Уравнение Вейля

Релятивистское волновое уравнение, описывающее безмассовые фермионы

В физике , особенно в квантовой теории поля , уравнение Вейля представляет собой релятивистское волновое уравнение , описывающее безмассовые частицы со спином 1/2, называемые фермионами Вейля . Уравнение названо в честь Германа Вейля . Фермионы Вейля — один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других — фермионы Дирака и Майорана .

Ни одна из элементарных частиц Стандартной модели не является фермионом Вейля. До подтверждения осцилляций нейтрино считалось возможным, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь ожидается, что это фермион Дирака или Майорана). В физике конденсированного состояния некоторые материалы могут отображать квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию полуметаллов Вейля .

Математически любой фермион Дирака можно разложить на два фермиона Вейля противоположной киральности, связанные массовым членом. ^[1]

История

Уравнение Дирака было опубликовано в 1928 году Полем Дираком и впервые использовалось для моделирования частиц со спином 1/2 в рамках релятивистской квантовой механики . ^[2] Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака. ^{[2] [3]} Вольфганг Паули в 1933 году выступил против уравнения Вейля, поскольку оно нарушало четность . ^[4] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермиона , нейтрино , чтобы объяснить бета-распад , который в конечном итоге был описан с помощью уравнения Вейля.

В 1937 году Коньерс Херринг предположил, что фермионы Вейля могут существовать в виде квазичастиц в конденсированном состоянии. ^[5]

Нейтрино были экспериментально обнаружены в 1956 году как частицы с чрезвычайно малой массой (и исторически иногда даже считались безмассовыми). ^[4] В том же году эксперимент Ву показал, что четность может быть нарушена слабым взаимодействием , что противоречит критике Паули. ^{[6] За этим последовало измерение} спиральности нейтрино в 1958 году. ^[4] Поскольку эксперименты не показали никаких признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля возродился. Таким образом, Стандартная модель была построена в предположении, что нейтрино являются фермионами Вейля. ^[4]

Хотя итальянский физик Бруно Понтекорво в 1957 году предположил возможность существования нейтринных масс и нейтринных осцилляций , ^[4] только в 1998 году Супер-Камиоканде наконец подтвердил существование нейтринных осцилляций и их ненулевой массы. ^[4] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино, поскольку уравнения могут описывать только безмассовые частицы. ^[2]

В 2015 году первый полуметалл Вейля был экспериментально продемонстрирован в кристаллическом арсениде тантала (TaAs) в сотрудничестве команд М. З. Хасана ( Принстонский университет ) и Х. Дина ( Китайская академия наук ). ^[5] Независимо, в том же году команда М. Солячича ( Массачусетский технологический институт ) также наблюдала вейлевские возбуждения в фотонных кристаллах . ^[5]

Уравнение

Уравнение Вейля имеет две формы. Правую форму можно записать следующим образом: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Расширив это уравнение и вставив в него скорость света , получим ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

где

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

— вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2×2 для и матрицы Паули для и — волновая функция — один из спиноров Вейля . Левая форма уравнения Вейля обычно записывается как: ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1,2,3,}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

где

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

Решения правых и левых уравнений Вейля различны: они имеют правую и левую спиральность и, следовательно, киральность соответственно. Удобно указать это явно следующим образом: и ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Плоские волновые решения

Плосковолновые решения уравнения Вейля называются левым и правым спинорами Вейля, каждый из которых состоит из двух компонент . Оба имеют форму

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

где

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

представляет собой зависящий от импульса двухкомпонентный спинор, который удовлетворяет условию

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

или

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

Путем прямых манипуляций получается, что

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

и приходит к выводу, что уравнения соответствуют безмассовой частице . В результате величина импульса напрямую связана с волновым вектором соотношениями де Бройля как: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

спиральность

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности частиц, проекции оператора углового момента на линейный момент : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Здесь ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Лоренц-инвариантность

Оба уравнения лоренц-инвариантны относительно преобразования Лоренца где. Более точно, уравнения преобразуются как ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

где – эрмитово транспонирование при условии, что правое поле преобразуется как ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Матрица связана с преобразованием Лоренца посредством двойного покрытия группы Лоренца специальной линейной группой, заданной формулой ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной системе Лоренца, то он исчезает и в другой. Сходным образом

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левое поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Доказательство: ни одно из этих свойств преобразования никоим образом не является «очевидным» и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начните с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

чтобы некоторые неизвестные были определены. Преобразование Лоренца в координатах имеет вид ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это ведет к

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Чтобы воспользоваться картой Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

несколько индексов необходимо поднять и понизить. Это легче сказать, чем сделать, поскольку это вызывает тождество

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

где – метрика Минковского в плоском пространстве . Вышеупомянутое тождество часто используется для определения элементов. Делается транспонирование: ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, можно восстановить первоначальную форму, если т. е. Проделав те же манипуляции с левым уравнением, можно заключить, что ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ^[а] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Отношения с Майораной

Уравнение Вейля традиционно интерпретируется как описание безмассовой частицы. Однако с небольшой переделкой можно получить двухкомпонентную версию уравнения Майораны . ^[10] Это возникает потому, что специальная линейная группа изоморфна симплектической группе . Симплектическая группа определяется как набор всех комплексных матриц размера 2 × 2, которые удовлетворяют условиям ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

где

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Определяющее соотношение можно переписать следующим образом: где находится комплексно-сопряженное выражение . Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$ ${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

и поэтому комплексно-сопряженное поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Применяя определяющее соотношение, можно сделать вывод, что

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

что является точно тем же свойством ковариации Лоренца, отмеченным ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового коэффициента ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантным образом; установка этого значения на ноль дает сложное двухкомпонентное уравнение Майораны . Уравнение Майораны традиционно записывается как четырехкомпонентное вещественное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; вышеизложенное можно привести к четырехкомпонентной форме (подробности см. в этой статье). Аналогично, левокиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель ) имеет вид ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косое комплексное сопряжение можно рассматривать как зарядово-сопряженную форму. Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, которое соединяет спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две различные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; Подробности см. в зарядовом сопряжении и уравнении Майораны. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~.}$

Определим пару операторов, операторов Майораны,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

где — краткое напоминание о необходимости использования комплексного сопряжения. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации являются лоренц-ковариантными, и можно принять

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Произведения и оба лоренц-ковариантны. Продукт явно ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что и что RHS сводится к оператору Клейна-Гордона при условии, что , то есть Эти два оператора Майораны, таким образом, являются «квадратными корнями» оператора Клейна-Гордона. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Лагранжевы плотности

Уравнения получены из лагранжевых плотностей

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

Рассматривая спинор и его сопряженный элемент (обозначенный ) как независимые переменные, получается соответствующее уравнение Вейля. ${\displaystyle \dagger }$

Спиноры Вейля

Термин спинор Вейля также часто используется в более общем контексте как элемент модуля Клиффорда . Это тесно связано с решениями, приведенными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спиноров как геометрических объектов, живущих на многообразии . Эта общая установка имеет множество сильных сторон: она проясняет их интерпретацию как фермионов в физике и показывает, как точно определить спин в общей теории относительности или, более того, для любого риманова многообразия или псевдориманова многообразия . Неформально это обрисовывается следующим образом.

Уравнение Вейля инвариантно относительно действия группы Лоренца. Это означает, что при применении ускорений и вращений форма самого уравнения не меняется. Однако форма самого спинора меняется. Если полностью игнорировать пространство-время , алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) алгеброй Клиффорда . Спиноры трансформируются под действием спиновой группы . Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе и как он преобразуется под действием группы вращения , за исключением того, что теперь это было адаптировано к случаю спиноров. ${\displaystyle \psi }$

Учитывая произвольное псевдориманово многообразие размерности , можно рассмотреть его касательное расслоение . В любой данной точке касательное пространство представляет собой размерное векторное пространство . Зная это векторное пространство, на нем можно построить алгебру Клиффорда . Если - базис векторного пространства на , можно построить пару спиноров Вейля как ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

и

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

При правильном рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они, естественно, являются антикоммутирующими , то есть получается, что это можно с радостью интерпретировать как математическую реализацию принципа исключения Паули , что позволяет интерпретировать эти абстрактно определенные формальные структуры как фермионы. . Для размерного пространства-времени Минковского возможны только два таких спинора, по соглашению обозначенных «левым» и «правым», как описано выше. Более формальное, общее представление о спинорах Вейля можно найти в статье о спиновой группе . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Абстрактную, общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: для данного псевдориманова многообразия над ним строится расслоение со спиновой группой в качестве слоя. Спиновая группа является двойным покрытием специальной ортогональной группы , поэтому можно послойно отождествить спиновую группу с расслоением фреймов. Когда это будет сделано, результирующая структура будет называться спиновой структурой . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle M~.}$

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору локальной системы координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) толчком/вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, поскольку спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (Лоренцовых) повышениях/вращениях.

Для спинового многообразия аналогом метрической связности является спиновая связность ; по сути, это «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательно прикрепленными к нему индексами вращения. Ковариантная производная может быть определена через связь совершенно обычным способом. Он естественным образом действует на расслоении Клиффорда ; расслоение Клиффорда — это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется спиновой геометрией .

Математическое определение

При четном четная подалгебра комплексной алгебры Клиффорда изоморфна , где . Левый (соответственно правый) комплексный спинор Вейля в -мерном пространстве является элементом (соответственно ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$ ${\displaystyle N=2^{n/2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

Особые случаи

Из спиноров Вейля можно построить три важных частных случая. Одним из них является спинор Дирака , который можно рассматривать как пару спиноров Вейля, один левый и один правый. Они связаны друг с другом таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает вследствие трансформации поля Дирака под действием комплексифицированной спиновой группы. Эта группа имеет структуру ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

где находится круг, и его можно отождествить с электромагнетизмом . Продукт — это просто причудливое обозначение, обозначающее продукт с обозначенными противоположными точками (двойное покрытие). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

Спинор Майорана снова представляет собой пару спиноров Вейля, но на этот раз устроенных так, что левый спинор является зарядовым сопряжением правого спинора. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем у спинора Дирака. Он не способен взаимодействовать с электромагнитным полем, так как под действием группы преобразуется как скаляр . То есть он трансформируется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен под действием спиновой группы. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

Третий особый случай — спинор ELKO, построенный во многом аналогично спинору Майораны, за исключением дополнительного знака минус между парой зарядово-сопряженных элементов. Это снова делает его электрически нейтральным, но привносит ряд других весьма удивительных свойств.

Примечания

1. Представленные здесь результаты идентичны результатам уравнений 52 и 57 Асте (2010) ^[10] , хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное накрытие также идентично уравнению Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи Википедии о группе Лоренца .

Рекомендации

1. Шифман, Михаил (1999). Лекции ИТЭФ по физике элементарных частиц и теории поля . Том. 1. п. 292. ИСБН 9789810239480.
2. Pal, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майорана и Вейля». Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Бибкод : 2011AmJPh..79..485P. дои : 10.1119/1.3549729. ISSN  0002-9505. S2CID  118685467.
3. Вейль, Герман (15 апреля 1929). «Гравитация и электрон». Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. Бибкод : 1929PNAS...15..323W. дои : 10.1073/pnas.15.4.323 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 522457 . ПМИД  16587474. 
4. Биленький, С.М. (2005). «История нейтринных осцилляций». Физика Скрипта . Т121 : 17–22. arXiv : hep-ph/0410090 . Бибкод : 2005PhST..121...17B. дои : 10.1088/0031-8949/2005/T121/001. ISSN  0031-8949. S2CID  119341278.
5. Вишванат, Ашвин (08 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля». АПС Физика . Том. 8.
6. Ву, CS; Эмблер, Э.; Хейворд, RW; Хоппс, Д.Д.; Хадсон, Р.П. (1957). «Экспериментальная проверка сохранения четности при бета-распаде». Физический обзор . 105 (4): 1413–1415. Бибкод : 1957PhRv..105.1413W. дои : 10.1103/PhysRev.105.1413 .
7. Пирсон, Э. Аберс, изд. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, ISBN Prentice Hall Inc. 978-0-13-146100-0.
8. Воан, Г., изд. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
9. Пескин, Мэн; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-50397-2– через Google Книги.
10. Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . Том. 2010, нет. 2. стр. 1776–1809. дои : 10.3390/sym2041776 . ISSN  2073-8994.
11. Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Университетский текст Спрингера.

дальнейшее чтение

• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля демистифицирована. США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Мартин, БР; Шоу, Г. (2008). Физика частиц . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Мартин, Брайан Р.; Шоу, Грэм (2013). Физика элементарных частиц (3-е изд.). ISBN 9781118681664– через Google Книги.
• ЛаБелль, П. (2010). Раскрытие тайны суперсимметрии. США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-163641-4– через Google Книги.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Наконец-то обнаружены фермионы Вейля». Мир физики . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Природные материалы . 14 (9): 863. дои : 10.1038/nmat4411 . ISSN  1476-1122. ПМИД  26288972.
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля». АПС Физика . Том. 8 . Проверено 22 ноября 2018 г.
• Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Природные материалы . 15 (11): 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Бибкод : 2016NatMa..15.1140J. дои : 10.1038/nmat4787. PMID  27777402. S2CID  1115349.

Внешние ссылки

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp. Physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf