аттрактор Рёсслера

Аттрактор для хаотической системы Ресслера

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера как стереограмма с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=14}$

Аттрактор Рёсслера ( / ˈ r ɒ s l ər / ) — это аттрактор для системы Рёсслера , системы из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, первоначально изученной Отто Рёсслером в 1970-х годах. ^{[1] [2]} Эти дифференциальные уравнения определяют непрерывную во времени динамическую систему , которая демонстрирует хаотическую динамику, связанную с фрактальными свойствами аттрактора. ^[3] Рёсслер интерпретировал ее как формализацию машины для вытягивания ирисок . ^[4]

Некоторые свойства системы Рёсслера можно вывести с помощью линейных методов, таких как собственные векторы , но основные характеристики системы требуют нелинейных методов, таких как отображения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы . В оригинальной статье Рёсслера говорится, что аттрактор Рёсслера должен был вести себя аналогично аттрактору Лоренца , но также был бы проще для качественного анализа. ^[1] Орбита внутри аттрактора следует по внешней спирали близко к плоскости вокруг нестабильной неподвижной точки. Как только график достаточно закручивается, вторая неподвижная точка влияет на график, вызывая подъем и поворот в -измерении . Во временной области становится очевидным, что, хотя каждая переменная колеблется в фиксированном диапазоне значений, колебания хаотичны. Этот аттрактор имеет некоторое сходство с аттрактором Лоренца, но он проще и имеет только одно многообразие . Отто Рёсслер разработал аттрактор Рёсслера в 1976 году ^[1] , но первоначально теоретические уравнения впоследствии оказались полезными при моделировании равновесия в химических реакциях. ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Определение

Определяющие уравнения системы Рёсслера: ^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}}$

Рёсслер изучал хаотический аттрактор с , , и , хотя свойства , , и с тех пор использовались чаще. Другая линия пространства параметров была исследована с использованием топологического анализа. Она соответствует , , и была выбрана в качестве параметра бифуркации. ^[5] То, как Рёсслер открыл этот набор уравнений, было исследовано Летелье и Мессаже. ^[6] ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle c=4}$ ${\displaystyle a}$

Анализ устойчивости

${\displaystyle x,y}$плоскость аттрактора Ресслера с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Элегантность аттрактора Рёсслера отчасти обусловлена ​​тем, что два его уравнения являются линейными; установка позволяет исследовать поведение на плоскости ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}}$

Устойчивость в плоскости затем может быть найдена путем вычисления собственных значений якобиана , которые равны . Из этого мы можем видеть, что при , собственные значения являются комплексными и оба имеют положительный действительный компонент, что делает начало координат неустойчивым с внешней спиралью на плоскости . Теперь рассмотрим поведение плоскости в контексте этого диапазона для . Так что пока меньше , член будет удерживать орбиту близкой к плоскости. По мере того как орбита приближается к большему , значения начинают расти. Однако по мере того как поднимается, в уравнении для останавливает рост в . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}$ ${\displaystyle 0<a<2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle x}$

Фиксированные точки

Для того чтобы найти неподвижные точки, три уравнения Ресслера устанавливаются в ноль, а координаты ( , , ) каждой неподвижной точки определяются путем решения полученных уравнений. Это дает общие уравнения каждой из координат неподвижной точки: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}$

Что, в свою очередь, можно использовать для отображения фактических фиксированных точек для заданного набора значений параметров:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Как показано на общих графиках аттрактора Рёсслера выше, одна из этих неподвижных точек находится в центре петли аттрактора, а другая лежит относительно далеко от аттрактора.

Собственные значения и собственные векторы

Устойчивость каждой из этих неподвижных точек можно проанализировать, определив их собственные значения и собственные векторы. Начиная с якобиана:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}$

собственные значения можно определить, решив следующее кубическое уравнение:

${\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}$

Для центрально расположенной фиксированной точки исходные значения параметров Ресслера a=0,2, b=0,2 и c=5,7 дают собственные значения:

${\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

Величина отрицательного собственного значения характеризует уровень притяжения вдоль соответствующего собственного вектора. Аналогично величина положительного собственного значения характеризует уровень отталкивания вдоль соответствующего собственного вектора.

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}$

Исследование центральных собственных векторов неподвижной точки: Синяя линия соответствует стандартному аттрактору Ресслера, созданному с помощью , , и . ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Аттрактор Рёсслера с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Эти собственные векторы имеют несколько интересных следствий. Во-первых, две пары собственных значений/собственных векторов ( и ) отвечают за устойчивое скольжение наружу, которое происходит в основном диске аттрактора. Последняя пара собственных значений/собственных векторов притягивает вдоль оси, которая проходит через центр многообразия, и учитывает движение z, которое происходит внутри аттрактора. Этот эффект примерно продемонстрирован на рисунке ниже. ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

На рисунке рассматриваются центральные собственные векторы неподвижной точки. Синяя линия соответствует стандартному аттрактору Рёсслера, сгенерированному с помощью , и . Красная точка в центре этого аттрактора — . Красная линия, пересекающая эту неподвижную точку, является иллюстрацией отталкивающей плоскости, сгенерированной и . Зеленая линия является иллюстрацией притягивающего . Пурпурная линия генерируется путем шага назад по времени от точки на притягивающем собственном векторе, которая находится немного выше — она иллюстрирует поведение точек, которые становятся полностью подчиненными этому вектору. Обратите внимание, что пурпурная линия почти касается плоскости аттрактора, прежде чем ее втягивает вверх в неподвижную точку; это говорит о том, что общий вид и поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени являются продуктом взаимодействия между притягивающей и отталкивающей плоскостями и . В частности, это означает, что последовательность, генерируемая из уравнений Рёсслера, начнет зацикливаться , начнет втягиваться вверх в вектор, создавая восходящую часть кривой, которая слегка изгибается внутрь по направлению к вектору, прежде чем снова вытолкнется наружу по мере ее притяжения к отталкивающей плоскости. ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$

Для фиксированной точки выброса исходные значения параметров Ресслера , и дают собственные значения: ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}$

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}$

Хотя эти собственные значения и собственные векторы существуют в аттракторе Рёсслера, их влияние ограничивается итерациями системы Рёсслера, начальные условия которых находятся в общей близости от этой выпадающей неподвижной точки. За исключением тех случаев, когда начальные условия лежат на притягивающей плоскости, созданной и , это влияние фактически включает в себя подталкивание результирующей системы к общему аттрактору Рёсслера. По мере того, как результирующая последовательность приближается к центральной неподвижной точке и самому аттрактору, влияние этой удаленной неподвижной точки (и ее собственных векторов) будет ослабевать. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Карта Пуанкаре

Карта Пуанкаре для аттрактора Рёсслера с , , ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$

Карта Пуанкаре строится путем построения графика значения функции каждый раз, когда она проходит через заданную плоскость в определенном направлении. Примером может служить построение графика значения каждый раз, когда она проходит через плоскость, где меняется с отрицательного на положительное, что обычно делается при изучении аттрактора Лоренца. В случае аттрактора Рёсслера плоскость неинтересна, так как карта всегда пересекает плоскость в из-за природы уравнений Рёсслера. В плоскости для , , , карта Пуанкаре показывает подъем значений по мере увеличения, как и следовало ожидать из-за подъема и поворотной части графика Рёсслера. Количество точек на этом конкретном графике Пуанкаре бесконечно, но при использовании другого значения количество точек может меняться. Например, при значении 4 на карте Пуанкаре будет только одна точка, поскольку функция даёт периодическую орбиту с периодом один, или, если значение равно 12,8, будет шесть точек, соответствующих орбите с периодом шесть. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x=0.1}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Карта Лоренца

Карта Лоренца — это отношение между последовательными максимумами координаты в траектории. Рассмотрим траекторию на аттракторе, и пусть будет n-м максимумом ее x-координаты. Тогда — диаграмма рассеяния — это почти кривая, то есть зная, что можно почти точно предсказать . ^[8] ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$

Карта Лоренца для аттрактора Ресслера с a = 0,2, b = 0,2, c = 5.

Картографирование локальных максимумов

${\displaystyle Z_{n}}$против. ${\displaystyle Z_{n+1}}$

В оригинальной статье об аттракторе Лоренца ^[9] Эдвард Лоренц проанализировал локальные максимумы по сравнению с непосредственно предшествующими локальными максимумами. При визуализации график напоминал карту палатки , подразумевая, что аналогичный анализ может быть использован между картой и аттрактором. Для аттрактора Рёсслера, когда локальный максимум наносится на график по отношению к следующему локальному максимуму, , результирующий график (показанный здесь для , , ) является унимодальным, напоминающим перекошенную карту Хенона . Зная, что аттрактор Рёсслера может быть использован для создания псевдо 1-мерной карты, затем следует использовать аналогичные методы анализа. Бифуркационная диаграмма является особенно полезным методом анализа. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Изменение параметров

Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени зависит от значений его постоянных параметров , и . В общем, изменение каждого параметра имеет сопоставимый эффект, заставляя систему сходиться к периодической орбите, неподвижной точке или уходить в бесконечность, однако конкретные диапазоны и вызванное поведение существенно различаются для каждого параметра. Периодические орбиты, или «единичные циклы», системы Рёсслера определяются числом петель вокруг центральной точки, которые возникают до того, как серия петель начинает повторяться. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Бифуркационные диаграммы являются распространенным инструментом для анализа поведения динамических систем , одним из которых является аттрактор Рёсслера. Они создаются путем запуска уравнений системы, удерживая все переменные, кроме одной, постоянными и изменяя последнюю. Затем строится график точек, которые посещает определенное значение измененной переменной после нейтрализации переходных факторов. Хаотические области обозначены заполненными областями графика.

Варьируя а

Здесь фиксируется на 0,2, фиксируется на 5,7 и изменяется. Численное исследование поведения аттрактора при изменении предполагает, что оно оказывает непропорциональное влияние на поведение аттрактора. Результаты анализа таковы: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle a\leq 0}$: Сходится к центрально расположенной фиксированной точке
• ${\displaystyle a=0.1}$: Единичный цикл периода 1
• ${\displaystyle a=0.2}$: Стандартное значение параметра, выбранное Рёсслером, хаотичное
• ${\displaystyle a=0.3}$: Хаотический аттрактор, значительно более похожий на ленту Мёбиуса (складывающуюся сама на себя).
• ${\displaystyle a=0.35}$: Похоже на .3, но более хаотично
• ${\displaystyle a=0.38}$: Похож на .35, но более хаотичный.

Варьируется б

Бифуркационная диаграмма для аттрактора Рёсслера для различных ${\displaystyle b}$

Здесь, фиксируется на 0,2, фиксируется на 5,7 и изменяется. Как показано на прилагаемой диаграмме, по мере приближения к 0 аттрактор стремится к бесконечности (обратите внимание на подъем для очень малых значений ). По сравнению с другими параметрами, варьирование создает больший диапазон, когда будут возникать орбиты периода 3 и периода 6. В отличие от и , более высокие значения сходятся к периоду 1, а не к хаотическому состоянию. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

Варьируется c

Бифуркационная диаграмма для аттрактора Рёсслера для различных ${\displaystyle c}$

Здесь и изменяется. Бифуркационная диаграмма показывает, что низкие значения являются периодическими, но быстро становятся хаотичными по мере увеличения. Эта закономерность повторяется по мере увеличения — есть участки периодичности, перемежающиеся периодами хаоса, и тенденция направлена ​​к орбитам с более высокими периодами по мере увеличения. Например, орбита периода один появляется только для значений около 4 и никогда больше не встречается на бифуркационной диаграмме. То же явление наблюдается с периодом три; до тех пор , пока можно найти орбиты периода три, но после этого они не появляются. ${\displaystyle a=b=0.1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=12}$

Графическая иллюстрация изменения аттрактора в диапазоне значений иллюстрирует общее поведение, наблюдаемое для всех этих анализов параметров — частые переходы между периодичностью и апериодичностью. ${\displaystyle c}$

Варьируется c

Вышеприведенный набор изображений иллюстрирует изменения в постпереходной системе Ресслера, которые изменяются в диапазоне значений. Эти изображения были созданы с помощью . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=b=.1}$

• ${\displaystyle c=4}$, орбита с периодом 1.
• ${\displaystyle c=6}$, орбита периода 2.
• ${\displaystyle c=8.5}$, орбита периода 4.
• ${\displaystyle c=8.7}$, орбита периода 8.
• ${\displaystyle c=9}$, разреженный хаотический аттрактор.
• ${\displaystyle c=12}$, орбита периода 3.
• ${\displaystyle c=12.6}$, орбита периода 6.
• ${\displaystyle c=13}$, разреженный хаотический аттрактор.
• ${\displaystyle c=15.4}$, орбита периода 5.
• ${\displaystyle c=18}$, заполненный хаотический аттрактор.

Периодические орбиты

Аттрактор плотно заполнен периодическими орбитами : решениями, для которых существует ненулевое значение такое, что . Эти интересные решения можно численно вывести с помощью метода Ньютона . Периодические орбиты являются корнями функции , где — эволюция по времени , а — тождество. Поскольку большая часть динамики происходит в плоскости xy, периодические орбиты можно затем классифицировать по их числу витков вокруг центрального равновесия после проекции. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle \Phi _{t}-Id}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Id}$

Таблица периодических орбит по числу витков k

Время не в масштабе. Были использованы исходные параметры (a,b,c) = (0.2,0.2,5.7).

Из численных экспериментов следует, что существует уникальная периодическая орбита для всех положительных чисел обмотки. Это отсутствие вырожденности, вероятно, происходит из-за отсутствия симметрии в задаче. Аттрактор можно разбить на более простые для понимания инвариантные многообразия : одномерные периодические орбиты и двумерные устойчивые и неустойчивые многообразия периодических орбит. Эти инвариантные многообразия являются естественным скелетом аттрактора, так же как рациональные числа являются скелетом действительных чисел .

Для целей теории динамических систем , можно было бы заинтересоваться топологическими инвариантами этих многообразий. Периодические орбиты являются копиями вложенных в , поэтому их топологические свойства можно понять с помощью теории узлов . Периодические орбиты с числами намотки 1 и 2 образуют зацепление Хопфа , показывая, что никакой диффеоморфизм не может разделить эти орбиты. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ссылки на другие темы

Очевидная полосатость в аттракторе Рёсслера похожа на множество Кантора , вращающееся вокруг своей средней точки. Кроме того, полуповорот, который происходит в аттракторе Рёсслера, влияет только на часть аттрактора. Рёсслер показал, что его аттрактор на самом деле является комбинацией «нормальной ленты» и ленты Мёбиуса . ^[10]

Ссылки

1. Рёсслер, OE (1976), "Уравнение для непрерывного хаоса", Physics Letters , 57A (5): 397–398, Bibcode : 1976PhLA...57..397R, doi : 10.1016/0375-9601(76)90101-8.
2. Рёсслер, OE (1979), «Уравнение для гиперхаоса», Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Bibcode : 1979PhLA...71..155R, doi : 10.1016/0375-9601(79)90150-6.
3. Пейтген, Хайнц-Отто ; Юргенс, Хартмут ; Саупе, Дитмар (2004), «12.3 Аттрактор Ресслера», Хаос и фракталы: новые рубежи науки , Springer, стр. 636–646..
4. Рёсслер, Отто Э. (1 июля 1983). «Хаотическая иерархия». Zeitschrift für Naturforschung A. 38 (7): 788–801. дои : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN  1865-7109.
5. Летелье, К.; П. Дютертр; Б. Мае (1995). «Неустойчивые периодические орбиты и шаблоны системы Рёсслера: к систематической топологической характеристике». Хаос . 5 (1): 272–281. Bibcode :1995Chaos...5..271L. doi : 10.1063/1.166076 . PMID  12780181.
6. Летелье, К.; В. Мессаже (2010). «Влияния на раннюю работу Отто Э. Рёсслера о хаосе». Международный журнал бифуркации и хаоса . 20 (11): 3585–3616. Bibcode : 2010IJBC...20.3585L. doi : 10.1142/s0218127410027854.
7. Мартинес-Арано, Х.; Гарсия-Перес, Б. Э.; Видалес-Уртадо, М. А.; Трехо-Вальдес, М.; Эрнандес-Гомес, Л. Х.; Торрес-Торрес, К. (2019). «Хаотические сигнатуры, проявляемые плазмонными эффектами в наночастицах золота с ячейками». Датчики . 19 (21): 4728. Bibcode : 2019Senso..19.4728M . doi : 10.3390/s19214728 . PMC 6864870. PMID  31683534. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Олсен, Ларс Фолке; Дегн, Ханс (май 1985). «Хаос в биологических системах». Quarterly Reviews of Biophysics . 18 (2): 165–225. doi :10.1017/S0033583500005175. ISSN  1469-8994. PMID  3912797.
9. Лоренц, EN (1963), "Детерминированный непериодический поток", J. Atmos. Sci. , 20 (2): 130–141, Bibcode :1963JAtS...20..130L, doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
10. Рёсслер, Отто Э. (1976). «Хаотическое поведение в простой реакционной системе». Zeitschrift für Naturforschung A. 31 (3–4): 259–264. Бибкод : 1976ZNatA..31..259R. дои : 10.1515/zna-1976-3-408 .

Внешние ссылки

• Флэш-анимация с использованием PovRay
• Аттракторы Лоренца и Рёсслера Архивировано 11.03.2008 в Португальском веб-архиве – Java-анимация
• 3D Attractors: программа для Mac для визуализации и исследования аттракторов Ресслера и Лоренца в трех измерениях
• Аттрактор Ресслера в Scholarpedia
• Аттрактор Рёсслера: численный интерактивный эксперимент в 3D - experiences.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)