Своп отклонений

Своп на отклонения — это внебиржевой финансовый производный инструмент , который позволяет спекулировать или хеджировать риски , связанные с величиной движения, то есть волатильностью , некоторого базового продукта, такого как обменный курс , процентная ставка или фондовый индекс .

Одна часть свопа будет выплачивать сумму, основанную на реализованной дисперсии изменений цены базового продукта. Обычно эти изменения цен будут представлять собой ежедневную прибыль , основанную на наиболее часто используемой цене закрытия. Другая часть свопа будет выплачивать фиксированную сумму, которая представляет собой страйк , указанную при заключении сделки. Таким образом, чистая выплата контрагентам будет представлять собой разницу между этими двумя значениями и будет рассчитываться денежными средствами по истечении срока сделки, хотя некоторые денежные выплаты, вероятно, будут производиться по ходу дела одним или другим контрагентом для поддержания согласованной маржи .

Структура и особенности

К особенностям дисперсионного свопа относятся:

• дисперсионный страйк
• реализованная дисперсия
• условный вега : как и в других свопах , выигрыш определяется на основе условной суммы , которая никогда не обменивается. Однако в случае свопа отклонений условная сумма указывается в вегах , чтобы преобразовать выигрыш в долларовое выражение.

Выигрыш от дисперсионного свопа определяется следующим образом:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})}$

где:

• ${\displaystyle N_{\operatorname {var} }}$= условная дисперсия (она же единицы дисперсии),
• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}}$= годовая реализованная дисперсия, и
• ${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}}$= забастовка отклонения. ^[1]

Годовая реализованная дисперсия рассчитывается на основе заранее определенного набора точек отбора проб за период. Оно не всегда совпадает с классическим статистическим определением дисперсии, поскольку условия контракта не могут вычитать среднее значение. Например, предположим, что наблюдаются цены, где для to . Определите естественный логарифмический доход. Затем ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}$

где – коэффициент пересчета на год, обычно выбираемый приблизительно равным количеству точек отбора проб в год (обычно 252), и устанавливается как срок действия контракта свопа, определяемый числом . Видно, что вычитание средней доходности уменьшит реализованную дисперсию. Если это сделано, то в качестве делителя обычно используется вместо , что соответствует несмещенной оценке выборочной дисперсии. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n/A}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Рыночная практика определяет количество договорных единиц следующим образом:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }={\frac {N_{\text{vol}}}{2\sigma _{\text{strike}}}}}$

где – соответствующий номинал веги для волатильного свопа . ^[1] Это делает выигрыш от дисперсионного свопа сравнимым с выигрышем от свопа на волатильность , еще одного менее популярного инструмента, используемого для торговли волатильностью. ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

Ценообразование и оценка

Своп отклонений может быть хеджирован и, следовательно, оценен с использованием портфеля европейских опционов колл и пут с весами, обратно пропорциональными квадрату страйка. ^{[2] [3]}

Таким образом, для оценки дисперсионного свопа можно использовать любую модель улыбки волатильности , которая оценивает ванильные опционы . Например, используя модель Хестона , можно получить решение в закрытой форме для ставки свопа справедливой дисперсии. Необходимо внимательно относиться к поведению модели улыбки за кулисами, так как это может оказать непропорциональное влияние на цену.

Мы можем получить выигрыш от свопа дисперсии, используя лемму Ито . Сначала мы предполагаем, что базовая акция описывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

Применяя формулу Ито, получаем:

${\displaystyle d(\log S_{t})=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \right)\,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ -d(\log S_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ dt}$

Если взять интегралы, то общая дисперсия составит:

${\displaystyle {\text{Variance}}={\frac {1}{T}}\ \int \limits _{0}^{T}\sigma ^{2}\,dt\ ={\frac {2}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{T}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ \ -\ln \left({\frac {S_{T}}{S_{0}}}\ \right)\right)}$

Мы видим, что общая дисперсия состоит из ребалансированного хеджирования и короткого контракта. Используя аргумент статической репликации , ^[4] т.е. любой дважды непрерывно дифференцируемый контракт может быть реплицирован с использованием облигации, фьючерса и бесконечного числа опционов «пут» и «колл», мы можем показать, что позиция по короткому лог-контракту равна короткой позиции по фьючерсному контракту и коллекция путов и коллов: ${\displaystyle {\frac {1}{S_{t}}}\ }$

${\displaystyle -\ln \left({\frac {S_{T}}{S^{*}}}\ \right)=-{\frac {S_{T}-S^{*}}{S^{*}}}\ +\int \limits _{K\leq S^{*}}(K-S_{T})^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ +\int \limits _{K\geq S^{*}}(S_{T}-K)^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ }$

Взяв ожидания и установив значение свопа отклонений равным нулю, мы можем изменить формулу для расчета справедливого свопа дисперсии:

${\displaystyle K_{\text{var}}={\frac {2}{T}}\ \left(rT-\left({\frac {S_{0}}{S^{*}}}\ e^{rT}-1\right)-\ln \left({\frac {S^{*}}{S_{0}}}\ \right)+e^{rT}\int \limits _{0}^{S^{*}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+e^{rT}\int \limits _{S^{*}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}C(K)\,dK\right)}$

где:

${\displaystyle S_{0}}$— начальная цена базовой ценной бумаги,

${\displaystyle S^{*}>0}$является произвольным отсечением,

${\displaystyle K}$— это страйк каждого варианта в коллекции используемых вариантов.

Часто в качестве точки отсечения выбирается текущая форвардная цена , и в этом случае страйк свопа справедливой дисперсии можно записать в более простой форме: ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=F_{0}=S_{0}e^{rT}}$

${\displaystyle K_{var}={\frac {2e^{rT}}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{F_{0}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+\int \limits _{F_{0}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}\ C(K)\,dK\right)}$

Аналитическое ценообразование свопов отклонений с дискретной выборкой

Можно было бы счесть дискретную выборку реализованной дисперсии, как было определено ранее, более практичной для оценки удара дисперсии, поскольку в действительности мы можем наблюдать базовую цену только дискретно во времени. Это еще более убедительно, поскольку существует утверждение, вероятность которого сходится к фактическому по мере увеличения количества наблюдений за ценой. ^[5] ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$

Предположим, что в нейтральном к риску мире с мартингальной мерой цена базового актива решает следующую SDE: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

где:

• ${\displaystyle T}$устанавливает дату истечения срока действия своп-контракта,
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$(зависящая от времени) безрисковая процентная ставка,
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$(зависит от времени) волатильность цен, и
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$– броуновское движение в фильтрованном вероятностном пространстве, где – естественная фильтрация . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle W}$

Учитывая, как определено выше, выигрыш по истечении срока действия свопов отклонений, тогда его ожидаемое значение в момент времени , обозначенное как ${\displaystyle (\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})\times N_{\text{var}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{var}}.}$

Чтобы избежать возможности арбитража, заключение своп-контракта не должно взимать никаких затрат, то есть они равны нулю. Таким образом, ценность справедливого отклонения просто выражается формулой ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

который еще предстоит вычислить либо путем нахождения его формулы в замкнутой форме, либо с использованием численных методов, таких как методы Монте-Карло.

Использование

Многие трейдеры находят дисперсионные свопы интересными или полезными из-за их чистоты. Альтернативный способ спекуляции на волатильности — это опцион , но если вас интересует только риск волатильности, эта стратегия потребует постоянного дельта-хеджирования , так что риск направления базовой ценной бумаги будет примерно устранен. Более того, для репликации портфеля дисперсионного свопа потребуется целая полоса опционов, реализация которых будет очень дорогостоящей. Наконец, часто можно обнаружить необходимость регулярно переворачивать всю эту полосу опционов, чтобы она оставалась сосредоточенной на текущей цене базовой ценной бумаги .

Преимущество дисперсионных свопов заключается в том, что они обеспечивают чистую подверженность волатильности базовой цены, в отличие от опционов колл и пут, которые могут нести направленный риск (дельта). Прибыль и убытки от дисперсионного свопа напрямую зависят от разницы между реализованной и подразумеваемой волатильностью . ^[6]

Еще один аспект, который может показаться интересным некоторым спекулянтам, заключается в том, что котируемый страйк определяется предполагаемой волатильностью на рынке опционов, тогда как конечная выплата будет основана на фактической реализованной дисперсии. Исторически сложилось так, что подразумеваемая дисперсия превышала реализованную дисперсию, ^[7] явление, известное как премия за риск отклонения , создающее возможность для арбитража волатильности , в данном случае известного как скользящая короткая дисперсионная сделка. По той же причине эти свопы можно использовать для хеджирования опционов от реализованной дисперсии .

Связанные инструменты

Тесно связанные стратегии включают стрэддл , своп волатильности , корреляционный своп , гамма-своп, своп условной дисперсии , своп коридорной дисперсии , своп форвардной дисперсии, опцион на реализованную дисперсию и корреляционную торговлю .

Рекомендации

1. «Свопы дисперсии и волатильности». Корпорация FinancialCAD. Архивировано из оригинала 30 июня 2008 г. Проверено 29 сентября 2009 г.
2. Деметрефи, Дерман, Камаль, Зу (1999). «Больше, чем вы когда-либо хотели знать о волатильных свопах» (PDF) . Аналитические заметки по количественным стратегиям Goldman Sachs. Архивировано из оригинала (PDF) 6 сентября 2015 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Боссу, Штрассер, Гишар (2005). «Именно то, что вам нужно знать о свопах дисперсий» (PDF) . Отчет JPMorgan по деривативам на акции. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Карр, Мадан (1998). «К теории торговли волатильностью» (PDF) . В книге «Волатильность: новые методы оценки цен на деривативы», Р. Джарроу (ред.), RISK Publications, Лондон. Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2016 г.
5. Барндорф-Нильсен, Оле Э .; Шепард, Нил (май 2002 г.). «Эконометрический анализ реализованной волатильности и его использование при оценке моделей стохастической волатильности». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 64 (2): 253–280. дои : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID  122716443.
6. Кернатт, Дин (февраль 2000 г.). «Искусство свопа дисперсий». Стратегия деривативов. Архивировано из оригинала 7 августа 2009 г. Проверено 29 сентября 2008 г.
7. Карр, Питер; Ву, Люрен (2007). «Премия за риск отклонения». Встречи AFA 2005 в Филадельфии. дои : 10.2139/ssrn.577222. S2CID  13891424. SSRN  577222 . Проверено 7 июля 2020 г. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )