спираль

Пространственная кривая, обвивающаяся вокруг линии

Правая спираль (cos t , sin t , t ) для 0 ≤ t ≤ 4 π со стрелками, показывающими направление увеличения t.

Спираль ( / ˈ h iː l ɪ k s / ; мн. спирали ) — это форма, похожая на штопор . Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями , расположенными под постоянным углом к ​​фиксированной оси. Спирали играют важную роль в биологии , поскольку молекула ДНК формируется в виде двух переплетенных спиралей , а многие белки имеют спиральные подструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». ^[1] «Заполненная» спираль – например, «спиральный» (спиральный) пандус – представляет собой поверхность, называемую геликоидом . ^[2] 

Свойства и типы

Шаг спирали — это высота одного полного витка спирали , измеренная параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и той же осью, различающихся перемещением вдоль оси. ^[3]

Круговая спираль (то есть спираль с постоянным радиусом) имеет постоянную кривизну ленты и постоянное кручение .

Коническая спираль , также известная как коническая спираль , может быть определена как спираль на конической поверхности, причем расстояние до вершины является экспоненциальной функцией угла, указывающего направление от оси.

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью ^[4] , если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно. ^[5]

Кривая называется наклонной спиралью , если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. ^[6] Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали. ^[7]

Более общие спиралевидные пространственные кривые можно найти в разделе « Пространственная спираль» ; например, сферическая спираль .

Рукава

Спирали могут быть как правосторонними, так и левосторонними. При луче зрения вдоль оси спирали, если завинчивающее движение по часовой стрелке отодвигает спираль от наблюдателя, то это называется правосторонней спиралью; если к наблюдателю, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) — это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левая, если ее не посмотреть в зеркало, и наоборот.

Сравнение двух типов спирали . Это показывает две киральности спиралей. Один левша, другой правша. Каждая строка сравнивает две спирали с разных точек зрения. Хиральность — это свойство объекта, а не перспективы ( угла обзора).

Математическое описание

Спираль, состоящая из синусоидальных компонентов x и y.

В математике спираль — это кривая в трехмерном пространстве . Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; ^[8] возможно, самое простое уравнение для одного:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}}$

По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) описывает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z , в правая система координат.

В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) одна и та же спираль параметризуется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}}$

Круговая спираль радиуса a и наклонаа/б(или шаг 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}}$

Другой способ математического построения спирали — построить график комплексной функции e ^xi как функции действительного числа x (см. формулу Эйлера ). Значение x , а также действительная и мнимая части значения функции придают этому графику три действительных измерения.

За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентную левую спираль можно построить несколькими способами, самый простой из которых — отрицание любого из компонентов x , y или z .

Длина дуги, кривизна и кручение

Круговая спираль радиуса a и наклонаа/б(или шаг 2 πb ), выраженный в декартовых координатах как

${\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}$

имеет длину дуги

${\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

кривизна _ _

${\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},}$

и перекручивание _

${\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Спираль имеет постоянную ненулевую кривизну и кручение.

Спираль — это векторная функция

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}$$

Таким образом, спираль можно перепараметризовать как функцию s , которая должна иметь единичную скорость:

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

Единичный касательный вектор

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

Нормальный вектор

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

Его кривизна

$${\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$$

Единичный вектор нормали

$${\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

Бинормальный вектор

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}$$

Его кручение

$${\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$$

Примеры

Примером двойной спирали в молекулярной биологии является двойная спираль нуклеиновой кислоты .

Примером конической спирали являются американские горки «Штопор» в парке развлечений Сидар-Пойнт .

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных между собой переходами, известными как перверсии усиков .

Большинство аппаратных винтовых резьб имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы ДНК A и B также являются правосторонними спиралями. Z -форма ДНК является левосторонней.

В музыке пространство высоты тона часто моделируется с помощью спиралей или двойных спиралей , чаще всего выходящих за пределы круга, такого как круг квинт , чтобы представить октавную эквивалентность .

В авиации геометрический шаг — это расстояние, на которое элемент винта самолета продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси винта; см. также: угол тангажа (авиационный) .

• 
  Кристаллическая структура свернутой молекулярной спирали, о которой сообщили Лен и др. ^[9]
• 
  Естественная левая спираль, образованная вьющимся растением.
• 
  Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой траектории.
• 
  Винтовая пружина

Смотрите также

• Альфа-спираль
• Дуговая пружина
• Спираль Бурдейка – Кокстера
• Круговая поляризация
• Коллагеновая спираль
• Винтовая симметрия
• спиральность
• Угол спирали
• Винтовая ось
• полуспираль
• Поверхность ракушки
• Соленоид
• Суперспираль
• Тройная спираль

Рекомендации

1. ἕλιξ. Архивировано 16 октября 2012 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид». Математический мир .
3. «Двойная спираль, архивировано 30 апреля 2008 г. в Wayback Machine », Шандор Кабай, Демонстрационный проект Wolfram .
4. О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 72.
5. О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 74.
6. Изумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , 28:153–163.
7. Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе наклонной спирали . arXiv:1302.3175. Архивировано 5 февраля 2018 г. в Wayback Machine .
8. Вайсштейн, Эрик В. «Спираль». Математический мир .
9. Шмитт, Ж.-Л.; Стадлер, А.-М.; Кирицакас, Н.; Лен, Ж.-М. (2003). «Молекулярные нити, закодированные спиральностью: эффективный доступ по гидразонному маршруту и ​​структурные особенности». Helvetica Chimica Acta . 86 : 1598–1624. дои : 10.1002/hlca.200390137.