Рафаэль Бомбелли

Итальянский математик XVI века.

«Алгебра» Рафаэля Бомбелли: фронтиспис болонского издания 1579 года.

Рафаэль Бомбелли ( крещен 20 января 1526 г.; умер в 1572 г.) ^{[a] [1] [2]} — итальянский математик . Он родился в Болонье , является автором трактата по алгебре и центральной фигурой в понимании мнимых чисел .

Ему наконец удалось решить проблему с мнимыми числами. В своей книге 1572 года «Алгебра» Бомбелли решал уравнения, используя метод дель Ферро / Тартальи . Он представил риторику, которая предшествовала репрезентативным символам + i и - i , и описал, как они оба работали.

Жизнь

Рафаэль Бомбелли крестился 20 января 1526 года ^[3] в Болонье, Папская область . Он родился в семье Антонио Маццоли, торговца шерстью, и Диаманте Скудиери, дочери портного. Семья Маццоли когда-то была довольно влиятельной в Болонье. Когда в 1506 году к власти пришел папа Юлий II , он изгнал правящую семью Бентивольо. Семья Бентивольо попыталась вернуть Болонью в 1508 году, но потерпела неудачу. Дед Рафаэля участвовал в попытке государственного переворота, был схвачен и казнен. Позже Антонио смог вернуться в Болонью, сменив фамилию на Бомбелли, чтобы избежать репутации семьи Маццоли. Рафаэль был старшим из шести детей. Рафаэль не получил высшего образования, вместо этого его преподавал инженер-архитектор по имени Пьер Франческо Клементи.

Бомбелли считал, что ни одна из работ по алгебре ведущих математиков того времени не дает тщательного и подробного изложения предмета. Вместо очередного запутанного трактата, который могли бы понять только математики, Рафаэль решил написать книгу по алгебре, понятную каждому. Его текст будет самодостаточным и легко прочитанным людьми без высшего образования.

Бомбелли умер в 1572 году в Риме.

Алгебра Бомбелли

Алгебра , 1572 г.

В вышедшей в 1572 году книге под названием «Алгебра » Бомбелли дал исчерпывающее описание известной в то время алгебры. Он был первым европейцем, записавшим способ выполнения вычислений с отрицательными числами. Ниже приводится отрывок из текста:

«Плюс раз плюс получается плюс
Минус раз минус раз получается плюс
Плюс раз минус раз получается минус
Минус раз плюс плюс получается плюс
8 раз плюс 8 получается плюс 64
Минус 5 раз минус 6 получается плюс 30
Минус 4 раза плюс 5 получается минус 20
Плюс 5 раз минус 4 составляет минус 20"

Как и было задумано, Бомбелли использовал простой язык, как видно выше, чтобы его мог понять каждый. Но в то же время он был основательным.

Обозначения

Бомбелли впервые в печатном тексте (во второй книге своей «Алгебры») ввел форму индексной записи, в которой уравнение имело вид 1U3 a. 6У1 п. 40. ^[4] , в котором он написал U3 в виде приподнятой чаши (как изогнутая часть заглавной буквы U) с цифрой 3 над ней. Полная символическая запись была разработана вскоре после этого французским математиком Франсуа Вьете .
${\displaystyle x^{3}=6x+40}$

Комплексные числа

Однако, возможно, что более важно, чем его работы по алгебре, книга также включает монументальный вклад Бомбелли в теорию комплексных чисел . Прежде чем писать о комплексных числах, он указывает, что они встречаются в решениях уравнений вида учитывая, что это еще один способ утверждать, что дискриминант кубического числа отрицателен. Решение такого рода уравнений требует извлечения кубического корня из суммы одного числа и квадратного корня некоторого отрицательного числа. ${\displaystyle x^{3}=ax+b,}$ ${\displaystyle (a/3)^{3}>(b/2)^{2},}$

Прежде чем Бомбелли углубится в практическое использование мнимых чисел, он подробно объясняет свойства комплексных чисел. Он сразу дает понять, что правила арифметики для мнимых чисел не такие же, как для действительных чисел. Это было большим достижением, поскольку даже многие последующие математики были крайне сбиты с толку этой темой.

Бомбелли избежал путаницы, дав особое название квадратным корням из отрицательных чисел, вместо того, чтобы просто пытаться обращаться с ними как с обычными радикалами, как это делали другие математики. Это дало понять, что эти цифры не были ни положительными, ни отрицательными. Такая система позволяет избежать путаницы, с которой столкнулся Эйлер. Бомбелли назвал мнимое число i «плюс минус» и использовал «минус минус» для -i .

Бомбелли предусмотрительно увидел, что мнимые числа имеют решающее значение и необходимы для решения уравнений четвертой и кубической степени . В то время люди интересовались комплексными числами только как инструментами для решения практических уравнений. Таким образом, Бомбелли смог получить решения, используя правило Сципионе дель Ферро , даже в casus reducibilis , от которого другие математики, такие как Кардано, отказались.

В своей книге Бомбелли объясняет сложную арифметику следующим образом:

«Плюс за плюсом из минуса получается плюс из минуса.
Минус за плюсом из минуса получается минус из минуса.
Плюс за минусом из минуса получается минус из минуса.
Минус за минусом из минуса получается плюс из минуса.
Плюс из минуса за плюсом из минуса получается минус.
Плюс минуса к минусу минуса дает плюс.
Минус минуса к плюсу минуса дает плюс.
Минус минуса к минусу минуса дает минус».

Разобравшись с умножением действительных и мнимых чисел, Бомбелли продолжает говорить о правилах сложения и вычитания. Он осторожно указывает, что действительные части добавляются к реальным частям, а мнимые части добавляются к воображаемым частям.

Репутация

Бомбелли обычно считают изобретателем комплексных чисел, поскольку до него никто не установил правил работы с такими числами, и никто не верил, что работа с мнимыми числами даст полезные результаты. Прочитав «Алгебру» Бомбелли , Лейбниц похвалил Бомбелли как «... выдающегося мастера аналитического искусства». Кроссли пишет в своей книге: «Итак, у нас есть инженер Бомбелли, который практически использует комплексные числа, возможно, потому, что они дали ему полезные результаты, в то время как Кардан нашел квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. комплексные числа... Удивительно, насколько тщательно он излагает законы вычисления комплексных чисел..." ^[5]

В честь его достижений лунный кратер был назван Бомбелли .

Метод Бомбелли для вычисления квадратных корней

Бомбелли использовал метод, связанный с цепными дробями , для вычисления квадратных корней . У него еще не было понятия цепной дроби, и ниже приводится алгоритм более поздней версии, предложенный Пьетро Катальди (1613 г.). ^[6]

Метод нахождения начинается с с , из которого можно показать, что . Повторная замена выражения в правой части на само себя дает непрерывную дробь. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ }$ ${\displaystyle 0<r<1\ }$ ${\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}}$

для корня, но Бомбелли больше интересует лучшие приближения для . В качестве значения выбрано любое из целых чисел, квадраты которых находятся между ними. Этот метод дает следующие сходимые значения для фактического значения 3,605551275... : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {13}}\ }$

${\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots }$

Последняя дробь равна 3,605550883... . Метод Бомбелли следует сравнить с формулами и результатами, использованными Геросом и Архимедом . Результат , использованный Архимедом при определении значения , можно найти, используя 1 и 0 в качестве начальных значений . ${\displaystyle {\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r}$

Рекомендации

Сноски

1. Даты соответствуют юлианскому календарю . Григорианский календарь был принят в Италии в 1582 году (4 октября 1582 года последовало 15 октября 1582 года).

Цитаты

1. «Григорианский календарь».
2. Кроссли 1987, с. 95.
3. "Рафаэль Бомбелли". www.gavagai.de . Архивировано из оригинала 19 ноября 2003 года.
4. Стедалл, Жаклин Энн (2000). Большой дискурс об алгебре: Трактат об алгебре Джона Уоллиса 1685 года (Диссертация). Издательство Открытого университета.
5. Кроссли 1987.
6. Бомбелли_алгебра

Источники

• Моррис Клайн , Математическая мысль от древних до наших дней , 1972, Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN 0-19-501496-0 
• Дэвид Юджин Смит , Справочник по математике , 1959, Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN 0-486-64690-4 
• Кроссли, Джон Н. (1987). Появление числа . Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/0462. ISBN 978-9971-5-0413-7.
• Дэниел Дж. Кертин и др., «Алгебра» Рафаэля Бомбелли , 1996,

https://www.people.iup.edu/gsstoudt/history/bombelli/bombelli.pdf

Внешние ссылки

• L'Algebra, Libri I, II, III, IV e V, оригинальные итальянские тексты.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Рафаэль Бомбелли», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Фон