Сверхъестественное число

Диаграмма Хассе решетки сверхнатуральных чисел; простые числа , отличные от 2 и 3, для простоты опущены.

В математике сверхнатуральные числа , иногда называемые обобщёнными натуральными числами или числами Штейница , являются обобщением натуральных чисел . Они были использованы Эрнстом Штейницем ^{[1] : 249–251} в 1910 году как часть его работы по теории поля .

Сверхнатуральное число — это формальное произведение : ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$

где пробегает все простые числа , и каждое из них равно нулю, натуральному числу или бесконечности . Иногда используется вместо . Если нет и есть только конечное число ненулевых, то мы восстанавливаем положительные целые числа. Немного менее интуитивно, если все равны , мы получаем ноль. ^{[ необходима цитата ]} Сверхнатуральные числа выходят за рамки натуральных чисел, допуская возможность бесконечного числа простых множителей и позволяя любому заданному простому числу делиться «бесконечно часто», принимая соответствующий показатель степени этого простого числа за символ . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle v_{p}(\omega )}$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{p}=\infty }$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$

Нет естественного способа складывать сверхнатуральные числа, но их можно умножать, с . Аналогично, понятие делимости распространяется на сверхнатуральные числа с , если для всех . Понятие наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя также можно обобщить для сверхнатуральных чисел, определив ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$ ${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$

и

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$.

С этими определениями gcd или lcm бесконечного множества натуральных чисел (или сверхнатуральных чисел) является сверхнатуральным числом. Мы также можем расширить обычные функции -адического порядка до сверхнатуральных чисел, определив для каждого . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Сверхъестественные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп и подгрупп, в этом случае многие теоремы теории конечных групп переносятся точно. Они используются для кодирования алгебраических расширений конечного поля . ^[2]

Сверхнатуральные числа возникают также при классификации равномерно гиперконечных алгебр .

Смотрите также

• Проконечное целое число

Ссылки

1. Стейниц, Эрнст (1910). «Алгебраическая теория Корпера». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 137 : 167–309. ISSN  0075-4102. ЖФМ  41.0445.03.
2. Броули и Шниббен (1989) стр.25-26

• Броули, Джоэл В.; Шниббен, Джордж Э. (1989). Бесконечные алгебраические расширения конечных полей . Contemporary Mathematics. Т. 95. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2. Збл  0674.12009.
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и теория Милнора K. Математические обзоры и монографии. Т. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 125. ISBN 0-8218-4041-X. Збл  1103.12002.
• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 520. ИСБН 978-3-540-77269-9. Збл  1145.12001.

Внешние ссылки

• Планета Математика: Сверхъестественное число