линия Симсона

Линия, построенная из треугольника

Прямая Симсона LN (красная) треугольника ABC относительно точки P на описанной окружности

В геометрии , если задан треугольник ABC и точка P на его описанной окружности , три ближайшие к P точки на прямых AB , AC и BC лежат на одной прямой . ^[1] Прямая, проходящая через эти точки, является линией Симсона треугольника P , названной в честь Роберта Симсона . ^[2] Однако эта концепция была впервые опубликована Уильямом Уоллесом в 1799 году ^[3] и иногда называется линией Уоллеса . ^[4]

Обратное также верно; если три ближайшие к P точки на трех прямых лежат на одной прямой, и никакие две из прямых не параллельны, то P лежит на описанной окружности треугольника, образованного тремя прямыми. Или, другими словами, линия Симсона треугольника ABC и точки P — это просто педальный треугольник ABC и P , который выродился в прямую линию, и это условие ограничивает геометрическое место точек P так , чтобы оно описывало описанную окружность треугольника ABC .

Уравнение

Помещая треугольник в комплексную плоскость, пусть треугольник ABC с единичной описанной окружностью имеет вершины, местоположения которых имеют комплексные координаты a , b , c , и пусть P с комплексными координатами p будет точкой на описанной окружности. Линия Симсона — это множество точек z , удовлетворяющих ^{[5] : Предложение 4}

${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,}$

где черта сверху обозначает комплексное сопряжение .

Характеристики

Линии Симсона (красные) являются касательными к дельтоиду Штейнера (синие).

• Линия Симсона вершины треугольника — это высота треугольника, опущенная из этой вершины, а линия Симсона точки, диаметрально противоположной вершине, — это сторона треугольника, противоположная этой вершине.
• Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ . В частности, если точки диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае пересечение прямых лежит на окружности девяти точек .
• Обозначим через H ортоцентр треугольника ABC , тогда линия Симсона треугольника P делит пополам отрезок PH в точке, лежащей на окружности девяти точек .
• Если даны два треугольника с одной и той же описанной окружностью, то угол между линиями Симсона точки P на описанной окружности для обоих треугольников не зависит от P.
• Совокупность всех линий Симсона при нанесении образует огибающую в форме дельтоида, известную как дельтоид Штейнера опорного треугольника.
• Построение линии Симсона, совпадающей со стороной опорного треугольника (см. первое свойство выше), дает нетривиальную точку на этой боковой линии. Эта точка является отражением основания высоты (опущенной на боковую линию) относительно середины строящейся боковой линии. Более того, эта точка является точкой касания между стороной опорного треугольника и его дельтоидой Штейнера.
• Четырехугольник , не являющийся параллелограммом, имеет одну и только одну точку опоры, называемую точкой Симсона, относительно которой ноги четырехугольника лежат на одной прямой. ^[6] Точка Симсона трапеции — это точка пересечения двух непараллельных сторон. ^{[7] : стр. 186}
• Ни один выпуклый многоугольник с числом сторон не менее 5 не имеет линии Симсона. ^[8]

Доказательство существования

Достаточно показать, что . ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=180^{\circ }}$

${\displaystyle PCAB}$является вписанным четырехугольником, поэтому . является вписанным четырехугольником (так как ), поэтому . Следовательно . Теперь является вписанным, поэтому . ${\displaystyle \angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle PMNB}$ ${\displaystyle \angle PMB=\angle PNB=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle NMP=\angle ACP}$ ${\displaystyle PLCM}$ ${\displaystyle \angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP}$

Поэтому . ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }}$

Обобщения

Обобщение 1

Проекции Ap, Bp, Cp на BC, CA, AB представляют собой три коллинеарные точки.

• Пусть ABC — треугольник, пусть прямая ℓ проходит через центр описанной окружности O , и пусть точка P лежит на описанной окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают ℓ в точках Ap , B _p , C _p соответственно. Пусть A ₀ , B ₀ , C ₀ — проекции Ap _, B _p , C _p на BC, CA, AB соответственно. Тогда A ₀ , B ₀ , C ₀ коллинеарны. Более того, новая прямая проходит через середину PH , где H — ортоцентр Δ ABC . Если ℓ проходит через _P , прямая совпадает с прямой Симсона. ^{[9] [10] [11]}

Проективная версия линии Симсона

Обобщение 2

• Пусть вершины треугольника ABC лежат на конике Γ, и пусть Q, P — две точки на плоскости. Пусть PA, PB, PC пересекают конику в точках A ₁ , B ₁ , C ₁ соответственно. QA ₁ пересекает BC в точке A ₂ , QB ₁ пересекает AC в точке B ₂ , а QC ₁ пересекает AB в точке C ₂ . Тогда четыре точки A ₂ , B ₂ , C ₂ и P являются коллинеарными, если только Q лежит на конике Γ. ^[12]

Обобщение 3

• РФ Систер обобщил теорему на вписанные четырехугольники в книге «Линии Симсона вписанного четырехугольника».

Смотрите также

• Педальный треугольник
• Роберт Симсон

Ссылки

1. Х. С. М. Коксетер и С. Л. Грейтцер, «Пересмотр геометрии », Математическая ассоциация Америки, 1967: стр. 41.
2. "История Гибсона 7 - Роберт Симсон". Архив истории математики MacTutor . 2008-01-30.
3. "Уильям Уоллес". Архив истории математики Мактьютора .
4. Клоусон, Дж. У. (1919). «Теорема в геометрии треугольника». The American Mathematical Monthly . 26 (2): 59–62. JSTOR  2973140.
5. Тодор Захаринов, «Треугольник Симсона и его свойства», Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
6. Даниэла Феррарелло, Мария Флавия Маммана и Марио Пенниси, «Многоугольники педалей», Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Теорема 4.
7. Ольга Радько и Эммануэль Цукерман, «Построение перпендикуляра к биссектрисе, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника», Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
8. Цукерман, Эммануэль (2013). «О многоугольниках, допускающих линию Симсона как дискретные аналоги парабол» (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 197–208.
9. "Обобщение линии Симсона". Cut-the-knot. Апрель 2015.
10. Нгуен Ван Линь (2016), «Еще одно синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямой» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 57–61
11. Нгуен Ле Фуок и Нгуен Чуонг Чи (2016). 100.24 Синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямой. The Mathematical Gazette, 100, стр. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette
12. Смит, Джефф (2015), «99.20 Проективная линия Симсона», The Mathematical Gazette , 99 (545): 339–341, doi :10.1017/mag.2015.47, S2CID  124965348

Внешние ссылки

• Simson Line на cut-the-knot .org
• Ф. М. Джексон и Вайсштейн, Эрик В. «Линия Симсона». MathWorld .
• Обобщение теоремы Нойберга и линии Симсона-Уоллеса в Dynamic Geometry Sketches, интерактивном очерке по динамической геометрии.
• Линия Симсона на geogebra.org (интерактивная иллюстрация)
• Линия Симсона в Интерактивной геометрии