аналогично,

${\displaystyle (x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }}$

также является хорошо определенным распределением для всех α

Когда Re α > 0,

${\displaystyle (x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },}$

которое затем выполняется аналитическим продолжением всякий раз, когда α не является отрицательным целым числом. Постоянством функциональных отношений,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.}$

При отрицательных целых числах тождество выполняется (на уровне распределений на R \ {0})

${\displaystyle (x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

и особенности сокращаются, давая четко определенное распределение на R. Среднее значение двух распределений согласуется с : ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$

${\displaystyle {\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.}$

Разница двух распределений кратна дельта-функции:

${\displaystyle (x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

которое известно как соотношение скачков Племеля .

Классификация

Имеет место следующая теорема классификации (Гельфанд и Шилов 1966, §3.11). Пусть S — распределение, однородное степени α на R \ {0 }. Тогда для некоторых констант a , b . Любое распределение S на R, однородное степени α ≠ −1, −2, ... , также имеет этот вид. В результате каждое однородное распределение степени α ≠ −1, −2, ... на R \ {0 } продолжается на R . ${\displaystyle S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }}$

Наконец, все однородные распределения степени − k , отрицательного целого числа, на R имеют вид:

${\displaystyle a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.}$

Более высокие измерения

Однородные распределения на евклидовом пространстве R ⁿ \ {0 } с удаленным началом координат всегда имеют вид

где ƒ — распределение на единичной сфере S ^{n −1} . Число λ, представляющее собой степень однородного распределения S , может быть действительным или комплексным.

Любое однородное распределение вида ( 1 ) на R ⁿ \ {0 } однозначно продолжается до однородного распределения на R ⁿ при условии Re λ > − n . Фактически, аналитический аргумент продолжения, аналогичный одномерному случаю, расширяет это для всех λ ≠ − n , − n −1, ... .

Ссылки

• Гельфанд, И.М.; Шилов, Г.Е. (1966), Обобщенные функции , т. 1, Academic Press.
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Тейлор, Майкл (1996), Уравнения с частными производными, т. 1 , Springer-Verlag.