Рэлеевское затухание

Статистическая модель радиосигнала

Замирание Рэлея — это статистическая модель влияния среды распространения на радиосигнал , например, используемый беспроводными устройствами.

Модели замирания Рэлея предполагают, что величина сигнала, прошедшего через такую ​​среду передачи (также называемую каналом связи ), будет случайным образом изменяться или затухать в соответствии с распределением Рэлея — радиальной составляющей суммы двух некоррелированных гауссовых случайных величин .

Рэлеевское замирание рассматривается как разумная модель для тропосферного и ионосферного распространения сигнала, а также для влияния густонаселенной городской среды на радиосигналы. ^{[1] [2]} Рэлеевское замирание наиболее применимо, когда нет доминирующего распространения вдоль линии прямой видимости между передатчиком и приемником. Если есть доминирующая линия прямой видимости, райсовское замирание может быть более применимо. Рэлеевское замирание является особым случаем двухволнового замирания с диффузной мощностью (TWDP) .

Модель

Релеевское замирание является разумной моделью, когда в среде много объектов, рассеивающих радиосигнал до того, как он достигнет приемника. Центральная предельная теорема гласит, что при достаточно большом рассеянии импульсный отклик канала будет хорошо моделироваться как гауссовский процесс независимо от распределения отдельных компонентов. Если в рассеянии нет доминирующего компонента, то такой процесс будет иметь нулевое среднее значение и фазу, равномерно распределенную между 0 и 2π радиан . Огибающая отклика канала будет, таким образом, распределена по закону Рэлея .

Называя эту случайную величину , мы получим функцию плотности вероятности : ^[1] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{R}(r)={\frac {2r}{\Omega }}e^{-r^{2}/\Omega },\ r\geq 0}$

где . ${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} (R^{2})}$

Часто элементы усиления и фазы искажения канала удобно представлять в виде комплексного числа . В этом случае замирание Рэлея проявляется в предположении, что действительная и мнимая части отклика моделируются независимыми и одинаково распределенными нулевым средним гауссовыми процессами, так что амплитуда отклика является суммой двух таких процессов.

Применимость

Было показано, что густо застроенный Манхэттен приближается к среде с затуханием Рэлея.

Одна секунда замирания Рэлея с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц

Одна секунда замирания Рэлея с максимальным доплеровским сдвигом 100 Гц

Требование наличия большого количества рассеивателей означает, что замирание Рэлея может быть полезной моделью в густонаселенных городских центрах, где нет прямой видимости между передатчиком и приемником, а множество зданий и других объектов ослабляют , отражают , преломляют и дифрагируют сигнал. Экспериментальная работа в Манхэттене обнаружила там замирание, близкое к рэлеевскому. ^[3] При распространении сигнала в тропосфере и ионосфере множество частиц в атмосферных слоях действуют как рассеиватели, и этот тип среды также может приближаться к замиранию Рэлея. Если среда такова, что в дополнение к рассеянию на приемнике наблюдается сильно доминирующий сигнал, обычно вызванный прямой видимостью , то среднее значение случайного процесса больше не будет равно нулю, а будет изменяться вокруг уровня мощности доминирующего пути. Такую ситуацию можно лучше смоделировать как замирание Райса .

Обратите внимание, что замирание Рэлея — это мелкомасштабный эффект. Будут присутствовать объемные свойства среды, такие как потеря пути и затенение , на которые накладывается замирание.

Скорость затухания канала будет зависеть от того, насколько быстро двигаются приемник и/или передатчик. Движение вызывает доплеровский сдвиг в компонентах принятого сигнала. На рисунках показано изменение мощности в течение 1 секунды постоянного сигнала после прохождения через однолучевой канал затухания Рэлея с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц и 100 Гц. Эти доплеровские сдвиги соответствуют скоростям около 6 км/ч (4 мили в час) и 60 км/ч (40 миль в час) соответственно на частоте 1800 МГц, одной из рабочих частот мобильных телефонов GSM . Это классическая форма затухания Рэлея. Обратите особое внимание на «глубокие затухания», когда сила сигнала может упасть в несколько тысяч раз или на 30–40 дБ .

Характеристики

Поскольку распределение Рэлея основано на хорошо изученном распределении со специальными свойствами, оно поддается анализу, а ключевые характеристики, влияющие на производительность беспроводной сети, имеют аналитические выражения .

Обратите внимание, что обсуждаемые здесь параметры относятся к нестатическому каналу. Если канал не меняется со временем, он не затухает, а вместо этого остается на каком-то определенном уровне. Отдельные экземпляры канала в этом случае будут некоррелированы друг с другом из-за предположения, что каждый из рассеянных компонентов затухает независимо. Как только между любым из передатчика, приемника и рассеивателей вводится относительное движение, затухание становится коррелированным и изменяющимся во времени.

Скорость проезда через железнодорожный переезд

Скорость пересечения уровня является мерой скорости замирания. Она количественно определяет, как часто замирание пересекает некоторый порог, обычно в положительном направлении. Для замирания Рэлея скорость пересечения уровня равна: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {LCR} ={\sqrt {2\pi }}f_{d}\rho e^{-\rho ^{2}}}$

где — максимальный доплеровский сдвиг, а — пороговый уровень, нормализованный по отношению к среднеквадратичному (RMS) уровню сигнала: ${\displaystyle f_{d}}$ ${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {R_{\mathrm {threshold} }}{R_{\mathrm {rms} }}}.}$

Средняя продолжительность затухания

Средняя продолжительность замирания определяет, как долго сигнал находится ниже порогового значения . Для замирания Рэлея средняя продолжительность замирания составляет: ^[4] ${\displaystyle \,\!\rho }$

${\displaystyle \mathrm {AFD} ={\frac {e^{\rho ^{2}}-1}{\rho f_{d}{\sqrt {2\pi }}}}.}$

Скорость пересечения уровней и средняя продолжительность затухания, взятые вместе, дают полезный способ охарактеризовать серьезность затухания с течением времени.

Для конкретного нормализованного порогового значения произведение средней продолжительности затухания и скорости пересечения уровня является константой и определяется по формуле ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathrm {AFD} \times \mathrm {LCR} =1-e^{-\rho ^{2}}.}$

Спектральная плотность мощности Допплера

Нормализованный доплеровский спектр мощности замирания Рэлея с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц

Спектральная плотность мощности Доплера затухающего канала описывает, насколько сильно он расширяет спектр. Это показывает, как чистая частота, например, чистая синусоида, которая является импульсом в частотной области, распространяется по частоте, когда она проходит через канал. Это преобразование Фурье функции временной автокорреляции. Для затухания Рэлея с вертикальной приемной антенной с одинаковой чувствительностью во всех направлениях это, как было показано, равно: ^[5]

${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{\pi f_{d}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{f_{d}}}\right)^{2}}}}},}$

где — сдвиг частоты относительно несущей частоты. Это уравнение справедливо только для значений между ; вне этого диапазона спектр равен нулю. Этот спектр показан на рисунке для максимального доплеровского сдвига 10 Гц. «Форма чаши» или «форма ванны» — классическая форма этого доплеровского спектра. ${\displaystyle \,\!\nu }$ ${\displaystyle \,\!\nu }$ ${\displaystyle \pm f_{d}}$

Генерация замирания Рэлея

Как описано выше, сам канал замирания Рэлея может быть смоделирован путем генерации действительной и мнимой частей комплексного числа в соответствии с независимыми нормальными гауссовыми переменными. Однако иногда бывает так, что интерес представляют просто амплитудные флуктуации (например, на рисунке, показанном выше). Для этого есть два основных подхода. В обоих случаях цель состоит в том, чтобы создать сигнал, который имеет доплеровский спектр мощности, приведенный выше, и эквивалентные свойства автокорреляции.

Модель Джейкса

В своей книге ^[6] Джейкс популяризировал модель замирания Рэлея, основанную на суммировании синусоид . Пусть рассеиватели равномерно распределены по окружности под углами, а лучи выходят из каждого рассеивателя. Доплеровский сдвиг на луче равен ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,\!f_{n}=f_{d}\cos \alpha _{n}}$

и при наличии таких рассеивателей рэлеевское затухание формы волны с течением времени можно смоделировать следующим образом: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(t,k)=2{\sqrt {2}}\left[\sum _{n=1}^{M}\right.&\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{n}t+\theta _{n,k}\right)\\[4pt]&\left.{}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \alpha +j\sin \alpha \right)\cos(2\pi f_{d}t)\right].\end{aligned}}}$

Здесь и — параметры модели, обычно принимаемые равными нулю и выбранные таким образом, чтобы не было взаимной корреляции между действительной и мнимой частями : ${\displaystyle \,\!\alpha }$ ${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$ ${\displaystyle \,\!\alpha }$ ${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$ ${\displaystyle R(t)}$

${\displaystyle \,\!\beta _{n}={\frac {\pi n}{M+1}}}$

и используется для генерации нескольких волновых форм. Если моделируется однопутевой канал, так что есть только одна волновая форма, то может быть нулевым. Если моделируется многопутевой, частотно-избирательный канал, так что требуется несколько волновых форм, Джейкс предполагает, что некоррелированные волновые формы задаются как ${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n,k}=\beta _{n}+{\frac {2\pi (k-1)}{M+1}}.}$

Фактически, было показано, что формы волн коррелируют между собой — они имеют ненулевую взаимную корреляцию — за исключением особых обстоятельств. ^[7] Модель также является детерминированной (в ней нет случайного элемента после выбора параметров). Модифицированная модель Джейкса ^[8] выбирает немного разные расстояния для рассеивателей и масштабирует их формы волн с помощью последовательностей Уолша-Адамара, чтобы гарантировать нулевую взаимную корреляцию. Установка

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\pi (n-0.5)}{2M}}{\text{ and }}\beta _{n}={\frac {\pi n}{M}},}$

В результате получается следующая модель, обычно называемая моделью Дента или модифицированной моделью Джейкса:

${\displaystyle R(t,k)={\sqrt {\frac {2}{M}}}\sum _{n=1}^{M}A_{k}(n)\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{d}t\cos \alpha _{n}+\theta _{n}\right).}$

Весовые функции — это последовательность Уолша–Адамара ^th в . Поскольку они имеют нулевую взаимную корреляцию по замыслу, эта модель приводит к некоррелированным формам волн. Фазы могут быть инициализированы случайным образом и не оказывают никакого влияния на свойства корреляции. Быстрое преобразование Уолша может использоваться для эффективной генерации выборок с использованием этой модели. ${\displaystyle A_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$

Модель Джейкса также популяризировала доплеровский спектр, связанный с замиранием Рэлея, и, как следствие, этот доплеровский спектр часто называют спектром Джейкса.

Фильтрованный белый шум

Другой способ генерации сигнала с требуемым доплеровским спектром мощности — пропустить белый гауссовский шумовой сигнал через гауссовский фильтр с частотной характеристикой, равной квадратному корню требуемого доплеровского спектра. Хотя он проще, чем модели выше, и недетерминирован, он представляет некоторые вопросы реализации, связанные с необходимостью использования фильтров высокого порядка для аппроксимации иррациональной функции квадратного корня в отклике и дискретизации гауссовой формы волны с соответствующей скоростью.

Фильтр Баттерворта как спектральная плотность мощности Доплера

Отфильтрованный фильтром Баттерворта временной ряд Рэлея (частота дискретизации 120 Гц.)

Согласно ^{[9] [10] [11]} спектральную плотность мощности Доплера можно также смоделировать с помощью фильтра Баттерворта следующим образом:

${\displaystyle S_{Doppler}(f)=|H_{Butterworth}|^{2}={\frac {B}{\sqrt {1-(f/f_{0})^{2k}}}}}$

где f — частота, — отклик фильтра Баттерворта, B — константа нормализации, k — порядок фильтра, а — частота среза , которую следует выбирать с учетом максимального доплеровского сдвига. ${\displaystyle H_{Butterworth}}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Смотрите также

• Выцветание
• Рассеяние Рэлея
• Райсианское замирание
• Распространение вне зоны прямой видимости
• Распространение в пределах прямой видимости
• Беспроводной
• Распределение Рэлея
• Двухволновое затухание с диффузной мощностью (TWDP)
• Лорд Рэлей

Ссылки

1. John G. Proakis (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). Сингапур: McGraw–Hill Book Co. стр. 767–768. ISBN 978-0-07-113814-7.
2. Бернард Склар (июль 1997 г.). «Релеевские замирания каналов в мобильных цифровых системах связи. Часть I: Характеристика». Журнал IEEE Communications . 35 (7): 90–100. doi :10.1109/35.601747.
3. Дмитрий Чижик; Джонатан Линг; Питер В. Вольнянски; Рейнальдо А. Валенсуэла; Нельсон Коста и Крис Хубер (апрель 2003 г.). «Измерения и моделирование с несколькими входами и выходами в Манхэттене» (PDF) . Журнал IEEE по избранным направлениям в области коммуникаций . 21 (3): 321–331. doi :10.1109/JSAC.2003.809457.
4. TS Rappaport (31 декабря 2001 г.). Беспроводная связь: принципы и практика (2-е изд.). Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-042232-3.
5. RH Clarke (июль–август 1968 г.). «Статистическая теория мобильного радиоприема». Bell System Technical Journal . 47 (6): 957–1000. doi :10.1002/j.1538-7305.1968.tb00069.x.
6. Уильям С. Джейкс, ред. (1 февраля 1975 г.). Микроволновая мобильная связь . Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. ISBN 978-0-471-43720-8.
7. Фон Эккардштейн, С. и Исакссон, К. (декабрь 1991 г.). Kanalmodeller för radiotransmission (Модели каналов для радиопередачи) (Магистерская диссертация) (на шведском языке). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт.
8. P. Dent, GE Bottomley и T. Croft (24 июня 1993 г.). «Jakes Fading Model Revisited». Electronics Letters . 29 (13): 1162–1163. Bibcode : 1993ElL....29.1162D. doi : 10.1049/el:19930777.
9. Фернандо Перес-Фонтан, Ирия Санчес-Лаго, Роберто Прието Сердейра и Ана Болеа-Алама nac. Консолидация модели каналов узкополосной наземной подвижной спутниковой связи в нескольких штатах. Во Второй Европейской конференции по антеннам и распространению радиоволн, EuCAP, 2007 г., стр. 1–6, ноябрь. 2007 год
10. Фонтен, Ф.П. и Эспиэйра, П.М., 2008. Моделирование канала распространения беспроводных сигналов: подход к моделированию с помощью Matlab (т. 5). John Wiley & Sons. - стр. 123 - 129
11. Арндт, Д., 2015. О моделировании каналов для приема наземных мобильных спутников (Докторская диссертация). - С. 28

Внешние ссылки

• Генератор сигналов канала замирания Рэлея с использованием модели Дента (Matlab)