Правильный многогранник — это многогранник , группа симметрии которого действует транзитивно на его флагах . Правильный многогранник обладает высокой симметрией, будучи полностью транзитивным по ребрам , транзитивным по вершинам и транзитивным по граням . В классических контекстах используется много различных эквивалентных определений; распространенным является то, что грани — это конгруэнтные правильные многоугольники , которые собираются одинаковым образом вокруг каждой вершины .
Правильный многогранник определяется его символом Шлефли вида { n , m }, где n — число сторон каждой грани, а m — число граней, сходящихся в каждой вершине. Существует 5 конечных выпуклых правильных многогранников ( тела Платона ) и четыре правильных звездчатых многогранника ( многогранники Кеплера–Пуансо ), что в сумме составляет девять правильных многогранников. Кроме того, существует пять правильных соединений правильных многогранников.
Существует пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела ; четыре правильных звездчатых многогранника , многогранники Кеплера-Пуансо ; и пять правильных соединений правильных многогранников:
Свойство иметь одинаковое расположение граней вокруг каждой вершины можно заменить любым из следующих эквивалентных условий в определении:
Выпуклый правильный многогранник имеет все три связанные сферы (у других многогранников нет по крайней мере одной сферы), которые имеют общий центр:
Правильные многогранники являются наиболее симметричными из всех многогранников. Они лежат всего в трех группах симметрии , которые названы в честь Платоновых тел:
Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией будут также содержать тетраэдрическую симметрию.
Пять Платоновых тел имеют эйлерову характеристику , равную 2. Это просто отражает тот факт, что поверхность является топологической 2-сферой, и это также верно, например, для любого многогранника, который имеет форму звезды относительно некоторой внутренней точки.
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от местоположения точки (это расширение теоремы Вивиани ). Однако обратное утверждение неверно, даже для тетраэдров . [2]
В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.
Правильные многогранники демонстрируют эту двойственность следующим образом:
Символ Шлефли двойственного числа — это просто оригинал, записанный наоборот, например, двойственное число для {5, 3} — это {3, 5}.
Камни, вырезанные в форме, напоминающей скопления сфер или шишек, были найдены в Шотландии и могут иметь возраст до 4000 лет. Некоторые из этих камней показывают не только симметрию пяти Платоновых тел, но и некоторые отношения дуальности между ними (то есть, что центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в зале Джона Эванса в Эшмоловском музее Оксфордского университета . Почему были сделаны эти объекты, или как их создатели получили вдохновение для них, является загадкой. Существуют сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от переосмысления икосаэдра, двойного додекаэдра. [3]
Также возможно, что этруски опередили греков в понимании, по крайней мере, некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует обнаружение в конце XIX века близ Падуи (в Северной Италии ) додекаэдра , сделанного из талькового камня и датируемого более 2500 лет назад (Линдеманн, 1987).
Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах относятся к классической Греции. Когда и кем были открыты все эти тела, неизвестно, но Теэтет ( афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Van der Waerden, 1954), (Euclid, book XIII). HSM Coxeter (Coxeter, 1948, Section 1.9) приписывает Платону (400 г. до н. э.) создание их моделей и упоминает, что один из ранних пифагорейцев , Тимей из Локри , использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой вселенной, как она тогда воспринималась — это соответствие записано в диалоге Платона «Тимей» . Ссылка Евклида на Платона привела к их общему описанию как платоновых тел .
Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:
Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку, хотя все грани правильные, квадратное основание не совпадает с треугольными сторонами) или форму, образованную соединением двух тетраэдров (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонними треугольниками, то есть равными и правильными, некоторые вершины имеют 3 треугольника, а другие — 4).
Эта концепция правильного многогранника оставалась неоспоримой на протяжении почти 2000 лет.
Правильные звездчатые многоугольники, такие как пентаграмма (звездчатый пятиугольник), также были известны древним грекам — пентаграмма использовалась пифагорейцами как их секретный знак, но они не использовали их для построения многогранников. Только в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать в качестве граней правильных звездчатых многогранников . Некоторые из этих звездчатых многогранников, возможно, были открыты другими до времен Кеплера, но Кеплер был первым, кто понял, что их можно считать «правильными», если снять ограничение, что правильные многогранники должны быть выпуклыми. Двести лет спустя Луи Пуансо также допустил звездчатые вершинные фигуры (круги вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездчатых многогранника вместе с переоткрытием многогранников Кеплера. Эти четыре являются единственными правильными звездчатыми многогранниками и стали известны как многогранники Кеплера–Пуансо . Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации Пуансо, Кэли дал им современные английские названия: малый звёздчатый додекаэдр (Кеплера) и большой звёздчатый додекаэдр ( большой икосаэдр ) и большой додекаэдр (Пуансо) .
Многогранники Кеплера–Пуансо могут быть построены из Платоновых тел с помощью процесса, называемого образованием звездчатой формы . Обратный процесс образования звездчатой формы называется огранкой (или гранением). Каждая звездчатая форма одного многогранника является двойственной или обратной некоторой огранке двойственного многогранника. Правильные звездчатые многогранники также могут быть получены путем огранки Платоновых тел. Это было впервые сделано Бертраном примерно в то же время, когда Кэли дал им название.
Таким образом, к концу XIX века правильных многогранников было девять: пять выпуклых и четыре звездчатых.
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.
Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов . Это никоим образом не исчерпывает число возможных форм кристаллов (Smith, 1982, p212), которых насчитывается 48. Ни правильный икосаэдр, ни правильный додекаэдр не входят в их число, но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра , которая визуально почти неотличима от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы квазикристаллическими материалами, которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.
Более позднее открытие касается серии новых типов молекул углерода , известных как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C 60 , наиболее легко получаемый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, некоторые из более крупных разновидностей (такие как C 240 , C 480 и C 960 ), как предполагается, принимают форму слегка закругленных икосаэдров, несколько нанометров в поперечнике.
Правильные многогранники также появляются в биологии. Кокколитофорида Braarudosphaera bigelowii имеет правильную додекаэдрическую структуру, около 10 микрометров в поперечнике. [4] В начале 20-го века Эрнст Геккель описал ряд видов радиолярий , некоторые из которых имеют форму различных правильных многогранников. [5] Примерами являются Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus и Circorrhegma dodecahedra ; формы этих существ указаны в их названиях. [5] Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, ВИЧ заключен в правильный икосаэдр, как и голова типичного миовируса . [6] [7]
В древние времена пифагорейцы верили, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планет . В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, собранные Тихо Браге , и в течение десятилетия пытался установить идеал Пифагора, найдя соответствие между размерами многогранников и размерами орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования вышло открытие Кеплером тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются окружностями, и законы движения планет , которыми он теперь знаменит. Во времена Кеплера было известно только пять планет (исключая Землю), что хорошо соответствовало числу Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с тех пор Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.
Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой пять элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) каждый состоял из крошечных копий одного из пяти правильных твердых тел. Материя была создана из смеси этих многогранников, причем каждое вещество имело разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона показала, что эта идея находится в правильном направлении, хотя и не связана напрямую с правильными твердыми телами.
В XX веке произошел ряд обобщений идеи правильного многогранника, что привело к появлению нескольких новых классов.
В первые десятилетия Коксетер и Петри допускали «седловые» вершины с чередующимися гребнями и впадинами, что позволяло им строить три бесконечные складчатые поверхности, которые они называли правильными косыми многогранниками . [8] Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} подразумевает вершинную фигуру с m правильными l -угольниками вокруг вершины. n определяет n -угольные отверстия . Их вершинные фигуры являются правильными косыми многоугольниками , вершины которых зигзагообразно расположены между двумя плоскостями.
Конечные правильные косые многогранники существуют в 4-пространстве. Эти конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве можно рассматривать как подмножество граней однородных 4-многогранников . Они имеют плоские правильные многоугольные грани, но правильные косые многоугольные вершинные фигуры .
Два дуальных решения связаны с 5-ячейкой , два дуальных решения связаны с 24-ячейкой , и бесконечный набор самодуальных дуопризм порождает правильные косые многогранники как {4, 4 | n}. В бесконечном пределе они приближаются к дуоцилиндру и выглядят как тор в своих стереографических проекциях в 3-пространство.
Исследования неевклидовых ( гиперболических и эллиптических ) и других пространств, таких как комплексные пространства , открытых в предыдущем столетии, привели к открытию новых многогранников, таких как комплексные многогранники , которые могли принимать только правильную геометрическую форму в этих пространствах.
В гиперболическом пространстве H 3 паракомпактные регулярные соты имеют евклидовы грани мозаики и вершинные фигуры , которые действуют как конечные многогранники. Такие мозаики имеют дефект угла , который может быть закрыт путем изгиба в одну или другую сторону. Если мозаика правильно масштабирована, она закроется как асимптотический предел в одной идеальной точке . Эти евклидовы мозаики вписаны в орисферу так же, как многогранники вписаны в сферу (содержащую нулевые идеальные точки). Последовательность расширяется, когда гиперболические мозаики сами используются в качестве граней некомпактных гиперболических мозаик, как в семиугольных сотах мозаики {7,3,3}; они вписаны в эквидистантную поверхность (2- гиперцикл ), которая имеет две идеальные точки.
Другая группа правильных многогранников включает мозаики действительной проективной плоскости . К ним относятся полукуб , полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Они являются (глобально) проективными многогранниками и являются проективными аналогами Платоновых тел . Тетраэдр не имеет проективного аналога, поскольку у него нет пар параллельных граней, которые можно было бы идентифицировать, как у других четырех Платоновых тел.
Они встречаются как дуальные пары, как и исходные Платоновы тела. Их эйлеровы характеристики все равны 1.
К настоящему времени многогранники были твердо поняты как трехмерные примеры более общих многогранников в любом количестве измерений. Во второй половине века развивались абстрактные алгебраические идеи, такие как полиэдральная комбинаторика , достигшая кульминации в идее абстрактного многогранника как частично упорядоченного множества (посета) элементов. Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычное пространство или реализованы как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют хорошо сформированные или точные реализации, другие — нет. Флаг — это связный набор элементов каждого измерения — для многогранника, который является телом, гранью, ребром грани, вершиной ребра и нулевым многогранником. Говорят, что абстрактный многогранник является регулярным , если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах – то есть любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные регулярные многогранники остаются активной областью исследований.
Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые не могут быть реализованы точно, были идентифицированы HSM Coxeter в его книге Regular Polytopes (1977) и снова JM Wills в его статье "The combinatorially regular polyhedras of index 2" (1987). Все пять имеют симметрию C2 × S5 , но могут быть реализованы только с половинной симметрией, то есть C2 × A5 или икосаэдрической симметрией. [9] [10] [11] Все они топологически эквивалентны торадам . Их построение, путем размещения n граней вокруг каждой вершины, может быть повторено бесконечно как мозаики гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболической мозаики имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.
Двойственное Петри правильного многогранника — это правильная карта , вершины и ребра которой соответствуют вершинам и ребрам исходного многогранника, а грани — это множество косых многоугольников Петри . [12]
Обычные пять правильных многогранников также можно представить в виде сферических мозаик (мозаик сферы ) :
Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m , n }, число многоугольных граней можно найти по формуле:
Платоновы тела, известные с античности, являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели не менее трех сторон.
При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники (2-угольники) могут быть представлены как сферические двуугольники, имеющие ненулевую площадь . Разрешение m = 2 допускает новый бесконечный класс правильных многогранников, которые являются осоэдрами . На сферической поверхности правильный многогранник {2, n } представлен как n примыкающих двуугольников с внутренними углами 2 π / n . Все эти двуугольники имеют две общие вершины. [13]
Правильный двугранник , { n , 2} [13] (2-гранник) в трехмерном евклидовом пространстве можно рассматривать как вырожденную призму, состоящую из двух (плоских) n -сторонних многоугольников, соединенных «спина к спине», так что полученный объект не имеет глубины, аналогично тому, как двуугольник может быть построен из двух отрезков прямых . Однако, как сферическая мозаика , двугранник может существовать как невырожденная форма с двумя n -сторонними гранями, покрывающими сферу, причем каждая грань является полусферой , и вершинами вокруг большого круга . Он является правильным, если вершины расположены на одинаковом расстоянии.
Осоэдр {2, n } является двойственным к диэдру { n ,2}. Обратите внимание, что когда n = 2, мы получаем многогранник {2,2}, который является как осоэдром, так и диэдром. Все они имеют эйлерову характеристику 2.
