Рассеивание Ми

Рассеяние плоской электромагнитной волны сферой

Представления рассеяния Ми

Рассеяние Ми от сферы. x — волновое число, умноженное на радиус сферы, а m — показатель преломления сферы, деленный на показатель преломления среды.

В электромагнетизме решение Ми для уравнений Максвелла (также известное как решение Лоренца–Ми , решение Лоренца–Ми–Дебая или рассеяние Ми ) описывает рассеяние электромагнитной плоской волны однородной сферой . Решение принимает форму бесконечной серии сферических мультипольных парциальных волн . Оно названо в честь немецкого физика Густава Ми .

Термин «решение Ми» также используется для решений уравнений Максвелла для рассеяния слоистыми сферами или бесконечными цилиндрами, или другими геометриями, где можно записать отдельные уравнения для радиальной и угловой зависимости решений. Термин «теория Ми» иногда используется для этого набора решений и методов; он не относится к независимой физической теории или закону. В более широком смысле, формулы «рассеяния Ми» наиболее полезны в ситуациях, когда размер рассеивающих частиц сопоставим с длиной волны света, а не намного меньше или намного больше.

Рассеяние Ми (иногда называемое немолекулярным рассеянием или рассеянием аэрозольных частиц ) происходит в нижних 4500 м (15 000 футов) атмосферы , где может присутствовать множество по существу сферических частиц с диаметрами, приблизительно равными длине волны падающего луча . Теория рассеяния Ми не имеет верхнего ограничения по размеру и сходится к пределу геометрической оптики для крупных частиц. ^[1]

Введение

Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелки показывают направление поля. Также представлены производящие скалярные функции, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октуполи).

Современную формулировку решения Ми для задачи рассеяния на сфере можно найти во многих книгах, например, в «Электромагнитной теории» Дж . А. Страттона . ^[2] В этой формулировке падающая плоская волна, а также поле рассеяния разлагаются в излучающие сферические векторные сферические гармоники . Внутреннее поле разлагается в регулярные векторные сферические гармоники. Применяя граничное условие на сферической поверхности, можно вычислить коэффициенты разложения рассеянного поля.

Для частиц, намного больших или намного меньших, чем длина волны рассеянного света, существуют простые и точные приближения, достаточные для описания поведения системы. Но для объектов, размер которых находится в пределах нескольких порядков величины длины волны, например, капель воды в атмосфере, частиц латекса в краске, капель в эмульсиях, включая молоко, а также биологических клеток и клеточных компонентов, необходим более детальный подход. ^[3]

Решение Ми ^[4] названо в честь его разработчика, немецкого физика Густава Ми . Датский физик Людвиг Лоренц и другие независимо друг от друга разработали теорию рассеяния электромагнитной плоской волны диэлектрической сферой.

Формализм позволяет вычислять электрические и магнитные поля внутри и снаружи сферического объекта и обычно используется для вычисления либо того, сколько света рассеивается (полное оптическое сечение ), либо куда он направляется (форм-фактор). Примечательными особенностями этих результатов являются резонансы Ми, размеры, которые рассеиваются особенно сильно или слабо. ^[5] Это контрастирует с рэлеевским рассеянием для малых частиц и рассеянием Рэлея–Ганса–Дебая (в честь лорда Рэлея , Ричарда Ганса и Питера Дебая ) для больших частиц. Существование резонансов и других особенностей рассеяния Ми делает его особенно полезным формализмом при использовании рассеянного света для измерения размера частиц.

Приближения

Приближение Рэлея (рассеяние)

Изменение цвета неба на закате (красный ближе всего к солнцу, синий дальше всего) вызвано рэлеевским рассеянием частицами атмосферного газа, которые намного меньше длин волн видимого света. Серо-белый цвет облаков вызван рассеянием Ми каплями воды, которые по размеру сопоставимы с длинами волн видимого света.

Рассеяние Рэлея описывает упругое рассеяние света сферами, которые намного меньше длины волны света. Интенсивность I рассеянного излучения определяется как

${\displaystyle I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},}$

где I ₀ — интенсивность света до взаимодействия с частицей, R — расстояние между частицей и наблюдателем, θ — угол рассеяния, λ — длина волны рассматриваемого света, n — показатель преломления частицы, d — диаметр частицы.

Из приведенного выше уравнения видно, что рэлеевское рассеяние сильно зависит от размера частицы и длины волны. Интенсивность рэлеевского рассеянного излучения быстро увеличивается с увеличением отношения размера частицы к длине волны. Более того, интенсивность рэлеевского рассеянного излучения одинакова в прямом и обратном направлениях.

Модель рассеяния Рэлея перестает работать, когда размер частицы становится больше примерно 10% от длины волны падающего излучения. В случае частиц с размерами больше этого модель рассеяния Ми может быть использована для нахождения интенсивности рассеянного излучения. Интенсивность рассеянного излучения Ми определяется суммированием бесконечного ряда членов, а не простым математическим выражением. Однако можно показать, что рассеяние в этом диапазоне размеров частиц отличается от рассеяния Рэлея в нескольких отношениях: оно примерно не зависит от длины волны и больше в прямом направлении, чем в обратном. Чем больше размер частицы, тем больше света рассеивается в прямом направлении.

Голубой цвет неба является результатом рэлеевского рассеяния, поскольку размер частиц газа в атмосфере намного меньше длины волны видимого света. Рэлеевское рассеяние намного больше для синего света, чем для других цветов из-за его более короткой длины волны. Когда солнечный свет проходит через атмосферу, его синяя составляющая сильно рассеивается по Рэлею атмосферными газами, но компоненты с большей длиной волны (например, красный/желтый) — нет. Солнечный свет, приходящий непосредственно от Солнца, поэтому кажется слегка желтым, в то время как свет, рассеянный остальной частью неба, кажется синим. Во время восходов и закатов влияние рэлеевского рассеяния на спектр проходящего света намного больше из-за большего расстояния, которое лучи света должны пройти через плотный воздух вблизи поверхности Земли.

Напротив, капли воды, из которых состоят облака, имеют сопоставимый размер с длинами волн в видимом свете, и рассеяние описывается моделью Ми, а не Рэлея. Здесь все длины волн видимого света рассеиваются примерно одинаково, и поэтому облака кажутся белыми или серыми.

Приближение Рэлея–Ганса

Приближение Рэлея –Ганса является приближенным решением рассеяния света, когда относительный показатель преломления частицы близок к показателю преломления окружающей среды, а ее размер намного меньше по сравнению с длиной волны света, деленной на | n  − 1|, где n — показатель преломления : ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}}$

где - волновой вектор света ( ), а относится к линейному размеру частицы. Первое условие часто называют оптически мягким , и приближение справедливо для частиц произвольной формы. ^[3] ${\textstyle k}$ ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle d}$

Аномальное дифракционное приближение Ван де Хюлста

Приближение аномальной дифракции справедливо для больших (по сравнению с длиной волны) и оптически мягких сфер; мягкость в контексте оптики подразумевает, что показатель преломления частицы (m) лишь незначительно отличается от показателя преломления окружающей среды, а частица подвергает волну лишь небольшому фазовому сдвигу. Эффективность экстинкции в этом приближении определяется выражением

${\displaystyle Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),}$

где Q — коэффициент эффективности рассеяния, который определяется как отношение сечения рассеяния к геометрическому сечению π a ² .

Термин p = 4πa( n − 1)/λ имеет физический смысл задержку фазы волны, проходящей через центр сферы, где a — радиус сферы, n — отношение показателей преломления внутри и снаружи сферы, а λ — длина волны света.

Этот набор уравнений был впервые описан ван де Хюльстом в (1957). ^[5]

Математика

Рассеяние плоской волны, направление падения параллельно оси z , поляризация параллельна оси x , радиус наночастицы a

Рассеяние сферической наночастицей решается точно, независимо от размера частицы. Мы рассматриваем рассеяние плоской волной, распространяющейся вдоль оси z и поляризованной вдоль оси x . Диэлектрическая и магнитная проницаемости частицы равны и , а для окружающей среды и . ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

Для решения задачи рассеяния ^[3] сначала запишем решения векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах, поскольку поля внутри и снаружи частиц должны ему удовлетворять. Уравнение Гельмгольца:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.}$

Помимо уравнения Гельмгольца поля должны удовлетворять условиям и , . Векторные сферические гармоники обладают всеми необходимыми свойствами, вводимыми следующим образом: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ — магнитные гармоники (ТЭ),

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$ — электрические гармоники (ТМ),

где

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

и  — ассоциированные полиномы Лежандра , и  — любая из сферических функций Бесселя . ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Далее разложим падающую плоскую волну по векторным сферическим гармоникам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

Здесь верхний индекс означает, что в радиальной части функции являются сферическими функциями Бесселя первого рода. Коэффициенты разложения получаются путем взятия интегралов вида ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}.}$

В этом случае все коэффициенты при равны нулю, так как интеграл по углу в числителе равен нулю. ${\displaystyle m\neq 1}$ ${\displaystyle \varphi }$

Затем налагаются следующие условия:

1. Условия сопряжения на границе сферы и окружающей среды (позволяющие связать коэффициенты расширения падающего, внутреннего и рассеянного полей)
2. Условие ограниченности решения в начале координат (поэтому в радиальной части производящих функций для внутреннего поля выбраны сферические функции Бесселя первого рода), ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$
3. Для рассеянного поля асимптотика на бесконечности соответствует расходящейся сферической волне (в связи с этим для рассеянного поля в радиальной части производящих функций выбраны сферические функции Ганкеля первого рода). ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

Рассеянные поля записываются в терминах векторного гармонического разложения как

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

Здесь верхний индекс означает, что в радиальной части функций  находятся сферические функции Ганкеля первого рода (для второго рода ), причем , ${\displaystyle (3)}$ ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ ${\displaystyle (4)}$ ${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

Внутренние поля:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$— волновой вектор вне частицы,  — волновой вектор в среде из материала частицы, — показатели преломления среды и частицы. ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1}}$

После применения условий сопряжения получаем выражения для коэффициентов:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

где

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$где - радиус сферы. ${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$и  представляют собой сферические функции Бесселя и Ганкеля первого рода соответственно. ${\displaystyle h_{n}}$

Сечения рассеяния и затухания

Мультипольные спектры разложения сечений рассеяния

Значения, обычно вычисляемые с использованием теории Ми, включают коэффициенты эффективности для экстинкции , рассеяния и поглощения . ^{[6] [7]} Эти коэффициенты эффективности являются отношениями поперечного сечения соответствующего процесса, , к защищенной области частицы, , где a - радиус частицы. Согласно определению экстинкции, ${\displaystyle Q_{e}}$ ${\displaystyle Q_{s}}$ ${\displaystyle Q_{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$и . ${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

Коэффициенты рассеяния и ослабления можно представить в виде бесконечного ряда:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Вклады в эти суммы, индексированные n , соответствуют порядкам мультипольного разложения , где n = 1 — дипольный член, n = 2 — квадрупольный член и т. д.

Применение к более крупным частицам

Если размер частицы равен нескольким длинам волн в материале, то рассеянные поля имеют некоторые особенности. Далее, форма электрического поля является ключевой, так как магнитное поле получается из него путем взятия rot .

Все коэффициенты Ми зависят от частоты и имеют максимумы при знаменателе, близком к нулю (точное равенство нулю достигается для комплексных частот). В этом случае возможно, что в рассеянии доминирует вклад одной конкретной гармоники. Тогда на больших расстояниях от частицы диаграмма направленности рассеянного поля будет подобна соответствующей диаграмме направленности угловой части векторных сферических гармоник. Гармоники соответствуют электрическим диполям (если вклад этой гармоники доминирует в разложении электрического поля, то поле подобно полю электрического диполя), соответствуют электрическому полю магнитного диполя, а - электрическим и магнитным квадруполям, а - октуполям и т. д. Максимумы коэффициентов рассеяния (а также изменение их фазы на ) называются мультипольными резонансами, а нули можно назвать анаполями . ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$ ${\displaystyle \pi }$

Зависимость сечения рассеяния от длины волны и вклад конкретных резонансов сильно зависят от материала частицы. Например, для золотой частицы радиусом 100 нм в оптическом диапазоне преобладает вклад электрического диполя в рассеяние, тогда как для кремниевой частицы ярко выражены магнитный дипольный и квадрупольный резонансы. Для металлических частиц пик, видимый в сечении рассеяния, также называют локализованным плазмонным резонансом .

В пределе малых частиц или больших длин волн в сечении рассеяния доминирует электрический дипольный вклад.

Другие направления падающей плоской волны

В случае x- поляризованной плоской волны, падающей вдоль оси z , разложения всех полей содержали только гармоники с m = 1, но для произвольной падающей волны это не так. ^[8] Для повернутой плоской волны коэффициенты разложения можно получить, например, используя тот факт, что при вращении векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга D-матрицами Вигнера .

В этом случае рассеянное поле будет разложено по всем возможным гармоникам:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

Тогда сечение рассеяния будет выражаться через коэффициенты следующим образом: ^[9]

${\displaystyle C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].}$

эффект Керкера

Эффект Керкера — это явление направленности рассеяния, которое возникает, когда присутствуют различные мультипольные отклики, и им нельзя пренебрегать.

Частный (дипольный) случай эффекта Керкера. Суммарное электрическое поле скрещенных магнитного и электрического диполей, излучающих синфазно. Диаграмма направленности излучения асимметрична, в одном направлении поля взаимно уничтожаются, а в другом — складываются.

В 1983 году в работе Керкера , Вана и Джайлса ^[10] было исследовано направление рассеяния частицами с . В частности, было показано, что для гипотетических частиц с обратное рассеяние полностью подавляется. Это можно рассматривать как расширение на сферическую поверхность результатов Джайлса и Уайлда для отражения на плоской поверхности с равными показателями преломления, где отражение и пропускание постоянны и не зависят от угла падения. ^[11] ${\displaystyle \mu \neq 1}$ ${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

Кроме того, сечения рассеяния в прямом и обратном направлениях просто выражаются через коэффициенты Ми: ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

Для определенных комбинаций коэффициентов приведенные выше выражения можно минимизировать.

Так, например, когда членами с можно пренебречь ( дипольное приближение ), , соответствует минимуму в обратном рассеянии (магнитные и электрические диполи равны по величине и находятся в фазе, это также называется первым условием Керкера или условием нулевой обратной интенсивности ^[14] ). И  соответствует минимуму в прямом рассеянии, это также называется вторым условием Керкера (или условием почти нулевой прямой интенсивности ). Из оптической теоремы показано, что для пассивной частицы невозможно. ^[15] Для точного решения задачи необходимо учесть вклады всех мультиполей. Сумма электрического и магнитного диполей образует источник Гюйгенса ^[16] ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$ ${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$ ${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$

Для диэлектрических частиц максимальное рассеяние вперед наблюдается на длинах волн, превышающих длину волны магнитного дипольного резонанса, а максимальное рассеяние назад – на более коротких. ^[17]

Позже были обнаружены другие разновидности эффекта. Например, поперечный эффект Керкера с почти полным одновременным подавлением как прямого, так и обратного рассеянных полей (картины бокового рассеяния), ^[18] оптомеханический эффект Керкера, ^[19] при акустическом рассеянии, ^[20] а также обнаруженный в растениях. ^[21]

На YouTube также есть короткое видео с объяснением эффекта.

Двоичная функция Грина сферы

Функция Грина является решением следующего уравнения:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

где  — единичная матрица для , и для . Поскольку все поля векторные, функция Грина представляет собой матрицу 3 на 3 и называется диадической. Если в системе индуцируется поляризация, когда поля записываются как ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle r<a}$ ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$ ${\displaystyle r>a}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

Так же, как и поля, функция Грина может быть разложена на векторные сферические гармоники. ^[22] Диадическая функция Грина свободного пространства а: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r<r'\\\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

При наличии сферы функция Грина также раскладывается на векторные сферические гармоники. Ее вид зависит от среды, в которой находятся точки и . ^[24] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Когда обе точки находятся вне сферы ( ): ${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

где коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Когда обе точки находятся внутри сферы ( ): ${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

Коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

Источник находится внутри сферы, а точка наблюдения — снаружи ( ): ${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

Источник находится снаружи сферы, а точка наблюдения — внутри ( ): ${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Вычислительные коды

Решения Ми реализованы в ряде программ, написанных на разных языках программирования, таких как Fortran , MATLAB и Mathematica . Эти решения аппроксимируют бесконечный ряд и предоставляют в качестве выходных данных расчет функции фазы рассеяния, экстинкции, рассеивания и поглощения, а также других параметров, таких как параметры асимметрии или вращающий момент излучения. Текущее использование термина «решение Ми» указывает на аппроксимацию ряда к решению уравнений Максвелла. Существует несколько известных объектов, которые допускают такое решение: сферы, концентрические сферы, бесконечные цилиндры, кластеры сфер и кластеры цилиндров. Существуют также известные решения ряда для рассеяния эллипсоидальными частицами. Список кодов, реализующих эти специализированные решения, приведен ниже:

• Коды для электромагнитного рассеяния сферами – решения для одиночной сферы, сфер с покрытием, многослойной сферы и кластера сфер;
• Коды для электромагнитного рассеяния цилиндрами – решения для одного цилиндра, многослойных цилиндров и кластера цилиндров.

Обобщением, позволяющим обрабатывать частицы более общей формы, является метод Т-матрицы , который также основан на последовательном приближении решений уравнений Максвелла.

См. также внешние ссылки на другие коды и калькуляторы.

Приложения

Теория Ми очень важна в метеорологической оптике , где отношения диаметра к длине волны порядка единицы и больше характерны для многих проблем, связанных с рассеянием дымки и облаков . Еще одно применение — характеристика частиц с помощью измерений оптического рассеяния. Решение Ми также важно для понимания внешнего вида обычных материалов, таких как молоко , биологическая ткань и латексная краска.

Наука об атмосфере

Рассеяние Ми происходит, когда диаметры атмосферных частиц близки или больше длин волн света. Пыль , пыльца , дым и микроскопические капли воды , образующие облака, являются частыми причинами рассеяния Ми. Рассеяние Ми происходит в основном в нижних слоях атмосферы, где более крупные частицы более распространены, и преобладает в облачных условиях.

Выявление и скрининг рака

Теория Ми использовалась для определения того, соответствует ли рассеянный от ткани свет ядрам здоровых или раковых клеток, с использованием низкокогерентной интерферометрии с угловым разрешением .

Клинические лабораторные анализы

Теория Ми является центральным принципом в применении нефелометрических анализов, широко используемых в медицине для измерения различных плазменных белков . Широкий спектр плазменных белков может быть обнаружен и количественно определен с помощью нефелометрии.

Магнитные частицы

Для магнитных сфер происходит ряд необычных эффектов электромагнитного рассеяния. Когда относительная диэлектрическая проницаемость равна проницаемости , коэффициент усиления обратного рассеяния равен нулю. Кроме того, рассеянное излучение поляризовано в том же смысле, что и падающее излучение. В пределе малых частиц (или длинноволновом) могут иметь место условия для нулевого прямого рассеяния, для полной поляризации рассеянного излучения в других направлениях и для асимметрии прямого рассеяния к обратному рассеянию. Особый случай в пределе малых частиц дает интересные особые примеры полной поляризации и асимметрии прямого рассеяния к обратному рассеянию. ^[10]

Метаматериал

Теория Ми использовалась для проектирования метаматериалов . Обычно они состоят из трехмерных композитов металлических или неметаллических включений, периодически или случайным образом внедренных в матрицу с низкой диэлектрической проницаемостью. В такой схеме отрицательные конститутивные параметры проектируются так, чтобы появляться вокруг резонансов Ми включений: отрицательная эффективная диэлектрическая проницаемость проектируется вокруг резонанса коэффициента рассеяния электрического диполя Ми, тогда как отрицательная эффективная проницаемость проектируется вокруг резонанса коэффициента рассеяния магнитного диполя Ми, а дважды отрицательный материал (DNG) проектируется вокруг перекрытия резонансов коэффициентов рассеяния электрического и магнитного диполя Ми. Частица обычно имеет следующие комбинации:

1. один набор магнитодиэлектрических частиц со значениями относительной диэлектрической и магнитной проницаемости, значительно большими единицы и близкими друг к другу;
2. две различные диэлектрические частицы с одинаковой диэлектрической проницаемостью, но разного размера;
3. две различные диэлектрические частицы одинакового размера, но с разной диэлектрической проницаемостью.

В теории частицы, анализируемые теорией Ми, обычно сферические, но на практике частицы обычно изготавливаются в виде кубов или цилиндров для простоты изготовления. Чтобы соответствовать критериям гомогенизации, которые можно сформулировать в виде того, что постоянная решетки намного меньше рабочей длины волны, относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрических частиц должна быть намного больше 1, например, для достижения отрицательной эффективной диэлектрической проницаемости (проницаемости). ^{[25] [26] [27]} ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

Определение размера частиц

Теория Ми часто применяется в лазерном дифракционном анализе для проверки эффекта размера частиц. ^[28] В то время как первые компьютеры в 1970-х годах могли вычислять данные дифракции только с помощью более простого приближения Фраунгофера, теория Ми широко используется с 1990-х годов и официально рекомендована для частиц размером менее 50 микрометров в руководстве ISO 13320:2009. ^[29]

Теория Ми использовалась для определения концентрации нефти в загрязненной воде. ^{[30] [31]}

Рассеяние Ми является основным методом определения размера отдельных сонолюминесцирующих пузырьков воздуха в воде ^{[32] [33] [34]} и применимо как для полостей в материалах, так и для частиц в материалах, при условии, что окружающий материал по существу не поглощает излучение.

Паразитология

Он также использовался для изучения структуры Plasmodium falciparum , особо патогенной формы малярии . ^[35]

Расширения

В 1986 году PA Bobbert и J. Vlieger расширили модель Ми для расчета рассеяния сферой в однородной среде, помещенной на плоскую поверхность: модель Бобберта–Влигера (BV). Как и модель Ми, расширенная модель может быть применена к сферам с радиусом, близким к длине волны падающего света. ^[36] Модель была реализована в исходном коде C++ . ^[37] Последние разработки связаны с рассеянием эллипсоидом. ^{[38] [39] [40]} Современные исследования восходят к хорошо известным исследованиям Рэлея. ^[41]

Смотрите также

• Коды для электромагнитного рассеяния сферами
• Вычислительная электродинамика
• Рассеяние света частицами
• Список кодов переноса атмосферного излучения
• Оптические свойства воды и льда

Ссылки

1. Хан, Дэвид В. (июль 2009 г.). "Теория рассеяния света" (PDF) . Университет Флориды . Получено 22 сентября 2017 г.
2. Страттон, JA (1941). Электромагнитная теория . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
3. Борен, CF; Хаффман, DR (2010). Поглощение и рассеяние света малыми частицами . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-3-527-40664-7.
4. Мие, Густав (1908). «Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen». Аннален дер Физик . 330 (3): 377–445. Бибкод : 1908АнП...330..377М. дои : 10.1002/andp.19083300302 .Перевод на английский язык Архивировано 05.05.2005 на Wayback Machine , американский перевод.
5. van de Hulst, HC (1957). Рассеяние света малыми частицами. Нью-Йорк: John Wiley and Sons. ISBN 9780486139753.
6. Сурвиков СТ (2011). "Рассеяние Ми". Руководство от А до Я по термодинамике, тепло- и массообмену и гидродинамике . Begel House. doi :10.1615/AtoZ.m.mie_scattering. ISBN 978-0-8493-9356-3. Получено 28 января 2019 г. – через Thermopedia.
7. Ye Z, Jiang X, Wang Z (октябрь 2012 г.). «Измерения распределения размеров частиц на основе теории рассеяния Ми и алгоритма инверсии цепей Маркова» (PDF) . Journal of Software . 7 (10): 2309–2316. doi :10.4304/JSW.7.10.2309-2316. S2CID  833509. Архивировано из оригинала (PDF) 28.01.2019.
8. KA Fuller, «Сечения рассеяния и поглощения составных сфер. I. Теория внешней агрегации», J. Opt. Soc. Am. A 11, 3251–3260 (1994)
9. К. Фризюк, И. Волковская, Д. Смирнова, А. Поддубный, М. Петров, "Генерация второй гармоники в Ми-резонансных диэлектрических наночастицах из нецентросимметричных материалов", Phys. Rev. B 99, 075425 (2019)
10. Керкер, М.; Ванг, Д.-С.; Джайлс, КЛ (1983). "Электромагнитное рассеяние магнитными сферами" (PDF) . Журнал оптического общества Америки . 73 (6): 765. doi :10.1364/JOSA.73.000765. ISSN  0030-3941.
11. CL Giles, WJ Wild, «Френелевское отражение и передача на плоской границе от сред с равными показателями преломления», Applied Physics Letters , 40, 210–212, 1982
12. Tzarouchis, D.; Sihvola, A. «Рассеяние света диэлектрической сферой: перспективы резонансов Ми». Appl. Sci. 2018, 8, 184.
13. Вэй Лю и Юрий С. Кившарь, «Обобщенные эффекты Керкера в нанофотонике и метаоптике [Приглашенные]», Opt. Express 26, 13085–13105 (2018)
14. Geffrin, JM, B. García-Cámara, R. Gómez-Medina, P. Albella, LS Froufe-Pérez, C. Eyraud, A. Litman и др. «Магнитная и электрическая когерентность в электромагнитных волнах, рассеянных вперед и назад одиночной диэлектрической субволновой сферой». Nature Communications 3, № 1 (6 ноября 2012 г.): 1171. https://doi.org/10.1038/ncomms2167.
15. Рахимзадеган, Асо и др. «Минималистская модель коэффициента Ми». Optics express 28.11 (2020): 16511-16525. https://doi.org/10.1364/OE.390331
16. W. Chen, Q. Yang, Yu. Chen, W. Liu. "Глобальное рассеяние Ми". arXiv:2003.04114 [physics.optics]
17. Фу, Ю., Кузнецов, А., Мирошниченко, А. и др. «Направленное рассеяние видимого света наночастицами кремния». Nat Commun 4, 1527 (2013) doi:10.1038/ncomms2538
18. Шамхи, Хади К., КВ Барышникова, А. Саянский, П. Капитанова, ПД Терехов, П. Белов, А. Карабчевский, А. Б. Евлюхин, Ю. Кившарь и А. С. Шалин. «Трансверсальное рассеяние и обобщенные эффекты Керкера в полностью диэлектрической резонансной метаоптике Ми». Physical Review Letters 122, № 19 (17 мая 2019 г.): 193905. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.193905.
19. Пошакинский, А. В. и Поддубный А. Н. «Оптико-механический эффект Керкера». Physical Review X 9, № 1 (15 января 2019 г.): 011008. https://doi.org/10.1103/PhysRevX.9.011008.
20. Вэй, Лей и Франсиско Х. Родригес-Фортуньо. ​​«Направленность дальнего и ближнего поля в акустическом рассеянии». New Journal of Physics 22, № 8 (август 2020 г.): 083016. https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab9fbf.
21. Barhom, Hani, Андрей А. Мачнев, Роман Е. Носков, Александр Гончаренко, Егор А. Гурвиц, Александр С. Тимин, Виталий А. Школдин и др. «Биологический эффект Керкера повышает эффективность сбора света в растениях». Nano Letters 19, № 10 (9 октября 2019 г.): 7062–71. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.9b02540
22. Л.-В. Ли, П.-С. Кои, М.-С. Леонг и Т.-С. Йи. Электромагнитная диадическая функция Грина в сферически многослойных средах . Труды IEEE по теории и технике микроволн, 42(12):2302-2310, декабрь 1994 г.
23. CT Tai, Двоичные функции Грина в электромагнитной теории. Scranton, PA: Intext Educational, 1971.
24. Мейсон, В. Брэдфорд, Электромагнитное излучение от простых источников в присутствии однородной диэлектрической сферы , докторская диссертация, кафедра электротехники и вычислительной техники, Мичиганский университет, Энн-Арбор, Мичиган (1972)
25. Холлоуэй, CL; Кюстер, EF; Бейкер-Джарвис, J .; Кабос, P. (2003). «Композитная среда с двойным отрицанием (DNG), состоящая из магнитодиэлектрических сферических частиц, внедренных в матрицу». Труды IEEE по антеннам и распространению волн . 51 (10): 2596–2603. Bibcode : 2003ITAP...51.2596H. doi : 10.1109/TAP.2003.817563.
26. Чжао, Q.; Чжоу, J.; Чжан, FL; Липпенс, D. (2009). «Диэлектрические метаматериалы на основе резонанса Ми». Materials Today . 12 (12): 60–69. doi : 10.1016/S1369-7021(09)70318-9 . hdl : 20.500.12210/50359 .
27. Ли, И.; Боулер, Н. (2012). «Бегущая волна на трехмерных периодических массивах двух различных магнитодиэлектрических сфер, произвольно расположенных на простой тетрагональной решетке». Труды IEEE по антеннам и распространению . 60 (6): 2727–2739. Bibcode : 2012ITAP...60.2727L. doi : 10.1109/tap.2012.2194637. S2CID  21023639.
28. Вазири, MR; и др. (2017). «Исследование внешнего эффекта размера сферических наночастиц палладия и золота». Оптические материалы . 64 : 413–420. Bibcode : 2017OptMa..64..413R. doi : 10.1016/j.optmat.2017.01.014.
29. "ISO 13320:2009 - Анализ размера частиц. Методы лазерной дифракции". www.iso.org . Получено 2015-11-02 .
30. He, L; Kear-Padilla, LL; Lieberman, SH; Andrews, JM (2003). "Быстрое определение in situ общей концентрации нефти в воде с использованием ультрафиолетовой флуоресценции и рассеяния света в сочетании с искусственными нейронными сетями". Analytica Chimica Acta . 478 (2): 245. doi :10.1016/S0003-2670(02)01471-X.
31. Линднер, Х.; Фриц, Герхард; Глаттер, Отто (2001). «Измерения концентрированных эмульсий нефти в воде с использованием статического рассеяния света». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 242 (1): 239. Bibcode : 2001JCIS..242..239L. doi : 10.1006/jcis.2001.7754.
32. Gaitan, D. Felipe; Lawrence A. Crum; Charles C. Church; Ronald A. Roy (1992). "Сонолюминесценция и динамика пузырьков для одиночного стабильного кавитационного пузырька". Журнал акустического общества Америки . 91 (6): 3166. Bibcode : 1992ASAJ...91.3166G. doi : 10.1121/1.402855. S2CID  122235287.
33. Lentz, WJ; Atchley, Anthony A.; Gaitan, D. Felipe (май 1995 г.). «Рассеяние Ми сонолюминесцентным пузырьком воздуха в воде». Applied Optics . 34 (15): 2648–54. Bibcode :1995ApOpt..34.2648L. doi :10.1364/AO.34.002648. hdl : 10945/44125 . PMID  21052406. S2CID  1798670.
34. Gompf, B.; Pecha, R. (май 2000). «Рассеяние Ми от сонолюминесцентного пузыря с высоким пространственным и временным разрешением». Physical Review E. 61 ( 5): 5253–5256. Bibcode : 2000PhRvE..61.5253G. doi : 10.1103/PhysRevE.61.5253. PMID  11031573.
35. Серебренникова, Юлия М.; Патель, Янус; Гарсия-Рубио, Луис Х. (2010). «Интерпретация ультрафиолетово-видимых спектров малярийного паразита Plasmodium falciparum». Applied Optics . 49 (2): 180–8. Bibcode : 2010ApOpt..49..180S. doi : 10.1364/AO.49.000180. PMID  20062504.
36. Bobbert, PA; Vlieger, J. (1 июля 1986 г.). «Рассеяние света сферой на подложке». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 137 (1): 209–242. Bibcode :1986PhyA..137..209B. doi :10.1016/0378-4371(86)90072-5.
37. "SCATMECH: class Bobbert_Vlieger_BRDF_Model". Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Получено 3 января 2017 г.
38. Муратов, Р. З. (2015). Мультиполи и поля эллипсоида . М.: Издательство МИСиС. С. 524. ISBN 978-5-600-01057-4.
39. Ефимов, СП; Муратов, РЗ (1978). «Интерференционные теоремы теории рассеяния в векторных задачах низкочастотной дифракции». Доклады АН СССР . 23 (8): 558–560. Bibcode :1978SPhD...23..556A.
40. Муратов, Р. З.; Ефимов, СП (1978). «Низкочастотное рассеяние плоской волны акустически мягким эллипсоидом». Радиофизика и квантовая электроника . 21 (2): 153–160. Bibcode : 1978R&QE...21..153M. doi : 10.1007/BF01078707. S2CID  118762566.
41. Рэлей, Лорд (1897). «О падении воздушных и электрических волн на малые препятствия в форме эллипсоидов или эллиптических цилиндров и о прохождении электрических волн через круглое отверстие в проводящем экране». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 5. 44 (266): 28. doi :10.1080/14786449708621026.

Дальнейшее чтение

• Керкер, М. (1969). Рассеяние света и других электромагнитных излучений . Нью-Йорк: Academic.
• Barber, PW; Hill, SS (1990). Рассеяние света частицами: Вычислительные методы . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0813-5.
• Мищенко, М.; Трэвис, Л.; Лацис, А. (2002). Рассеяние, поглощение и излучение света малыми частицами . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78252-4.
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Jensen, H. (2007). "Вычисление рассеивающих свойств участвующих сред с использованием теории Лоренца-Ми" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 26 (3): 60. doi :10.1145/1276377.1276452.
• Wriedt, Thomas (2008). «Теория Ми 1908, на мобильном телефоне 2008». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 109 (8): 1543–1548. Bibcode : 2008JQSRT.109.1543W. doi : 10.1016/j.jqsrt.2008.01.009.
• Лоренц, Людвиг (1890). «Lysbevægelsen i og uden for en af ​​plane Lysbølger belyst Kugle». Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . 6 (6): 1–62.

Внешние ссылки

• SCATTERLIB и scattport.org — это коллекции кодов рассеяния света с реализациями решений Ми на Fortran , C++ , IDL , Pascal , Mathematica и Mathcad.
• JMIE (2D C++ код для расчета аналитических полей вокруг бесконечного цилиндра, разработанный Джеффри М. Макмахоном)
• ScatLab. Программное обеспечение для рассеяния Ми для Windows.
• Код STRATIFY MATLAB рассеяния от многослойных сфер в случаях, когда источником является точечный диполь и плоская волна. Описание в arXiv:2006.06512
• Scattnlay, пакет решений Mie с открытым исходным кодом на C++ с оболочками Python и JavaScript . Предоставляет результаты моделирования дальнего и ближнего поля для многослойных сфер.
• Онлайн-калькулятор рассеяния Ми обеспечивает моделирование свойств рассеивания (включая мультипольное разложение) и карт ближнего поля для объемных, сердцевинно-оболочечных и многослойных сфер. Параметры материала включают все файлы nk-data с сайта Refractiveindex.info. Исходный код является частью проекта Scattnlay.
• Доступен онлайн-калькулятор решения Ми с документацией на немецком и английском языках.
• Онлайн-калькулятор рассеяния Ми создает красивые графики по целому ряду параметров.
• phpMie Онлайн-калькулятор рассеяния Ми, написанный на PHP .
• Рассеивание света, вызванное резонансом Ми, и случайная генерация лазерного излучения.
• Решение Ми для сферических частиц.
• PyMieScatt, пакет решений Mie, написанный на Python .
• pyMieForAll — пакет решений Mie с открытым исходным кодом на C++ с оболочкой Python .