Случайная плотная упаковка ( RCP ) сфер — эмпирический параметр, используемый для характеристики максимальной объемной доли твердых объектов, получаемой при их случайной упаковке. Например, когда твердый контейнер наполнен зерном , встряхивание контейнера уменьшит объем, занимаемый объектами, что позволит добавить в контейнер больше зерна. Другими словами, встряхивание увеличивает плотность упаковываемых предметов. Но встряхивание не может увеличивать плотность бесконечно, достигается предел, и если он достигается без явной упаковки в упорядоченную структуру, например в регулярную кристаллическую решетку, то это эмпирическая случайная плотность плотной упаковки для данной конкретной процедуры упаковки. Случайная плотная упаковка представляет собой максимально возможную объемную долю из всех возможных процедур упаковки.
Эксперименты и компьютерное моделирование показали, что наиболее компактный способ упаковки твердых идеальных сфер одинакового размера случайным образом дает максимальную объемную долю около 64%, т. е. примерно 64% объема контейнера занимают сферы. Проблема теоретического предсказания случайной плотной упаковки сфер сложна главным образом из-за отсутствия однозначного определения случайности или беспорядка. [1] Значение случайной плотной упаковки значительно ниже максимально возможной плотной упаковки твердых сфер одинакового размера в регулярные кристаллические структуры , которая составляет 74,04%. [2] И гранецентрированная кубическая (ГЦК) , и гексагональная плотноупакованная (ГПУ) кристаллические решетки имеют максимальную плотность, равную этому верхнему пределу, что может произойти в процессе гранулярной кристаллизации .
Случайная плотная упаковка дисков в плоскости также считалась теоретически нерешенной проблемой из-за аналогичных трудностей. Аналитическое, хотя и не в закрытой форме, решение этой проблемы было найдено в 2021 г. Р. Блюменфельдом. [3] Решение было найдено путем ограничения экспоненциально малой вероятности роста упорядоченных кластеров и связывания ее с распределением «ячеек», которые представляют собой мельчайшие пустоты, окруженные соединенными дисками. Полученная максимальная объемная доля составляет 85,3542%, если исключить только кластеры с гексагональной решеткой, и 85,2514%, если исключить также кластеры с деформированной квадратной решеткой.
Аналитическое решение в замкнутой форме как для 2D, так и для 3D, механически стабильных, случайных упаковок сфер было найдено А. Закконе в 2022 году с использованием предположения, что наиболее случайная ветвь заклиненных состояний (максимально случайные застрявшие упаковки, простирающиеся до плотнейшая упаковка ГЦК) подвергаются сгущению, качественно аналогичному равновесной жидкости. [4] [5] Причины эффективности этого решения являются предметом постоянных дискуссий. [6]
Случайная плотная упаковка сфер пока не имеет точного геометрического определения. Оно определяется статистически, а результаты носят эмпирический характер. Контейнер случайным образом наполняется объектами, а затем контейнер встряхивается или постукивает до тех пор, пока объекты не перестанут уплотняться, в этот момент состояние упаковки — RCP. Определение фракции упаковки можно дать так: «объем, занимаемый количеством частиц в данном объеме объема». Другими словами, фракция упаковки определяет плотность упаковки. Показано, что доля заполнения увеличивается с увеличением количества кранов до тех пор, пока не будет достигнута плотность насыщения. [7] [8] Кроме того, плотность насыщения увеличивается по мере уменьшения амплитуды постукивания . Таким образом, RCP — это доля упаковки, определяемая пределом, когда амплитуда постукиваний стремится к нулю, и пределом, когда количество постукиваний стремится к бесконечности .
Объемная доля частиц в RCP зависит от упаковываемых объектов. Если объекты полидисперсны , то объемная доля нетривиально зависит от распределения по размерам и может быть сколь угодно близкой к 1. Тем не менее, для (относительно) монодисперсных объектов значение RCP зависит от формы объекта; для сфер — 0,64, для конфет M&M’s — 0,68. [9]
Товары, содержащие неплотно упакованные предметы, часто маркируются следующим сообщением: «Содержимое может оседать во время транспортировки». Обычно во время транспортировки контейнер несколько раз ударяют, что увеличивает плотность упаковки. Сообщение добавляется, чтобы заверить потребителя, что контейнер в массовом порядке заполнен, даже если контейнер кажется слегка пустым. Системы упакованных частиц также используются как базовая модель пористых сред .