Эластичная энергия

Form of energy

Упругая энергия — это механическая потенциальная энергия , запасенная в конфигурации материала или физической системы, поскольку она подвергается упругой деформации в результате выполняемой над ней работы . Упругая энергия возникает, когда объекты непостоянно сжимаются, растягиваются или вообще деформируются каким-либо образом. Теория упругости развивает прежде всего формализмы механики твердых тел и материалов. ^[1] (Однако обратите внимание, что работа, совершаемая растянутой резиновой лентой, не является примером упругой энергии. Это пример энтропийной упругости .) Уравнение упругой потенциальной энергии используется в расчетах положений механического равновесия . Энергия является потенциальной, поскольку она будет преобразована в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия и звуковая энергия , когда объекту будет позволено вернуться к своей первоначальной форме (преобразованию) за счет его упругости .

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}$$

Сущность эластичности – обратимость. Силы, приложенные к упругому материалу, передают энергию материалу, который, передав эту энергию окружающей среде, может восстановить свою первоначальную форму. Однако все материалы имеют пределы степени искажений, которые они могут выдержать, не нарушая или необратимо изменяя свою внутреннюю структуру. Следовательно, характеристики твердых материалов включают определение пределов упругости, обычно в терминах деформаций. За пределом упругости материал больше не сохраняет всю энергию механической работы, выполняемой над ним, в форме упругой энергии.

Упругая энергия вещества или внутри него — это статическая энергия конфигурации. Это соответствует энергии, запасаемой главным образом за счет изменения межатомных расстояний между ядрами. Тепловая энергия — это хаотичное распределение кинетической энергии внутри материала, приводящее к статистическим колебаниям материала относительно равновесной конфигурации. Однако некоторое взаимодействие существует. Например, для некоторых твердых объектов скручивание, изгиб и другие деформации могут генерировать тепловую энергию, вызывая повышение температуры материала. Тепловая энергия в твердых телах часто переносится внутренними упругими волнами, называемыми фононами . Упругие волны, большие по масштабам изолированного объекта, обычно вызывают макроскопические колебания. Хотя эластичность чаще всего связана с механикой твердых тел или материалов, даже в ранней литературе по классической термодинамике «упругость жидкости» определяется и используется способами, совместимыми с широким определением, данным во введении выше. ^{[2] : 107 и последующие.}

Твердые тела включают сложные кристаллические материалы с иногда сложным поведением. Напротив, поведение сжимаемых жидкостей, и особенно газов, демонстрирует сущность упругой энергии с незначительным усложнением. Простая термодинамическая формула: где dU — бесконечно малое изменение восстанавливаемой внутренней энергии U , P — однородное давление (сила на единицу площади), приложенное к интересующему образцу материала, а dV — бесконечно малое изменение объема, соответствующее изменению во внутренней энергии. Знак минус появляется потому, что dV отрицательно при сжатии положительным приложенным давлением, которое также увеличивает внутреннюю энергию. При обращении работа, совершаемая системой , равна отрицательному изменению ее внутренней энергии, соответствующему положительному dV возрастающего объема. Другими словами, система теряет запасенную внутреннюю энергию при совершении работы над окружающей средой. Давление — это напряжение, а изменение объема соответствует изменению относительного расстояния между точками внутри материала. Соотношение напряжения-деформации-внутренней энергии приведенной выше формулы повторяется в формулах для упругой энергии твердых материалов со сложной кристаллической структурой. ${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$

Упругая потенциальная энергия в механических системах

Компоненты механических систем сохраняют упругую потенциальную энергию , если они деформируются под действием сил, приложенных к системе. Энергия передается объекту посредством работы , когда внешняя сила смещает или деформирует объект. Количество передаваемой энергии представляет собой векторное скалярное произведение силы и смещения объекта. Когда к системе прикладывают силы, они распределяются внутри ее составных частей. Хотя некоторая часть переданной энергии может в конечном итоге сохраниться в виде кинетической энергии приобретённой скорости, деформация составных объектов приводит к накоплению упругой энергии.

Прототипом упругого компонента является спиральная пружина. Линейные упругие характеристики пружины параметризуются константой пропорциональности, называемой жесткостью пружины. Эта константа обычно обозначается как k (см. также Закон Гука ) и зависит от геометрии, площади поперечного сечения, недеформированной длины и природы материала, из которого изготовлена ​​катушка. В определенном диапазоне деформации k остается постоянным и определяется как отрицательное отношение смещения к величине возвращающей силы, создаваемой пружиной при этом смещении.

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

Деформированная длина L может быть больше или меньше L _o , недеформированной длины, поэтому, чтобы k оставалось положительным, F _r должен быть задан как векторная составляющая восстанавливающей силы, знак которой отрицательный для L > L _o и положительный для Л < Л _о . Если перемещение сокращенно обозначать

$${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$

$${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

Энергия, поглощенная и удерживаемая пружиной, может быть получена с использованием закона Гука для расчета восстанавливающей силы как меры приложенной силы. Для этого необходимо предположение, достаточно правильное в большинстве случаев, о том, что в данный момент величина приложенной силы.

Для каждого бесконечно малого смещения dx приложенная сила равна просто kx , а произведением этих усилий является бесконечно малая передача энергии пружине dU . Таким образом, полная упругая энергия, вложенная в пружину от нулевого смещения до конечной длины L, представляет собой интеграл

$${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

Для материала с модулем Юнга Y (такой же, как модуль упругости λ ), площадью поперечного сечения A ₀ , начальной длиной l ₀ , растянутой на длину : ${\displaystyle \Delta l}$

$${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$

U _e

Упругая потенциальная энергия на единицу объема определяется выражением:

$${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

В общем случае упругая энергия определяется свободной энергией единицы объема f в зависимости от компонент тензора деформаций ε _ij

$${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$

λµсоглашение Эйнштейна о суммировании^[1]

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$

T

$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

Системы континуума

Массивная материя может деформироваться разными способами: растягиваться, сдвигаться, изгибаться, скручиваться и т. д. Каждый вид искажения вносит свой вклад в упругую энергию деформируемого материала. Таким образом, в ортогональных координатах упругая энергия единицы объема, обусловленная деформацией, представляет собой сумму вкладов:

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$

рангатензором упругости^[3]тензор деформацийобозначение суммирования Эйнштейнакристаллической^[4]ромбическогогексагональнойкубической^[5]изотропногоконстанты Ламедельта Кронекера ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Сам тензор деформации можно определить так, чтобы он отражал искажение любым способом, который приводит к инвариантности относительно полного вращения, но наиболее распространенное определение, в отношении которого обычно выражаются тензоры упругости, определяет деформацию как симметричную часть градиента смещения со всеми нелинейными членами. подавлено:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$

${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Заводной механизм
• Эластичность резины

Рекомендации

1. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1986). Теория упругости (3-е изд.). Оксфорд, Англия: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2633-Х.
2. Максвелл, Дж. К. (1888). Питер Пешич (ред.). Теория тепла (9-е изд.). Минеола, штат Нью-Йорк: ISBN Dover Publications Inc. 0-486-41735-2.
3. Дав, Мартин Т. (2003). Структура и динамика: атомарный взгляд на материалы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850677-5. ОСЛК  50022684.
4. Най, Дж. Ф. (1985). Физические свойства кристаллов: их представление тензорами и матрицами (1-е издание в ПБК с исправлениями, изд. 1985 г.). Оксфорд [Оксфордшир]: Clarendon Press. ISBN 0-19-851165-5. ОСЛК  11114089.
5. Мухат, Феликс; Кудер, Франсуа-Ксавье (5 декабря 2014 г.). «Необходимые и достаточные условия упругой устойчивости в различных кристаллических системах». Физический обзор B . 90 (22): 224104. arXiv : 1410.0065 . Бибкод : 2014PhRvB..90v4104M. doi : 10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN  1098-0121. S2CID  54058316.

Источники

• ^[1]

1. Эшелби, JD (ноябрь 1975 г.). «Тензор упругой энергии-импульса». Журнал эластичности . 5 (3–4): 321–335. дои : 10.1007/BF00126994. S2CID  121320629.