Раздача твиди

Семейство вероятностных распределений

В теории вероятностей и статистике распределения Твиди представляют собой семейство вероятностных распределений , которые включают чисто непрерывное нормальное , гамма-распределение и обратное распределение Гаусса , чисто дискретное масштабированное распределение Пуассона и класс сложных гамма-распределений Пуассона , которые имеют положительную массу в нуле. но в остальном непрерывны. ^[1] Распределения Твиди представляют собой частный случай моделей экспоненциальной дисперсии и часто используются в качестве распределений для обобщенных линейных моделей . ^[2]

Распределения Твиди были названы Бентом Йоргенсеном ^[3] в честь Мориса Твиди , статистика и медицинского физика из Ливерпульского университета , Великобритания, который представил первое тщательное исследование этих распределений в 1984 году. ^{[1] [4] [2]}

Определения

(Репродуктивные) распределения Твиди определяются как подсемейство (репродуктивных) моделей экспоненциальной дисперсии (ED) со специальным соотношением среднего и дисперсии . Случайная величина Y является распределенной Твиди Tw _p (μ, σ ² ) , если со средним значением положительный параметр дисперсии и ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (Y)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\,\mu ^{p},}$

где называется параметром мощности Твиди. Распределение вероятностей P _{θ,σ ²} на измеримых множествах A определяется выражением ${\displaystyle p\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle P_{\theta ,\sigma ^{2}}(Y\in A)=\int _{A}\exp \left({\frac {\theta \cdot z-\kappa _{p}(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\cdot \nu _{\lambda }\,(dz),}$

для некоторой σ-конечной меры ν _λ . В этом представлении используется канонический параметр θ модели экспоненциальной дисперсии и кумулянтная функция.

${\displaystyle \kappa _{p}(\theta )={\begin{cases}{\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha },&{\text{for }}p\neq 1,2\\-\log(-\theta ),&{\text{for }}p=2\\e^{\theta },&{\text{for }}p=1\end{cases}}}$

где мы использовали или что-то подобное . ${\displaystyle \alpha ={\frac {p-2}{p-1}}}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha -2}{\alpha -1}}}$

Характеристики

Аддитивные модели экспоненциальной дисперсии

Только что описанные модели находятся в репродуктивной форме. Модель экспоненциальной дисперсии всегда имеет двойную: аддитивную форму. Если Y репродуктивно, то with находится в аддитивной форме ED ^* ( θ , λ ), для Твиди Tw ^* _p (μ, λ) . Аддитивные модели обладают тем свойством, что распределение суммы независимых случайных величин ${\displaystyle Z=\lambda Y}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n},}$

для которых Z _i  ~ ED ^* ( θ , λ _i ) с фиксированными θ и различными λ являются членами семейства распределений с одинаковыми θ ,

${\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED} ^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}$

Модели репродуктивной экспоненциальной дисперсии

Существует второй класс моделей экспоненциальной дисперсии, обозначаемый случайной величиной

${\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}),}$

где σ ²  = 1/ λ , известные как модели репродуктивной экспоненциальной дисперсии. Они обладают тем свойством, что для n независимых случайных величин Y _i  ~ ED( , σ 2 ^/ w i ₎ , с весовыми коэффициентами w _i и

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i},}$

средневзвешенное значение переменных дает,

${\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}/w).}$

Для репродуктивных моделей средневзвешенное значение независимых случайных величин с фиксированными µ и σ ² и различными значениями w _i является членом семейства распределений с одинаковыми µ и σ ² .

Модели экспоненциальной дисперсии Твиди являются как аддитивными, так и репродуктивными; таким образом, мы имеем преобразование дуальности

${\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}$

Масштабная инвариантность

Третье свойство моделей Твиди заключается в том, что они масштабно-инвариантны : для модели репродуктивной экспоненциальной дисперсии Tw _p (μ, σ ² ) и любой положительной константы c мы имеем свойство замыкания при масштабной трансформации,

${\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}$

Функция дисперсии степени Твиди

Чтобы определить функцию дисперсии для моделей экспоненциальной дисперсии, мы используем отображение среднего значения, связь между каноническим параметром θ и средним значением µ . Оно определяется функцией

${\displaystyle \tau (\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu .}$

с накопительной функцией . Функция дисперсии V ( µ ) строится на основе отображения среднего значения, ${\displaystyle \kappa (\theta )}$

${\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}$

Здесь минус показатель степени в τ ⁻¹ ( µ ) обозначает обратную функцию, а не обратную. Среднее значение и дисперсия аддитивной случайной величины тогда равны E( Z ) =  λμ и var( Z ) =  λV ( μ ).

Масштабная инвариантность подразумевает, что функция дисперсии подчиняется соотношению V ( μ ) = μ ^p . ^[2]

Отклонение Твиди

Единичное отклонение репродуктивного распределения Твиди определяется выражением

${\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}$

Кумулянтные производящие функции Твиди

Свойства моделей экспоненциальной дисперсии дают нам два дифференциальных уравнения . ^[2] Первый связывает отображение среднего значения и функцию дисперсии друг с другом,

${\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}$

Второй показывает, как отображение среднего значения связано с кумулянтной функцией :

${\displaystyle {\frac {\partial \kappa (\theta )}{\partial \theta }}=\tau (\theta ).}$

Эти уравнения можно решить, чтобы получить кумулянтную функцию для различных случаев моделей Твиди. Затем из кумулянтной функции можно получить кумулянтную производящую функцию (CGF). Аддитивный CGF обычно определяется уравнением

${\displaystyle K^{*}(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sZ})]=\lambda [\kappa (\theta +s)-\kappa (\theta )],}$

и репродуктивный CGF посредством

${\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sY})]=\lambda [\kappa (\theta +s/\lambda )-\kappa (\theta )],}$

где s — переменная производящей функции.

Для аддитивных моделей Твиди CGF принимают форму:

${\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{\alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}}$

и для репродуктивных моделей,

${\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{[1+s/(\theta \lambda )]^{\alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s/\lambda }-1)&\quad p=1.\end{cases}}}$

Аддитивную и репродуктивную модели Твиди условно обозначают символами Tw ^* _p ( θ , λ ) и Twp ( _θ , σ2 ) ^{соответственно} .

Первая и вторая производные CGF с s  = 0 дают среднее значение и дисперсию соответственно. Таким образом, можно подтвердить, что для аддитивных моделей дисперсия относится к среднему значению по степенному закону:

${\displaystyle \mathrm {var} (Z)\propto \mathrm {E} (Z)^{p}.}$

Теорема о сходимости Твиди

Модели экспоненциальной дисперсии Твиди имеют фундаментальное значение в статистической теории, поскольку они играют роль центров конвергенции для широкого спектра статистических процессов. Йоргенсен и др . доказали теорему, определяющую асимптотическое поведение функций дисперсии, известную как теорема сходимости Твиди . ^[5] Технически эта теорема формулируется следующим образом: ^[2] Функция единичной дисперсии является регулярной порядка p в нуле (или бесконечности) при условии, что V ( µ ) ~  c ₀ µ ^p для µ при приближении к нулю ( или бесконечность) для всех действительных значений p и c ₀  > 0. Тогда для единичной функции дисперсии, регулярной порядка p либо в нуле, либо в бесконечности и для

${\displaystyle p\notin (0,1),}$

для любого , и у нас есть ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$

${\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED} (c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\rightarrow Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})}$

as или , соответственно, где сходимость осуществляется через такие значения c , что cμ находится в области θ , а c ^{p −2} / σ ² находится в области λ . Модель должна быть бесконечно делимой, поскольку c ^{2− p} стремится к бесконечности. ^[2] ${\displaystyle c\downarrow 0}$ ${\displaystyle c\rightarrow \infty }$

В нетехнических терминах эта теорема подразумевает, что любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует степенной закон отклонения от среднего, должна иметь функцию дисперсии, которая попадает в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными производящими функциями кумулянта квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии проявляют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение, а распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных. ^[6]

Связанные дистрибутивы

Распределения Твиди включают в себя ряд знакомых распределений, а также несколько необычных, каждое из которых определяется областью определения индексного параметра. У нас есть

• предельно стабильное распределение, p  < 0,
• нормальное распределение , p  = 0,
• Распределение Пуассона , p  = 1,
• сложное распределение Пуассона–гамма , 1 <  p  < 2,
• гамма-распределение , p  = 2,
• положительные устойчивые распределения , 2 <  p  < 3,
• Обратное распределение Гаусса , p  = 3,
• положительные устойчивые распределения, p  > 3, и
• крайние устойчивые распределения, p  =  ∞ .

Для 0 <  p  < 1 модели Твиди не существует. Обратите внимание, что все стабильные дистрибутивы фактически созданы стабильными дистрибутивами .

Возникновение и применение

Модели Твиди и степенной закон Тейлора

Закон Тейлора - это эмпирический закон экологии , который связывает дисперсию числа особей вида на единицу площади среды обитания с соответствующим средним значением степенным соотношением. ^[7] Для количества населения Y со средним значением µ и дисперсией var( Y ) записан закон Тейлора:

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\mu ^{p},}$

где a и p — положительные константы. С тех пор как Л.Р. Тейлор описал этот закон в 1961 году, для его объяснения было предложено множество различных объяснений, начиная от поведения животных, ^[7] модели случайного блуждания , ^[8] модели стохастического рождения, смерти, иммиграции и эмиграции , ^[9] до следствие равновесной и неравновесной статистической механики . ^[10] Не существует единого мнения относительно объяснения этой модели.

Поскольку закон Тейлора математически идентичен степенному закону отклонения от среднего, который характеризует модели Твиди, казалось разумным использовать эти модели и теорему сходимости Твиди для объяснения наблюдаемой кластеризации животных и растений, связанной с законом Тейлора. ^{[11] [12]} Большинство наблюдаемых значений показателя степени p попали в интервал (1,2), и поэтому распределение Пуассона – гамма-распределение соединения Твиди кажется применимым. Сравнение эмпирической функции распределения с теоретическим составным распределением Пуассона – гамма-распределением позволило проверить непротиворечивость этой гипотезы. ^[11]

В то время как традиционные модели закона Тейлора имеют тенденцию включать специальные предположения о поведении животных или динамике популяции , теорема о сходимости Твиди предполагает, что закон Тейлора является результатом общего математического эффекта сходимости, во многом аналогично тому, как центральная предельная теорема управляет поведением сходимости определенных типов случайные данные. Действительно, любая математическая модель, аппроксимация или моделирование, предназначенные для получения закона Тейлора (на основе этой теоремы), должны сходиться к форме моделей Твиди. ^[6]

Сходимость Твиди и шум 1/ f

Розовый шум , или шум 1/ f , относится к структуре шума, характеризующейся степенным соотношением между его интенсивностью S ( f ) на разных частотах f ,

${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma }}},}$

где безразмерный показатель γ ∈ [0,1]. Он встречается в самых разных природных процессах. ^[13] Существует множество различных объяснений шума 1/ f . Широко распространенная гипотеза основана на самоорганизованной критичности , когда считается, что динамические системы, близкие к критической точке, проявляют масштабно-инвариантное пространственное и/или временное поведение.

В этом подразделе будет описана математическая связь между шумом 1/ f и законом зависимости дисперсии Твиди от средней степени. Для начала нам сначала нужно ввести самоподобные процессы : Для последовательности чисел

${\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots ,N)}$

со средним

${\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E} (Y_{i}),}$

отклонения

${\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat {\mu }},}$

дисперсия

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\operatorname {E} (y_{i}^{2}),}$

и автокорреляционная функция

${\displaystyle r(k)={\frac {\operatorname {E} (y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E} (y_{i}^{2})}}}$

с задержкой k , если автокорреляция этой последовательности имеет поведение на больших расстояниях

${\displaystyle r(k)\sim k^{-d}L(k)}$

при k →∞ и где L ( k ) — медленно меняющаяся функция при больших значениях k , эта последовательность называется самоподобным процессом. ^[14]

Метод расширения интервалов можно использовать для анализа самоподобных процессов. Рассмотрим набор непересекающихся ячеек одинакового размера, который делит исходную последовательность из N элементов на группы из m сегментов одинакового размера ( N/m — целое число), так что можно определить новые воспроизводящие последовательности на основе средних значений:

${\displaystyle Y_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im})/m.}$

Отклонение, определенное из этой последовательности, будет масштабироваться по мере изменения размера интервала, так что

${\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }}^{2}m^{-d}}$

тогда и только тогда, когда автокорреляция имеет предельную форму ^[15]

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}$

Можно также построить набор соответствующих аддитивных последовательностей

${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)},}$

на основе расширяющихся бункеров,

${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}$

При условии, что автокорреляционная функция демонстрирует такое же поведение, аддитивные последовательности будут подчиняться соотношению

${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}$

Поскольку и являются константами, это соотношение представляет собой степенной закон отклонения от среднего с p  = 2 -  d . ^{[6] [16]} ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Вышеупомянутая двуусловная связь между степенным законом дисперсии и средним значением и автокорреляционной функцией степенного закона, а также теорема Винера-Хинчина ^[17] подразумевают, что любая последовательность, которая демонстрирует степенной закон дисперсии к среднему методом расширения интервалов, также будет проявлять шум 1/ f , и наоборот. Более того, теорема о сходимости Твиди, в силу своего центрального предельного эффекта создания распределений, которые проявляют дисперсию к средней степенной функции, также будет генерировать процессы, которые проявляют 1/ f -шум. ^[6] Таким образом, теорема о сходимости Твиди дает альтернативное объяснение происхождения шума 1/ f , основанное на его центральном предельном эффекте.

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных процессов имели в качестве фокуса своей сходимости распределение Гаусса и, таким образом, выражали белый шум , теорема о сходимости Твиди требует, чтобы определенные негауссовы процессы имели в качестве фокуса сходимости распределения Твиди, которые выразить 1/ f шум. ^[6]

Модели Твиди и мультифрактальность.

Из свойств самоподобных процессов степенной показатель p  = 2 -  d связан с показателем Херста H и фрактальной размерностью D соотношением ^[15]

${\displaystyle D=2-H=2-p/2.}$

Одномерная последовательность самоподобных данных может демонстрировать степенной закон отклонения от среднего с локальными изменениями значения p и, следовательно, значения D . Когда фрактальные структуры демонстрируют локальные вариации фрактальной размерности, их называют мультифракталами . Примеры последовательностей данных, которые демонстрируют подобные локальные вариации p , включают отклонения собственных значений гауссовых ортогональных и унитарных ансамблей . ^[6] Распределение Пуассона–гамма соединения Твиди послужило для моделирования мультифрактальности на основе локальных изменений показателя Твиди α . Следовательно, в сочетании с изменением α теорему о сходимости Твиди можно рассматривать как играющую роль в возникновении таких мультифракталов.

Было обнаружено, что в некоторых случаях изменение α подчиняется асимметричному распределению Лапласа . ^[18] Было показано, что это распределение является членом семейства геометрических моделей Твиди, ^[19] которые проявляются как предельные распределения в теореме сходимости для геометрических моделей дисперсии.

Регионарный органный кровоток

Регионарный органный кровоток традиционно оценивали путем инъекции меченых радиоактивным изотопом полиэтиленовых микросфер в артериальное кровообращение животных такого размера, при котором они попадают в микроциркуляцию органов. Затем орган, подлежащий оценке, делят на кубики одинакового размера, и количество радиоактивной метки в каждом кубике оценивают путем жидкостного сцинтилляционного счета и записывают. Количество радиоактивности внутри каждого куба определяется потоком крови через этот образец во время инъекции. Возможна оценка соседних кубиков от органа с целью аддитивного определения кровотока по более крупным областям. Благодаря работе Дж. Б. Бассингтуэйта и других был получен эмпирический степенной закон между относительной дисперсией кровотока образцов тканей ( RD  = стандартное отклонение/среднее значение) массы m относительно образцов эталонного размера: ^[20]

${\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref}})\left({\frac {m}{m_{\text{ref}}}}\right)^{1-D_{s}}}$

Этот показатель степени D _s был назван фрактальным измерением. Можно показать, что степенной закон Бассингтуэйта напрямую связан со степенным законом отклонения от среднего. ^Таким образом, региональный кровоток в органах можно смоделировать с помощью распределения Пуассона и гамма- распределения Твиди . Было обнаружено, что кровоток на этом уровне микроциркуляции подчиняется гамма-распределению ^[22] , что подтверждает эту гипотезу.

Метастазирование рака

«Экспериментальный анализ метастазов рака » ^[23] имеет некоторое сходство с описанным выше методом измерения регионарного кровотока. Группам сингенных мышей и мышей соответствующего возраста внутривенно вводят аликвоты одинакового размера суспензий клонированных раковых клеток, а затем через определенный период времени их легкие удаляют и подсчитывают количество раковых метастазов в каждой паре легких. Если другим группам мышей будут введены разные клоны раковых клеток , то количество метастазов на группу будет отличаться в зависимости от метастатического потенциала клонов. Давно признано, что могут существовать значительные внутриклональные различия в количестве метастазов на одну мышь, несмотря на все попытки сохранить одинаковые экспериментальные условия внутри каждой клональной группы. ^[23] Это изменение больше, чем можно было бы ожидать на основе распределения Пуассона числа метастазов на мышь в каждом клоне, и когда дисперсия количества метастазов на мышь была построена против соответствующего среднего значения, был найден степенной закон. ^[24]

Было обнаружено, что степенной закон отклонения от среднего для метастазов также справедлив для спонтанных метастазов у ​​мышей ^[25] и для серии случаев метастазов у ​​человека. ^[26] Поскольку гематогенное метастазирование происходит в прямой зависимости от регионарного кровотока ^[27], а видеомикроскопические исследования показывают, что прохождение и захват раковых клеток в кровообращении аналогичны экспериментам с микросферами ^[28] , казалось правдоподобным предположить, что изменение количество гематогенных метастазов может отражать гетерогенность кровотока в регионарных органах. ^[29] Модель кровотока была основана на распределении Пуассона-гамма соединения Твиди, распределении, управляющем непрерывной случайной величиной. По этой причине в модели метастазов предполагалось, что кровоток регулируется этим распределением и что количество региональных метастазов происходит как процесс Пуассона , интенсивность которого прямо пропорциональна кровотоку. Это привело к описанию отрицательного биномиального распределения Пуассона (PNB) как дискретного эквивалента составного распределения Пуассона – гамма-распределения Твиди. Генерирующая функция вероятности для распределения PNB:

${\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}$

Тогда связь между средним значением и дисперсией распределения PNB будет равна

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\operatorname {E} (Y)^{b}+\operatorname {E} (Y),}$

который в диапазоне многих экспериментальных анализов метастазирования был бы неотличим от степенного закона отклонения от среднего. Однако для разреженных данных эта дискретная связь дисперсии со средним будет вести себя больше как распределение Пуассона, где дисперсия равна среднему значению.

Геномная структура и эволюция

Локальная плотность однонуклеотидных полиморфизмов (SNP) в геноме человека , а также плотность генов , по-видимому, группируется в соответствии со степенным законом дисперсии к среднему и распределением Пуассона-гамма соединения Твиди. ^{[30] [31]} В случае SNP их наблюдаемая плотность отражает методы оценки, доступность геномных последовательностей для анализа и нуклеотидную гетерозиготность . ^[32] Первые два фактора отражают ошибки установления, присущие методам сбора, последний фактор отражает внутреннее свойство генома.

В объединенной модели популяционной генетики каждый генетический локус имеет свою уникальную историю. В ходе эволюции популяции некоторых видов некоторые генетические локусы, предположительно, могли быть прослежены до относительно недавнего общего предка , тогда как другие локусы могли иметь более древнюю генеалогию . Более древние сегменты генома имели больше времени для накопления SNP и рекомбинации . Р. Р. Хадсон предложил модель, согласно которой рекомбинация может вызвать изменение времени появления наиболее общего недавнего предка для разных сегментов генома. ^[33] Высокая скорость рекомбинации может привести к тому, что хромосома будет содержать большое количество небольших сегментов с менее коррелирующими генеалогиями.

Предполагая постоянную фоновую скорость мутаций, количество SNP на сегмент генома будет накапливаться пропорционально времени до самого последнего общего предка. Текущая теория популяционной генетики указывает на то, что это время в среднем будет гамма-распределенным . ^[34] Распределение Пуассона-гамма соединения Твиди предполагает модель, в которой карта SNP будет состоять из множества небольших геномных сегментов, при этом среднее количество SNP на сегмент будет гамма-распределено в соответствии с моделью Хадсона.

Распределение генов в геноме человека также демонстрировало степенной закон дисперсии к среднему, когда метод расширения ячеек использовался для определения соответствующих дисперсий и средних значений. ^[31] Аналогичным образом было обнаружено, что количество генов на счетный бин подчиняется распределению Пуассона-гамма соединения Твиди. Это распределение вероятностей считалось совместимым с двумя различными биологическими моделями: моделью микроаранжировки , в которой количество генов на единицу длины генома определялось суммой случайного числа меньших геномных сегментов, полученных в результате случайного разрыва и реконструкции протохормосом. Предполагается, что эти меньшие сегменты несут в среднем гамма-распределенное количество генов.

В альтернативной модели кластера генов гены будут распределяться внутри протохромосом случайным образом. В течение больших эволюционных временных масштабов будут происходить тандемные дупликации , мутации, вставки, делеции и перестройки , которые могут повлиять на гены посредством стохастического процесса рождения, смерти и иммиграции , приводя к сложному распределению Пуассона-гамма Твиди.

Оба эти механизма подразумевают нейтральные эволюционные процессы , которые приводят к региональной кластеризации генов.

Теория случайных матриц

Гауссов унитарный ансамбль (GUE) состоит из комплексных эрмитовых матриц , инвариантных относительно унитарных преобразований , тогда как гауссов ортогональный ансамбль (GOE) состоит из вещественных симметричных матриц, инвариантных относительно ортогональных преобразований . Ранжированные собственные значения En из этих случайных матриц подчиняются полукруговому распределению Вигнера : для матрицы _{размера} N × N средняя плотность собственных значений размера E будет равна

${\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}}$

при E → ∞ . Интегрирование правила полукруга обеспечивает число собственных значений в среднем меньше E ,

${\displaystyle {\bar {\eta }}(E)={\frac {1}{2\pi }}\left[E{\sqrt {2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{\sqrt {2N}}}\right)+\pi N\right].}$

Ранжированные собственные значения можно развернуть или перенормировать с помощью уравнения

${\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}(E)=\int \limits _{-\infty }^{E_{n}}\,dE^{\prime }{\bar {\rho }}(E^{\prime }).}$

Это удаляет тенденцию последовательности из колеблющейся части. Если мы посмотрим на абсолютное значение разницы между фактическим и ожидаемым совокупным числом собственных значений

${\displaystyle \left|{\bar {D}}_{n}\right|=\left|n-{\bar {\eta }}(E_{n})\right|}$

мы получаем последовательность флуктуаций собственных значений , которая, используя метод расширения ячеек, обнаруживает степенной закон отклонения от среднего. ^[6] Флуктуации собственных значений как GUE, так и GOE проявляют этот степенной закон с показателями степенного закона в диапазоне от 1 до 2, и они аналогичным образом проявляют спектры шума 1/ f . Эти флуктуации собственных значений также соответствуют распределению Пуассона–гамма соединения Твиди и демонстрируют мультифрактальность. ^[6]

Распределение простых чисел

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) определяется формулой :

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{{\widehat {p\,}}^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$

где суммирование проводится по всем степеням простых чисел, не превышающим  x , x пробегает положительные действительные числа и является функцией фон Мангольдта . Функция ψ ( x ) связана с функцией подсчета простых чисел π ( x ) и, как таковая, предоставляет информацию о распределении простых чисел среди действительных чисел. Оно асимптотично для  x , утверждение, эквивалентное теореме о простых числах , и также можно показать, что оно связано с нулями дзета- функции Римана , расположенными в критической полосе ρ , где действительная часть дзета-ноля ρ находится между 0 и 1. Тогда ψ, выраженное для x большего единицы, можно записать: ${\displaystyle {\widehat {p\,}}^{k}}$ ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$

где

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета -функции Римана имеют действительную часть ½. Эти нули дзета-функции связаны с распределением простых чисел . Шенфельд ^[35] показал, что если гипотеза Римана верна, то

${\displaystyle \Delta (x)=\left\vert \psi (x)-x\right\vert <{\sqrt {x}}\log ^{2}(x)/(8\pi )}$

для всех . Если мы проанализируем отклонения Чебышева Δ( n ) для целых чисел n , используя метод расширения интервалов, и построим график зависимости дисперсии от среднего значения, можно продемонстрировать отклонение от среднего степенного закона. ^{[ нужна цитация ]} Более того, эти отклонения соответствуют гамма-распределению Пуассона соединения Твиди и демонстрируют шум 1/ f . ${\displaystyle x>73.2}$

Другие приложения

Приложения дистрибутивов Tweedie включают:

• актуарные исследования ^{[36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]}
• пробный анализ ^{[43] [44]}
• анализ выживаемости ^{[45] [46] [47]}
• экология ^[11]
• анализ потребления алкоголя британскими подростками ^[48]
• медицинское применение ^[49]
• экономика здравоохранения ^[50]
• метеорология и климатология ^{[49] [51]}
• рыболовство ^[52]
• Функция Мертенса ^[53]
• самоорганизованная критичность ^[54]

Рекомендации

1. Твиди, MCK (1984). «Индекс, который различает некоторые важные показательные семейства». Ин Гош, Дж. К.; Рой, Дж (ред.). Статистика: Приложения и новые направления . Материалы Международной конференции Золотого юбилея Индийского статистического института. Калькутта: Индийский статистический институт. стр. 579–604. МР  0786162.
2. Йоргенсен, Бент (1997). Теория дисперсионных моделей . Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112.
3. Йоргенсен, Б (1987). «Модели экспоненциальной дисперсии». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 49 (2): 127–162. JSTOR  2345415.
4. Смит, CAB (1997). «Некролог: Морис Чарльз Кеннет Твиди, 1919–96». Журнал Королевского статистического общества, серия A. 160 (1): 151–154. дои : 10.1111/1467-985X.00052 .
5. Йоргенсен, Б; Мартинес-младший; Цао, М (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Скандинавский статистический журнал . 21 : 223–243.
6. Кендал, Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/f и мультифрактальности». Физический обзор E . 84 (6): 066120. Бибкод : 2011PhRvE..84f6120K. doi : 10.1103/PhysRevE.84.066120. ПМИД  22304168.
7. Тейлор, LR (1961). «Агрегация, дисперсия и среднее значение». Природа . 189 (4766): 732–735. Бибкод : 1961Natur.189..732T. дои : 10.1038/189732a0. S2CID  4263093.
8. Хански, I (1980). «Пространственные закономерности и движения жуков-копрофагов». Ойкос . 34 (3): 293–310. Бибкод : 1980Oikos..34..293H. дои : 10.2307/3544289. JSTOR  3544289.
9. Андерсон, РД; Кроули, генеральный менеджер; Хассел, М. (1982). «Изменчивость численности видов животных и растений». Природа . 296 (5854): 245–248. Бибкод : 1982Natur.296..245A. дои : 10.1038/296245a0. S2CID  4272853.
10. Фрончак, А; Фрончак, П. (2010). «Истоки степенного закона Тейлора для масштабирования флуктуаций в сложных системах». Физика преп. Э. 81 (6): 066112. arXiv : 0909.1896 . Бибкод : 2010PhRvE..81f6112F. doi : 10.1103/physreve.81.066112. PMID  20866483. S2CID  17435198.
11. Кендал, WS (2002). «Пространственная агрегация колорадского жука, описываемая моделью экспоненциальной дисперсии». Экологическое моделирование . 151 (2–3): 261–269. дои : 10.1016/s0304-3800(01)00494-x.
12. Кендал, WS (2004). «Экологический степенной закон Тейлора как следствие масштабно-инвариантных моделей экспоненциальной дисперсии». Комплекс Экол . 1 (3): 193–209. doi :10.1016/j.ecocom.2004.05.001.
13. Датта, П; Хорн, премьер-министр (1981). «Низкочастотные колебания в твердых телах: шум 1/ f ». Ред. Мод Физ . 53 (3): 497–516. Бибкод : 1981RvMP...53..497D. doi : 10.1103/revmodphys.53.497.
14. Леланд, МЫ; Такку, М.С.; Виллингер, В; Уилсон, Д.В. (1994). «О самоподобной природе Ethernet-трафика (Расширенная версия)». Транзакции IEEE/ACM в сети . 2 : 1–15. дои : 10.1109/90.282603. S2CID  6011907.
15. Цыбаков, Б; Георганас, Северная Дакота (1997). «О самоподобном трафике в очередях банкоматов: определения, граница вероятности переполнения и распределение задержек ячеек». Транзакции IEEE/ACM в сети . 5 (3): 397–409. CiteSeerX 10.1.1.53.5040 . дои : 10.1109/90.611104. S2CID  2205855. 
16. Кендал, WS (2007). «Масштабно-инвариантные корреляции между генами и SNP на хромосоме 1 человека раскрывают потенциальные эволюционные механизмы». J Теория Биол . 245 (2): 329–340. Бибкод : 2007JThBi.245..329K. дои : 10.1016/j.jtbi.2006.10.010. ПМИД  17137602.
17. МакКуорри Д.А. (1976) Статистическая механика [Харпер и Роу]
18. Кендал, WS (2014). «Мультифрактальность, приписываемая двойным центральным эффектам конвергенции предела и лжи». Физика А. 401 : 22–33. Бибкод : 2014PhyA..401...22K. doi :10.1016/j.physa.2014.01.022.
19. Йоргенсен, Б; Коконенджи, CC (2011). «Модели дисперсии геометрических сумм». Браз Дж. Пробаб Стат . 25 (3): 263–293. дои : 10.1214/10-bjps136 .
20. Бассингтуэйт, JB (1989). «Фрактальная природа региональной неоднородности кровотока миокарда». Цир Рес . 65 (3): 578–590. дои : 10.1161/01.res.65.3.578. ПМК 3361973 . ПМИД  2766485. 
21. Кендал, WS (2001). «Стохастическая модель самоподобной неоднородности кровотока в региональных органах». Proc Natl Acad Sci США . 98 (3): 837–841. Бибкод : 2001PNAS...98..837K. дои : 10.1073/pnas.98.3.837 . ПМК 14670 . ПМИД  11158557. 
22. Хониг, ЧР; Фельдштейн, М.Л.; Фриерсон, Дж. Л. (1977). «Длина капилляров, анастомозы и расчетное время прохождения капилляров в скелетных мышцах». Am J Physiol Heart Circ Physiol . 233 (1): H122–H129. doi :10.1152/ajpheart.1977.233.1.h122. ПМИД  879328.
23. Фидлер, IJ; Крипке, М. (1977). «Метастазы возникают в результате ранее существовавших вариантов клеток внутри злокачественной опухоли». Наука . 197 (4306): 893–895. Бибкод : 1977Sci...197..893F. дои : 10.1126/science.887927. ПМИД  887927.
24. Кендал, Вашингтон; Фрост, П. (1987). «Экспериментальное метастазирование: новое применение степенной функции дисперсии к среднему». J Национальный онкологический институт . 79 (5): 1113–1115. дои : 10.1093/jnci/79.5.1113. ПМИД  3479636.
25. Кендал, WS (1999). «Кластеризация метастазов в легких мышей отражает фрактальную неравномерность регионального легочного кровотока». Инвазия и метастазы . 18 (5–6): 285–296. дои : 10.1159/000024521. PMID  10729773. S2CID  46835513.
26. Кендал, Вашингтон; Лагерваард, Ф.Дж.; Агбула, О (2000). «Характеристика распределения частот гематогенных метастазов человека: доказательства кластеризации и функции степенной дисперсии». Клин Эксп Метастазы . 18 (3): 219–229. дои : 10.1023/А: 1006737100797. PMID  11315095. S2CID  25261069.
27. Вайс, Л; Бронк, Дж; Пикрен, Дж.В.; Лейн, WW (1981). «Метастатические структуры и артериальный кровоток в целевых органах». Инвазия и метастазы . 1 (2): 126–135. ПМИД  7188382.
28. Чемберс, AF; Жених, кондиционер; Макдональд, IC (2002). «Распространение и рост раковых клеток в местах метастазов». Обзоры природы Рак . 2 (8): 563–572. дои : 10.1038/nrc865. PMID  12154349. S2CID  135169.
29. Кендал, WS (2002). «Частотное распределение количества гематогенных метастазов в органах». Инвазия и метастазы . 1 (2): 126–135. Бибкод : 2002JThBi.217..203K. дои : 10.1006/jtbi.2002.3021. ПМИД  12202114.
30. Кендал, WS (2003). «Модель экспоненциальной дисперсии распределения однонуклеотидных полиморфизмов человека». Мол Биол Эвол . 20 (4): 579–590. дои : 10.1093/molbev/msg057 . ПМИД  12679541.
31. Кендал, WS (2004). «Масштабно-инвариантная кластеризация генов на хромосоме 7 человека». BMC Эвол Биол . 4 :3. дои : 10.1186/1471-2148-4-3 . ПМЦ 373443 . ПМИД  15040817. 
32. Сачиданандам, Р; Вайсман, Д; Шмидт, Южная Каролина; и другие. (2001). «Карта вариаций генома человека, содержащая 1,42 миллиона однонуклеотидных полиморфизмов». Природа . 409 (6822): 928–933. Бибкод : 2001Natur.409..928S. дои : 10.1038/35057149 . ПМИД  11237013.
33. Хадсон, Р.Р. (1991). «Генные генеалогии и процесс слияния». Оксфордские обзоры по эволюционной биологии . 7 : 1–44.
34. Таваре, С; Балдинг, диджей; Гриффитс, Р.С.; Доннелли, П. (1997). «Вывод о времени слияния на основе данных последовательности ДНК». Генетика . 145 (2): 505–518. дои : 10.1093/генетика/145.2.505. ПМК 1207814 . ПМИД  9071603. 
35. Шенфельд, Дж (1976). «Уточнение оценок функций Чебышева θ(x) и ψ(x). II». Математика вычислений . 30 (134): 337–360. дои : 10.1090/s0025-5718-1976-0457374-x .
36. Хаберман, С.; Реншоу, А.Е. (1996). «Обобщенные линейные модели и актуарная наука». Статистик . 45 (4): 407–436. дои : 10.2307/2988543. JSTOR  2988543.
37. Реншоу, А.Е. 1994. Моделирование процесса претензий в присутствии ковариат. Бюллетень ASTIN 24: 265–286.
38. Йоргенсен, Б.; Паес; Соуза, MC (1994). «Подбор сложной модели Пуассона Твиди к данным о страховых возмещениях». Скан. Актуар. Дж . 1 : 69–93. CiteSeerX 10.1.1.329.9259 . дои : 10.1080/03461238.1994.10413930. 
39. Хаберман С. и Реншоу А.Е. 1998. Актуарные применения обобщенных линейных моделей. В книге «Статистика в финансах», DJ Hand и SD Jacka (редакторы), Арнольд, Лондон.
40. Милденхолл, С.Дж. 1999. Систематическая связь между минимальным смещением и обобщенными линейными моделями. 1999 Труды Актуарного общества по несчастным случаям 86: 393–487.
41. Мерфи, КП, Брокман, МДж, и Ли, PKW (2000). Использование обобщенных линейных моделей для построения динамических систем ценообразования. Форум актуариев по несчастным случаям, зима 2000 г.
42. Смит, ГК; Йоргенсен, Б. (2002). «Подбор сложной модели Пуассона Твиди к данным о страховых возмещениях: моделирование дисперсии» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 32 : 143–157. дои : 10.2143/ast.32.1.1020 .
43. Давидиан, М (1990). «Оценка функций дисперсии в анализах с возможной неравной репликацией и ненормальными данными». Биометрика . 77 : 43–54. дои : 10.1093/biomet/77.1.43.
44. Давидиан, М .; Кэрролл, Р.Дж.; Смит, В. (1988). «Функции дисперсии и минимальная обнаруживаемая концентрация в анализах». Биометрика . 75 (3): 549–556. дои : 10.1093/biomet/75.3.549.
45. Аален, О.О. (1992). «Моделирование гетерогенности в анализе выживаемости с помощью сложного распределения Пуассона». Анна. Прил. Вероятно . 2 (4): 951–972. дои : 10.1214/aoap/1177005583 .
46. Хугард, П.; Харвальд, Б.; Холм, Невада (1992). «Измерение сходства между сроками жизни взрослых датских близнецов, родившихся в период 1881–1930 годов». Журнал Американской статистической ассоциации . 87 (417): 17–24. дои : 10.1080/01621459.1992.10475170.
47. Хугард, П. (1986). «Модели выживания гетерогенных популяций, полученные на основе стабильного распределения». Биометрика . 73 (2): 387–396. дои : 10.1093/biomet/73.2.387.
48. Гилкрист, Р. и Дринкуотер, Д. 1999. Подгонка моделей Твиди к данным с вероятностью нулевого ответа. Материалы 14-го Международного семинара по статистическому моделированию, Грац, стр. 207–214.
49. Смит, Г.К. 1996. Регрессионный анализ количественных данных с точными нулями. Материалы второго австралийско-японского семинара по стохастическим моделям в технике, технологиях и менеджменте. Центр управления технологиями, Университет Квинсленда, 572–580.
50. Курц, Кристоф Ф. (2017). «Распределение твиди для подбора данных о полунепрерывных затратах на использование медицинской помощи». Методология медицинских исследований BMC . 17 (171): 171. дои : 10.1186/s12874-017-0445-y . ПМЦ 5735804 . ПМИД  29258428. 
51. Хасан, ММ; Данн, ПК (2010). «Два распределения Твиди, которые почти оптимальны для моделирования ежемесячного количества осадков в Австралии». Международный журнал климатологии . 31 (9): 1389–1397. дои : 10.1002/joc.2162. S2CID  140135793.
52. Кэнди, SG (2004). «Моделирование данных об улове и усилии с использованием обобщенных линейных моделей, распределения Твиди, случайных эффектов судов и случайных эффектов по слоям по годам». АНТКОМ Наука . 11 :59–80.
53. Кендал, Вашингтон; Йоргенсен, Б (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Физ. Преподобный Е. 83 (6): 066115. Бибкод : 2011PhRvE..83f6115K. doi : 10.1103/physreve.83.066115. ПМИД  21797449.
54. Кендал, WS (2015). «Самоорганизованная критичность, приписываемая центральному предельному эффекту конвергенции». Физика А. 421 : 141–150. Бибкод : 2015PhyA..421..141K. doi :10.1016/j.physa.2014.11.035.

дальнейшее чтение

• Данн, ПК; Смит, ГК (2018). Обобщенные линейные модели с примерами в R. Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4419-0118-7. ISBN 978-1-4419-0118-7.Глава 12 посвящена распределениям и моделям Твиди.
• Каас, Р. (2005). «Составное распределение Пуассона и распределение GLM – Твиди». В материалах контактного форума «3-й день актуарной и финансовой математики» , страницы 3–12. Брюссель: Королевская фламандская академия наук и искусств Бельгии.
• Твиди, MCK (1956). «Некоторые статистические свойства обратного распределения Гаусса». Вирджиния Дж. Наук . Новая серия. 7 : 160–165.