Единицы Хевисайда–Лоренца

Единицы Хевисайда–Лоренца (или единицы Лоренца–Хевисайда ) представляют собой систему единиц и величин, которая расширяет СГС с помощью определенного набора уравнений, определяющих электромагнитные величины, названные в честь Оливера Хевисайда и Хендрика Антона Лоренца . Они разделяют с системой СГС-Гаусса то, что электрическая постоянная ε ₀ и магнитная постоянная µ ₀ не появляются в определяющих уравнениях для электромагнетизма, будучи неявно включенными в электромагнитные величины. Единицы Хевисайда–Лоренца можно рассматривать как нормализующие ε ₀ = 1 и µ ₀ = 1 , в то же время пересматривая уравнения Максвелла, чтобы вместо них использовать скорость света c . ^[1]

Система единиц Хевисайда–Лоренца, как и Международная система величин , на которой основана система СИ , но в отличие от системы СГС-Гаусс , рационализирована , в результате чего в уравнениях Максвелла явно не появляются множители 4 π . ^[2] То, что эта система рационализирована, отчасти объясняет ее привлекательность в квантовой теории поля : лагранжиан, лежащий в основе теории, не имеет никаких множителей 4 π при использовании этой системы. ^[3] Следовательно, электромагнитные величины в системе Хевисайда–Лоренца отличаются на множители √ 4 π в определениях электрического и магнитного полей и электрического заряда . Она часто используется в релятивистских расчетах, ^{[примечание 1]} и применяется в физике элементарных частиц . Они особенно удобны при выполнении расчетов в пространственных измерениях больше трех, таких как в теории струн .

Мотивация

В середине-конце XIX века электромагнитные измерения часто проводились либо в так называемых электростатических (ЭСУ), либо в электромагнитных (ЭМУ) системах единиц. Они основывались соответственно на законах Кулона и Ампера. Использование этих систем, как и впоследствии разработанных гауссовых единиц СГС, привело к появлению многих множителей 4π в формулах для электромагнитных результатов, включая те, которые не имели какой - либо круговой или сферической симметрии.

Например, в системе СГС-Гаусса емкость сферы радиусом r равна r , а емкость плоского конденсатора равна ⁠А/4 πd⁠ , гдеA— площадь меньшей пластины, аd— их разделение.

Хевисайд , который был важным, хотя и несколько изолированным, ^{[ требуется ссылка ]} ранним теоретиком электромагнетизма, предположил в 1882 году, что иррациональное появление 4π в такого рода отношениях можно устранить, переопределив единицы для зарядов и полей. ^{[4] [5]} В своей книге 1893 года «Теория электромагнитных полей» [ ^6] Хевисайд писал во введении :

Не так давно считалось само собой разумеющимся, что общепринятые электрические единицы верны. Эта любопытная и навязчивая константа 4π некоторыми считалась своего рода благословенным промыслом, без которого вся электрическая теория рассыпалась бы на куски. Я считаю, что эта точка зрения сейчас почти исчезла, и что общепризнанно, что 4π было неудачной и вредной ошибкой , источником многих зол.

Говоря простым языком, общая система электрических единиц подразумевает иррациональность того же рода, которая была бы внесена в метрическую систему весов и мер, если бы мы определили единичную площадь как площадь не квадрата со стороной единица, а круга с диаметром единица. Постоянная π тогда бы навязала себя в площади прямоугольника, и везде, где ее не должно быть, и стала бы источником большой путаницы и неудобств. Так же и в общих электрических единицах, которые действительно иррациональны.

Итак, совершать ошибки легко и естественно для человека. Но этого недостаточно. Следующее, что нужно сделать, — это исправить ее: если ошибка уже совершена, нет необходимости повторять ее вечно и вечно с накапливающимися неудобствами. — Оливер Хевисайд (1893) ^[6]

Рамка «длина–масса–время»

Как и в системе Гаусса ( G ), система Хевисайда–Лоренца ( HL ) использует измерения длина–масса–время . Это означает, что все единицы электрических и магнитных величин выражаются через единицы основных величин длины, времени и массы.

Уравнение Кулона, используемое для определения заряда в этих системах, имеет вид F = q^Г
₁д^Г
₂/ r ² в гауссовой системе, а F = q^ГЛ
₁д^ХЛ
₂/ (4 πr ² ) в системе HL. Единица заряда тогда связана с 1 дин⋅см ² = 1 статС ² = 4 π HLC ² , где «HLC» — единица заряда HL. Величина HL q ^HL, описывающая заряд, тогда в √ 4 π раз больше соответствующей гауссовой величины. Имеются сопоставимые соотношения для других электромагнитных величин (см. ниже).

Обычно используемый набор единиц называется СИ , который определяет две константы, диэлектрическую проницаемость вакуума ( ε0 ₎ и магнитную проницаемость вакуума ( μ0 ). Их можно использовать для преобразования единиц СИ в соответствующие им значения Хевисайда-Лоренца, как подробно описано ниже. Например, заряд СИ равен √ε0L3M ^/ T2 . Если положить ε0 = 8,854 _пФ /м , _{L =} 1 см , M = 1 г и ^T ₌ 1 с , это будет9,409 669 × 10 ⁻¹¹  Кл , эквивалент единицы заряда Хевисайда–Лоренца в системе СИ.

Сравнение системы Хевисайда–Лоренца с другими системами единиц

В этом разделе приведен список основных формул электромагнетизма, приведенных в системах СИ, Хевисайда–Лоренца и Гаусса. Здесь E и D — электрическое поле и поле смещения соответственно, B и H — магнитные поля , P — плотность поляризации , M — намагниченность , ρ — плотность заряда , J — плотность тока , c — скорость света в вакууме, ϕ — электрический потенциал , A — магнитный векторный потенциал , F — сила Лоренца, действующая на тело с зарядом q и скоростью v , ε — диэлектрическая проницаемость , χ _e — электрическая восприимчивость , μ — магнитная проницаемость , χ _m — магнитная восприимчивость .

Уравнения Максвелла

Электрические и магнитные поля можно записать через потенциалы A и ϕ . Определение магнитного поля через A , B = ∇ × A , одинаково во всех системах единиц, но электрическое поле находится в системе СИ, но в системе HL или гауссовой системе. ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Другие основные законы

Диэлектрические и магнитные материалы

Ниже приведены выражения для макроскопических полей , и в материальной среде. Для простоты здесь предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсионна, так что восприимчивости являются константами . ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Обратите внимание, что величины , и безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, электрическая восприимчивость безразмерна во всех системах, но имеет разные числовые значения для одного и того же материала: Те же утверждения применимы и к соответствующим магнитным величинам. ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {HL}}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\textsf {G}}}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$ $${\displaystyle \chi _{\text{e}}^{\textsf {SI}}=\chi _{\text{e}}^{\textsf {HL}}=4\pi \chi _{\text{e}}^{\textsf {G}}}$$

Преимущества и недостатки единиц Хевисайда–Лоренца

Преимущества

• Формулы выше явно проще в единицах HL по сравнению с единицами SI или гауссовыми единицами. Как предложил Хевисайд, удаление 4 π из закона Гаусса и помещение его в закон Силы значительно сокращает количество мест, где появляется π по сравнению с гауссовыми единицами CGS.
• Удаление явного 4 π из закона Гаусса делает ясным, что закон обратных квадратов силы возникает из-за распространения поля E по поверхности сферы. Это допускает прямое расширение на другие измерения. Например, случай длинных параллельных проводов, простирающихся прямо в направлении z , можно считать двумерной системой. Другой пример — теория струн, где часто необходимо рассматривать более трех пространственных измерений.
• Уравнения не содержат констант ε ₀ и μ ₀ , которые присутствуют в системе СИ. (Кроме того, ε ₀ и μ ₀ переопределены, поскольку ε ₀ μ ₀ = 1 / c ²    .)

Приведенные ниже пункты верны как в системе Хевисайда–Лоренца, так и в системе Гаусса, но не в системе СИ.

• Электрические и магнитные поля E и B имеют одинаковые размерности в системе Хевисайда–Лоренца, что означает, что легко вспомнить, где находятся множители c в уравнении Максвелла. Каждая производная по времени идет с 1  / c  , что делает ее размерно такой же, как и пространственная производная. Напротив, в единицах СИ [ E ] / [ B ] равно [ c ] .
• Придание полям E и B одинаковой размерности делает сборку в электромагнитный тензор более прозрачной. Нет никаких факторов c , которые нужно вставлять при сборке тензора из трехмерных полей. Аналогично, ϕ и A имеют одинаковые размерности и являются четырьмя компонентами 4-потенциала.
• Поля D , H , P и M также имеют те же размерности, что и E и B. Для вакуума любое выражение, включающее D , можно просто переписать как то же самое выражение с E. В единицах СИ D и P имеют те же единицы, что и H и M , но они имеют разные единицы друг от друга и от E и B.

Недостатки

• Несмотря на призывы Хевисайда, убедить людей отказаться от устоявшихся единиц оказалось сложно. Он считал, что если единицы будут изменены, «старые приборы очень скоро окажутся в меньшинстве, а затем исчезнут...». ^[6] Убедить людей перейти на новые было сложно уже в 1893 году, а за это время было напечатано более ста дополнительных учебников и построено вольтметров.
• Единицы Хевисайда-Лоренца, как и гауссовы единицы СГС, которые обычно отличаются примерно в 3,5 раза, часто имеют довольно неудобные размеры. Ампер (кулон/секунда) является разумной единицей для измерения токов, которые обычно встречаются, но ESU/s, как показано выше, слишком мала. Гауссова единица СГС электрического потенциала называется статвольт. Она составляет около300 В , значение, которое больше, чем большинство обычно встречающихся потенциалов. Генри, единица СИ для индуктивности , уже слишком велика по сравнению с большинством индукторов; гауссова единица на 12 порядков больше.
• Некоторые единицы гауссовой системы СГС имеют названия; среди единиц Хевисайда–Лоренца их нет.

Учебники по теоретической физике используют почти исключительно единицы Хевисайда–Лоренца, часто в их естественной форме (см. ниже), концептуальная простота и компактность системы HL значительно проясняют обсуждения, и при необходимости можно преобразовать полученные ответы в соответствующие единицы постфактум, вставив соответствующие множители c и ε ₀ . Некоторые учебники по классическому электричеству и магнетизму были написаны с использованием гауссовых единиц СГС, но недавно некоторые из них были переписаны для использования единиц СИ. ^{[примечание 2]} За пределами этих контекстов, включая, например, журнальные статьи об электрических цепях, единицы Хевисайда–Лоренца и гауссовы СГС встречаются редко.

Перевод выражений и формул между системами

Для преобразования любого выражения или формулы между системами СИ, Хевисайда–Лоренца или Гауссовой, соответствующие величины, показанные в таблице ниже, могут быть напрямую приравнены и, следовательно, подставлены. Это воспроизведет любую из конкретных формул, приведенных в списке выше.

В качестве примера, исходя из уравнения и уравнений из таблицы $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}=\rho ^{\textsf {SI}}/\varepsilon _{0},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}\ \mathbf {E} ^{\textsf {SI}}&=\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\\{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\rho ^{\textsf {SI}}&=\rho ^{\textsf {HL}}\,.\end{aligned}}}$$

Перемещая множитель в последних тождествах и подставляя, получаем результат , который затем упрощается до $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}}}}\mathbf {E} ^{\textsf {HL}}\right)=\left({\sqrt {\varepsilon _{0}}}\rho ^{\textsf {HL}}\right)/\varepsilon _{0},}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\textsf {HL}}=\rho ^{\textsf {HL}}.}$$

Примечания

1. Как использовал Эйнштейн, например, в своей книге: Эйнштейн, Альберт (2005). Значение теории относительности (1956, 5-е изд.). Princeton University Press (2005). стр. 21 и далее.
2. Например, первое и второе издания «Классической электродинамики » Дж. Д. Джексона ^[7] использовали исключительно гауссовы единицы, но в третьем издании Джексон переписал многие главы в единицах СИ. Аналогично, « Электричество и магнетизм » Э. М. Перселла ^[8], широко используемый учебник для вводных занятий, изначально был написан в гауссовых единицах; третье издание было переписано в единицах СИ.

Ссылки

1. Силсби, Фрэнсис (апрель–июнь 1962 г.). «Системы электрических единиц». Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел C. 66C ( 2): 137–183. doi : 10.6028/jres.066C.014 .
2. Ковальски, Людвик, 1986, «Краткая история единиц СИ в электричестве», архив 29.04.2009 в Wayback Machine , The Physics Teacher 24(2): 97–99. Альтернативная веб-ссылка (требуется подписка)
3. Литтлджон, Роберт (осень 2011 г.). "Гауссова, СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории" (PDF) . Физика 221A, Калифорнийский университет, Беркли, лекции . Получено 2008-05-06 .
4. Хевисайд, О. (18 ноября 1882 г.). «Соотношения между магнитной силой и электрическим током». The Electrician . Лондон, Великобритания.
5. "Система единиц измерения". История техники и технологий (ETHW.org) (вики). 24 апреля 2012 г. Получено 23 декабря 2021 г.
6. Хевисайд, Оливер (1893). Электромагнитная теория. Т. 1. Лондон, Великобритания: The D. van Nostrand Company. стр.  xi – через Google Books.

   Альтернативный источник того же текста:

   "Heaviside 1893: Electromagnetic Theory volume 1 ...". wiki. Open Source Ecology Germany (wiki.opensourceecology.de) ( текст OCR ). 1893.
7. Джексон, Дж. Д. (1973). Классическая электродинамика, второе издание . John Wiley & Sons, Нью-Йорк. С. 811–821.
8. Перселл, Э. М. (1965). Электричество и магнетизм, курс физики в Беркли . Т. 2 (первое изд.). McGraw Hill, Нью-Йорк. С. 449–452.