Радиус вращения

Расстояние от центра масс до оси вращения

Радиус вращения или радиус вращения тела вокруг оси вращения определяется как радиальное расстояние до точки, момент инерции которой был бы таким же, как фактическое распределение массы тела, если бы там была сосредоточена вся масса тела.

Формулировка

Математически радиус инерции — это среднеквадратичное расстояние частей объекта от его центра масс или заданной оси, в зависимости от соответствующего применения. На самом деле это расстояние по перпендикуляру от точечной массы до оси вращения. Траекторию движущейся точки можно представить в виде тела. Тогда радиус инерции можно использовать для характеристики типичного расстояния, пройденного этой точкой.

Предположим, тело состоит из частиц, каждая из которых имеет массу . Пусть – их перпендикулярные расстояния от оси вращения. Тогда момент инерции тела относительно оси вращения равен ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}$

Если все массы одинаковы ( ), то момент инерции равен . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}$

Поскольку ( это общая масса тела), ${\displaystyle m=M/n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Из приведенных выше уравнений мы имеем

${\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Радиус инерции - это среднеквадратичное расстояние частиц от оси. Формула

${\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Следовательно, радиус вращения тела вокруг данной оси можно также определить как среднеквадратичное расстояние различных частиц тела от оси вращения. Он также известен как мера распределения массы вращающегося твердого тела вокруг его оси вращения.

Определение ИЮПАП

Радиус инерции (в науке о полимерах) ( , единица измерения: нм или единица СИ: м): Для макромолекулы, состоящей из массовых элементов, масс , =1,2,…, , расположенных на фиксированных расстояниях от центра массы, радиус инерции - это квадратный корень из средней массы всех элементов массы, т. е. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{2}}$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}}$

Примечание. За элементы массы обычно принимают массы скелетных групп, составляющих макромолекулу, например –CH ₂ – в полиметилене. ^[1]

Применение в строительном проектировании

В строительной технике двумерный радиус инерции используется для описания распределения площади поперечного сечения колонны вокруг ее центроидальной оси с массой тела. Радиус инерции определяется следующей формулой:

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}$

Где – второй момент площади и – полная площадь поперечного сечения. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$

Радиус вращения полезен при оценке жесткости колонны. Если главные моменты двумерного тензора вращения не равны, колонна будет стремиться прогнуться вокруг оси с меньшим главным моментом. Например, колонна эллиптического поперечного сечения будет иметь тенденцию прогибаться в направлении меньшей полуоси.

В технике , где объектами исследования обычно являются непрерывные тела материи, радиус инерции обычно рассчитывается как интеграл.

Приложения в механике

Радиус вращения вокруг данной оси ( ) можно рассчитать через момент инерции массы вокруг этой оси и общую массу m ; ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}}$ ${\displaystyle I_{\text{axis}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}}$

${\displaystyle I_{\text{axis}}}$является скаляром и не является тензором момента инерции .^[2]

Молекулярные приложения

Определение ИЮПАК радиуса инерции

В физике полимеров радиус инерции используется для описания размеров полимерной цепи . Радиус вращения отдельного гомополимера со степенью полимеризации N в данный момент времени определяется как: ^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}}$

где – среднее положение мономеров. Как подробно описано ниже, радиус вращения также пропорционален среднеквадратичному расстоянию между мономерами: ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

В качестве третьего метода радиус вращения также можно вычислить путем суммирования главных моментов тензора вращения .

Поскольку количество конформаций цепи в образце полимера квазибесконечно и постоянно меняются с течением времени, «радиус инерции», обсуждаемый в физике полимеров, обычно следует понимать как среднее значение по всем полимерным молекулам образца и с течением времени. То есть радиус вращения, который измеряется как среднее по времени или ансамблю :

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle }$

где угловые скобки обозначают среднее значение по ансамблю . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Полимерная цепь, управляемая энтропией (т.е. в так называемых тета-условиях), совершает случайное блуждание в трех измерениях. Радиус инерции в этом случае определяется выражением

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}$

Обратите внимание, что хотя эта длина и представляет собой контурную длину полимера, она сильно зависит от жесткости полимера и может варьироваться на порядки. соответственно уменьшается. ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$

Одна из причин того, что радиус инерции является интересным свойством, заключается в том, что его можно определить экспериментально с помощью статического рассеяния света , а также с помощью малоуглового рассеяния нейтронов и рентгеновских лучей . Это позволяет физикам-теоретикам-полимерщикам проверять свои модели на соответствие реальности. Гидродинамический радиус численно аналогичен и может быть измерен с помощью динамического рассеяния света (DLS).

Получение идентичности

Чтобы показать, что два определения идентичны, мы сначала умножим слагаемое в первом определении: ${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]}$

Проведение суммирования по двум последним слагаемым и использование определения дает формулу ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}$

С другой стороны, второе определение можно вычислить аналогично следующему.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}$

Таким образом, можно показать, что эти два определения одинаковы.

Следует отметить, что последнее преобразование использует приведенное ниже соотношение.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}$

Приложения в анализе географических данных

При анализе данных радиус вращения используется для расчета множества различных статистических данных, включая распространение географических местоположений. Эти местоположения были недавно собраны у пользователей социальных сетей для изучения типичных упоминаний пользователя. Это может быть полезно для понимания того, как определенная группа пользователей социальных сетей использует платформу.

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

Примечания

1. Степто, Р.; Чанг, Т.; Краточвил, П.; Хесс, М.; Хори, К.; Сато, Т.; Волидал, Дж. (2015). «Определения терминов, относящихся к отдельным макромолекулам, макромолекулярным комплексам, полимерным растворам и аморфным сыпучим полимерам (Рекомендации IUPAC 2014)» (PDF) . Чистая прикладная химия . 87 (1): 71. doi :10.1515/pac-2013-0201.
2. См., например , Гольдштейн, Герберт (1950), Классическая механика (1-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley Publishing Company.уравнение 5-30
3. Фиксман, Маршалл (1962). «Радиус вращения полимерных цепей». Журнал химической физики . 36 (2): 306–310. Бибкод : 1962JChPh..36..306F. дои : 10.1063/1.1732501.

Рекомендации

• Гросберг А.Ю. и Хохлов А.Р. (1994) Статистическая физика макромолекул (перевод Атанова Ю.А.), АИП Пресс. ISBN 1-56396-071-0 
• Флори Пи Джей. (1953) Принципы химии полимеров , Корнельский университет, стр. 428–429 (Приложение C главы X).