Распределение Фреше

Непрерывное распределение вероятностей

Распределение Фреше , также известное как обратное распределение Вейбулла , ^{[2] [3]} является частным случаем обобщенного распределения экстремальных значений . Оно имеет кумулятивную функцию распределения

${\displaystyle \Pr(\ X\leq x\ )=e^{-x^{-\alpha }}~{\text{ if }}~x>0~.}$

где α > 0 — параметр формы . Его можно обобщить, включив параметр местоположения m (минимум) и параметр масштаба s > 0 с кумулятивной функцией распределения       

${\displaystyle \Pr(\ X\leq x\ )=\exp \left(\ -\left({\tfrac {\ x-m\ }{s}}\right)^{-\alpha }\ \right)~{\text{ if }}~x>m~.}$

Названный в честь Мориса Фреше, который написал похожую статью в 1927 году, ^[4] дальнейшая работа была проделана Фишером и Типпетом в 1928 году и Гамбелем в 1958 году. ^{[5] [6]}

Характеристики

Один параметр Фреше, с параметром имеет стандартизированный момент ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)\ \operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\ \operatorname {d} t\ ,}$

(с ) определено только для ${\displaystyle \ t=x^{-\alpha }\ }$ ${\displaystyle \ k<\alpha \ :}$

${\displaystyle \ \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)\ }$

где - гамма-функция . ${\displaystyle \ \Gamma \left(z\right)\ }$

В частности:

• Ибо ожидание есть​ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• Для дисперсии это​ ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.}$

Квантиль порядка можно выразить через обратную величину распределения: ${\displaystyle q_{y}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

В частности, медиана составляет:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.}$

Режим распределения : ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.}$

В частности, для 3-параметрического Фреше первый квартиль равен , а третий квартиль ${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$ ${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.}$

Также квантили для среднего значения и моды следующие:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).}$

Приложения

Подогнанное кумулятивное распределение Фреше к экстремальным однодневным осадкам

• В гидрологии распределение Фреше применяется к экстремальным событиям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и речные сбросы. ^[7] Синяя картинка, сделанная с помощью CumFreq , иллюстрирует пример подгонки распределения Фреше к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам в Омане, показывая также 90% доверительный пояс на основе биномиального распределения . Кумулятивные частоты данных об осадках представлены путем построения позиций в рамках анализа кумулятивной частоты .

Однако в большинстве гидрологических приложений подгонка распределения осуществляется с помощью обобщенного распределения экстремальных значений , поскольку это позволяет избежать предположения о том, что распределение не имеет нижней границы (как того требует распределение Фреше). ^{[ необходима ссылка ]}

Подогнанный анализ кривой спада. Модель Дуонга можно рассматривать как обобщение распределения Фреше.

• При анализе кривой падения нисходящая картина временного ряда данных о дебите нефти или газа с течением времени для скважины может быть описана распределением Фреше. ^[8]
• Один из тестов для оценки того, является ли многомерное распределение асимптотически зависимым или независимым, состоит в преобразовании данных в стандартные поля Фреше с использованием преобразования и последующего отображения из декартовых координат в псевдополярные . Значения соответствуют экстремальным данным, для которых по крайней мере один компонент является большим, в то время как приблизительно 1 или 0 соответствуют только одному компоненту, являющемуся экстремальным. ${\displaystyle Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})}$ ${\displaystyle (R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))}$ ${\displaystyle R\gg 1}$ ${\displaystyle W}$
• В экономике он используется для моделирования идиосинкразического компонента предпочтений индивидов в отношении различных продуктов ( промышленная организация ), местоположений (городская экономика) или фирм ( экономика труда ).

Связанные дистрибутивы

• Кумулятивная функция распределения Фреше решает уравнение постулата максимальной устойчивости

Масштабирование отношений

• Если ( непрерывное равномерное распределение ), то ${\displaystyle \ X\sim U(\ 0,1\ )\ }$ ${\displaystyle \ m+s\cdot {\Bigl (}-\log _{e}\!(X)\ {\Bigr )}^{\frac {-1\;}{\alpha }}\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$

• Если тогда его обратная величина распределена по закону Вейбулла : ${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m=0\ )\ }$ ${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{X}}\sim {\textsf {Weibull}}\!\left(\ k=\alpha ,\lambda ={\tfrac {1}{s}}\ \right)\ }$

• Если тогда ${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$ ${\displaystyle \ k\ X+b\sim {\textrm {Frechet}}(\ \alpha ,ks,k\ m+b\ )\ }$

• Если и тогда ${\displaystyle \ X_{i}\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m\ )\ }$ ${\displaystyle \ Y=\max\{\ X_{1},\ldots ,X_{n}\ \}\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m\ )\ }$

Характеристики

• Распределение Фреше — это максимально устойчивое распределение.
• Отрицательное значение случайной величины, имеющей распределение Фреше, является минимальным устойчивым распределением.

Смотрите также

• Распределение Гумбеля типа 2
• Теорема Фишера–Типпета–Гнеденко

Ссылки

1. Muraleedharan, G.; Guedes Soares, C.; Lucas, Cláudia (2011). "Характеристика и функции генерации моментов обобщенного распределения экстремальных значений (GEV)". В Wright, Linda L. (ред.). Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines, and Tides . Nova Science Publishers. Глава 14, стр. 269–276. ISBN 978-1-61728-655-1.
2. Хан, М.С.; Паша, Г.Р.; Паша, А.Х. (февраль 2008 г.). «Теоретический анализ обратного распределения Вейбулла» (PDF) . Труды WSEAS по математике . 7 (2): 30–38.
3. де Гужман, Фелипе РС; Ортега, Эдвин ММ; Кордейро, Гаусс М. (2011). «Обобщенное обратное распределение Вейбулла». Статистические документы . 52 (3). Спрингер-Верлаг: 591–619. дои : 10.1007/s00362-009-0271-3. ISSN  0932-5026.
4. Фреше, М. (1927). «Sur la loi de probabilité de l'écart max» [О распределении вероятностей максимального отклонения]. Annales Polonici Mathematici (на французском языке). 6:93 .
5. Фишер, РА ; Типпетт, ЛХК (1928). «Ограничительные формы распределения частот самого большого и самого маленького члена выборки». Труды Кембриджского философского общества . 24 (2): 180–190. Bibcode : 1928PCPS...24..180F. doi : 10.1017/S0305004100015681. S2CID  123125823.
6. Гамбел, Э. Дж. (1958). Статистика экстремальных значений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Columbia University Press. OCLC  180577.
7. Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений. Springer-Verlag. ISBN 978-1-85233-459-8.
8. Ли, Се Юн; Маллик, Бани (2021). «Байесовское иерархическое моделирование: применение к результатам добычи в сланцевом месторождении Игл-Форд в Южном Техасе». Sankhya B. 84 : 1–43. doi :10.1007/s13571-020-00245-8.

Дальнейшее чтение

• Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000). Распределения экстремальных значений: теория и приложения . World Scientific. ISBN 1-86094-224-5.

Внешние ссылки

• Хурайра, Ахмед; Ибрагим, Нур Акма; бин Дауд, Иса; Харон, Кассим (февраль 2005 г.). «Применение нового распределения экстремальных значений к данным о загрязнении воздуха». Управление качеством окружающей среды . 16 (1): 17–25. doi :10.1108/14777830510574317. ISSN  1477-7835.
• "wfrechstat: Среднее и дисперсия для распределения Фреше". Анализ волн для усталости и океанографии (WAFO) ( программное обеспечение и документация Matlab ). Центр математических наук. Лундский университет / Лундский технологический институт . Получено 11 ноября 2023 г. – через www.maths.lth.se.