Корреляция расстояний

Статистическая мера

В статистике и теории вероятностей корреляция расстояний или ковариация расстояний — это мера зависимости между двумя парными случайными векторами произвольной, не обязательно одинаковой размерности . Коэффициент корреляции расстояний в популяции равен нулю тогда и только тогда, когда случайные векторы независимы . Таким образом, корреляция расстояний измеряет как линейную, так и нелинейную связь между двумя случайными величинами или случайными векторами. Это отличается от корреляции Пирсона , которая может обнаружить только линейную связь между двумя случайными величинами .

Корреляция расстояний может использоваться для выполнения статистического теста зависимости с помощью теста перестановки . Сначала вычисляется корреляция расстояний (включая повторное центрирование евклидовых матриц расстояний) между двумя случайными векторами, а затем это значение сравнивается с корреляциями расстояний многих перетасовок данных.

Несколько наборов точек ( x ,  y ) с коэффициентом корреляции расстояний x и y для каждого набора. Сравните с графиком корреляции

Фон

Классическая мера зависимости, коэффициент корреляции Пирсона ^[1] , в основном чувствительна к линейной связи между двумя переменными. Корреляция расстояний была введена в 2005 году Габором Й. Секей в нескольких лекциях для устранения этого недостатка корреляции Пирсона , а именно того, что она может легко быть равна нулю для зависимых переменных. Корреляция = 0 (некоррелированность) не подразумевает независимости, в то время как корреляция расстояний = 0 подразумевает независимость. Первые результаты по корреляции расстояний были опубликованы в 2007 и 2009 годах. ^{[2] [3]} Было доказано, что ковариация расстояний совпадает с броуновской ковариацией. ^[3] Эти меры являются примерами энергетических расстояний .

Корреляция расстояния выводится из ряда других величин, которые используются в ее спецификации, а именно: дисперсия расстояния , стандартное отклонение расстояния и ковариация расстояния . Эти величины играют ту же роль, что и обычные моменты с соответствующими названиями в спецификации коэффициента корреляции произведения-момента Пирсона .

Определения

Ковариация расстояния

Начнем с определения ковариации выборочного расстояния . Пусть ( X _k ,  Y _k ), k  = 1, 2, ..., n — статистическая выборка из пары действительных или векторных случайных величин ( X ,  Y ). Сначала вычислим матрицы расстояний n на n ( a _{j , k} ) и ( b _{j , k} ), содержащие все парные расстояния

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&=\|X_{j}-X_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\|Y_{j}-Y_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}}$

где ||⋅ ||обозначает евклидову норму . Затем берем все дважды центрированные расстояния

${\displaystyle A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },}$

где — среднее значение j -й строки, — среднее значение k -го столбца, а — общее среднее значение матрицы расстояний выборки X. Обозначения аналогичны значениям b . (В матрицах центрированных расстояний ( A _{j , k} ) и ( B _{j , k} ) все строки и все столбцы в сумме равны нулю.) Квадрат ковариации выборочного расстояния (скаляр) — это просто среднее арифметическое произведений A _{j , k} B _{j , k} : ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{j\cdot }}$ ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}A_{j,k}\,B_{j,k}.}$

Статистика T _n = n dCov ² _n ( X , Y ) определяет последовательный многомерный тест независимости случайных векторов в произвольных измерениях. Для реализации см. функцию dcov.test в энергетическом пакете для R . ^[4]

Значение ковариации расстояния для популяции можно определить по тем же принципам. Пусть X — случайная величина, принимающая значения в p -мерном евклидовом пространстве с распределением вероятностей μ , а Y — случайная величина, принимающая значения в q -мерном евклидовом пространстве с распределением вероятностей ν , и предположим, что X и Y имеют конечные ожидания. Запишите

${\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\|X-x\|],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\|x-x'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).}$

Наконец, определим значение совокупности квадрата ковариации расстояния X и Y как

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

Можно показать, что это эквивалентно следующему определению:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|]-\operatorname {E} [\|X-X''\|\,\|Y-Y'\|]\\={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|],\end{aligned}}}$

где E обозначает ожидаемое значение, а и независимы и одинаково распределены. Штрихованные случайные величины и обозначают независимые и одинаково распределенные (iid) копии переменных и и также являются iid. ^[5] Ковариация расстояний может быть выражена в терминах классической ковариации Пирсона , cov , следующим образом: ${\displaystyle \textstyle (X,Y),}$ ${\displaystyle \textstyle (X',Y'),}$ ${\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}$ ${\displaystyle \textstyle (X',Y')}$ ${\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y'\|)-2\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y''\|).}$

Это тождество показывает, что ковариация расстояния не совпадает с ковариацией расстояний, cov(‖ X − X' ‖, ‖ Y − Y' ‖ ). Она может быть равна нулю, даже если X и Y не являются независимыми.

В качестве альтернативы ковариация расстояния может быть определена как взвешенная норма L2 расстояния между совместной характеристической функцией случайных величин и произведением их маргинальных характеристических функций: ^[6]

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left|\varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right|^{2}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}}}\,dt\,ds}$

где , , и являются характеристическими функциями ( X , Y ), X , и Y , соответственно, p , q обозначают евклидову размерность X и Y , и, таким образом, s и t , а c _p , c _q являются константами. Весовая функция выбирается для получения масштабно-эквивариантной и инвариантной относительно вращения меры, которая не обращается в ноль для зависимых переменных. ^{[6] [7]} Одна из интерпретаций определения характеристической функции состоит в том, что переменные e ^isX и e ^itY являются циклическими представлениями X и Y с различными периодами, заданными s и t , а выражение ϕ _{X , Y} ( s , t ) − ϕ _X ( s ) ϕ _Y ( t ) в числителе определения характеристической функции ковариации расстояния является просто классической ковариацией e ^isX и e ^itY . Определение характеристической функции ясно показывает, что dCov ² ( X , Y ) = 0 тогда и только тогда, когда X и Y независимы. ${\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)}$ ${\displaystyle \varphi _{X}(s)}$ ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)}$ ${\displaystyle ({c_{p}c_{q}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}})^{-1}}$

Дисперсия расстояния и стандартное отклонение расстояния

Дисперсия расстояния является частным случаем ковариации расстояния, когда две переменные идентичны. Значение дисперсии расстояния для популяции равно квадратному корню из

${\displaystyle \operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E} [\|X-X'\|^{2}]+\operatorname {E} ^{2}[\|X-X'\|]-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|X-X''\|],}$

где , , и — независимые и одинаково распределенные случайные величины , обозначает ожидаемое значение , а для функции , например, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle f^{2}(\cdot )=(f(\cdot ))^{2}}$ ${\displaystyle f(\cdot )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} ^{2}[\cdot ]=(\operatorname {E} [\cdot ])^{2}}$

Дисперсия выборочного расстояния равна квадратному корню из

${\displaystyle \operatorname {dVar} _{n}^{2}(X):=\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,X)={\tfrac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }^{2},}$

что является родственником средней разности Коррадо Джини , введенной в 1912 году (но Джини не работал с центрированными расстояниями). ^[8]

Среднеквадратическое отклонение расстояния — это квадратный корень из дисперсии расстояния .

Корреляция расстояний

Корреляция расстояний ^{[2] [3]} двух случайных величин получается путем деления их ковариации расстояний на произведение их стандартных отклонений расстояний . Корреляция расстояний является квадратным корнем из

${\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)={\frac {\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}{\sqrt {\operatorname {dVar} ^{2}(X)\,\operatorname {dVar} ^{2}(Y)}}},}$

а корреляция выборочного расстояния определяется путем замены ковариации выборочного расстояния и дисперсии расстояния на коэффициенты популяции, указанные выше.

Для простого вычисления корреляции выборочного расстояния см. функцию dcor в энергетическом пакете для R. ^[4]

Характеристики

Корреляция расстояний

1. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {dCor} _{n}(X,Y)\leq 1}$и ; это контрастирует с корреляцией Пирсона, которая может быть отрицательной. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {dCor} (X,Y)\leq 1}$
2. ${\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y)=0}$тогда и только тогда, когда X и Y независимы.
3. ${\displaystyle \operatorname {dCor} _{n}(X,Y)=1}$подразумевает, что размерности линейных подпространств, охватываемых выборками X и Y соответственно, почти наверняка равны, и если предположить, что эти подпространства равны, то в этом подпространстве для некоторого вектора A , скаляра b и ортонормированной матрицы . ${\displaystyle Y=A+b\,\mathbf {C} X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Ковариация расстояния

1. ${\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)\geq 0}$и ; ${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}(X,Y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {C} _{1}\,X,a_{2}+b_{2}\,\mathbf {C} _{2}\,Y)=|b_{1}\,b_{2}|\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$для всех постоянных векторов , скаляров и ортонормированных матриц . ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1},\mathbf {C} _{2}}$
3. Если случайные векторы и независимы, то ${\displaystyle (X_{1},Y_{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},Y_{2})}$

   ${\displaystyle \operatorname {dCov} (X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})\leq \operatorname {dCov} (X_{1},Y_{1})+\operatorname {dCov} (X_{2},Y_{2}).}$

   Равенство имеет место тогда и только тогда, когда и оба являются константами, или и оба являются константами, или являются взаимно независимыми. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}}$
4. ${\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)=0}$тогда и только тогда, когда X и Y независимы.

Последнее свойство является наиболее важным эффектом работы с центрированными расстояниями.

Статистика является смещенной оценкой . При независимости X и Y ^[9] ${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|].\end{aligned}}}$

Несмещенная оценка дана Секей и Риццо. ^[10] ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$

Дисперсия расстояния

1. ${\displaystyle \operatorname {dVar} (X)=0}$если и только если почти наверняка. ${\displaystyle X=\operatorname {E} [X]}$
2. ${\displaystyle \operatorname {dVar} _{n}(X)=0}$тогда и только тогда, когда все выборочные наблюдения идентичны.
3. ${\displaystyle \operatorname {dVar} (A+b\,\mathbf {C} \,X)=|b|\operatorname {dVar} (X)}$для всех постоянных векторов A , скаляров b и ортонормированных матриц . ${\displaystyle \mathbf {C} }$
4. Если X и Y независимы, то . ${\displaystyle \operatorname {dVar} (X+Y)\leq \operatorname {dVar} (X)+\operatorname {dVar} (Y)}$

Равенство в (iv) выполняется тогда и только тогда, когда одна из случайных величин X или Y является константой.

Обобщение

Ковариацию расстояний можно обобщить, включив в нее степени евклидова расстояния. Определить

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y'\|^{\alpha }]+\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y''\|^{\alpha }].\end{aligned}}}$

Тогда для каждого и независимы тогда и только тогда, когда . Важно отметить, что эта характеристика не выполняется для экспоненты ; в этом случае для двумерного , является детерминированной функцией корреляции Пирсона. ^[2] Если и являются степенями соответствующих расстояний, , то ковариацию выборочного расстояния можно определить как неотрицательное число, для которого ${\displaystyle 0<\alpha <2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha )=0}$ ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =2)}$ ${\displaystyle a_{k,\ell }}$ ${\displaystyle b_{k,\ell }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }\,B_{k,\ell }.}$

Можно расширить до случайных величин со значениями в метрическом пространстве и : Если имеет закон в метрическом пространстве с метрикой , то определим , , и (при условии, что является конечным, т.е. имеет конечный первый момент), . Тогда, если имеет закон (в возможно другом метрическом пространстве с конечным первым моментом), то определим ${\displaystyle \operatorname {dCov} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [d(X,x)]}$ ${\displaystyle D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]}$ ${\displaystyle a_{\mu }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}$

Это неотрицательно для всех таких пространств тогда и только тогда, когда оба метрических пространства имеют отрицательный тип. ^[11] Здесь метрическое пространство имеет отрицательный тип, если оно изометрично подмножеству гильбертова пространства . ^[12] Если оба метрических пространства имеют строго отрицательный тип, то тогда и только тогда они независимы. ^[11] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle (M,d^{1/2})}$ ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=0}$ ${\displaystyle X,Y}$

Альтернативное определение ковариации расстояния

Исходная ковариация расстояния была определена как квадратный корень из , а не как квадрат коэффициента. имеет то свойство, что это энергетическое расстояние между совместным распределением и произведением его маргиналов. Однако в рамках этого определения дисперсия расстояния, а не стандартное отклонение расстояния, измеряется в тех же единицах, что и расстояния. ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {X} ,Y}$ ${\displaystyle \operatorname {X} }$

В качестве альтернативы можно определить ковариацию расстояния как квадрат энергетического расстояния: в этом случае стандартное отклонение расстояния измеряется в тех же единицах, что и расстояние, и существует несмещенная оценка для ковариации расстояния популяции. ^[10] ${\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В этих альтернативных определениях корреляция расстояния также определяется как квадрат , а не квадратный корень. ${\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)}$

Альтернативная формулировка: броуновская ковариация

Броуновская ковариация мотивирована обобщением понятия ковариации на случайные процессы. Квадрат ковариации случайных величин X и Y можно записать в следующем виде:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]}$

где E обозначает ожидаемое значение , а штрих обозначает независимые и одинаково распределенные копии. Нам нужно следующее обобщение этой формулы. Если U(s), V(t) — произвольные случайные процессы, определенные для всех действительных s и t, то определим U-центрированную версию X как

${\displaystyle X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left[U(X)\mid \left\{U(t)\right\}\right]}$

всякий раз, когда вычтенное условное ожидаемое значение существует, и обозначаем через Y _V версию Y, центрированную на V. ^{[3] [13] [14]} Ковариация (U,V) (X,Y) определяется как неотрицательное число, квадрат которого равен

${\displaystyle \operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\right]}$

всякий раз, когда правая часть неотрицательна и конечна. Наиболее важным примером является случай, когда U и V являются двусторонними независимыми броуновскими движениями / винеровскими процессами с нулевым ожиданием и ковариацией | s | + | t | − | s − t | = 2 min( s , t ) (только для неотрицательных s, t). (Это вдвое больше ковариации стандартного винеровского процесса; здесь множитель 2 упрощает вычисления.) В этом случае ковариация ( U , V ) называется броуновской ковариацией и обозначается как

${\displaystyle \operatorname {cov} _{W}(X,Y).}$

Удивительное совпадение: броуновская ковариация совпадает с ковариацией расстояния:

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {W} }(X,Y)=\operatorname {dCov} (X,Y),}$

и, таким образом, броуновская корреляция — это то же самое, что и корреляция расстояния.

С другой стороны, если мы заменим броуновское движение детерминированной функцией тождества id, то Cov _id ( X , Y ) будет просто абсолютным значением классической ковариации Пирсона ,

${\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {id} }(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov} (X,Y)\right\vert .}$

Связанные метрики

Другие корреляционные метрики, включая корреляционные метрики на основе ядра (такие как критерий независимости Гильберта-Шмидта или HSIC), также могут обнаруживать линейные и нелинейные взаимодействия. Как корреляция расстояния, так и метрики на основе ядра могут использоваться в таких методах, как канонический корреляционный анализ и анализ независимых компонентов, для получения более высокой статистической мощности .

Смотрите также

• Коэффициент RV
• Для получения соответствующей статистики третьего порядка см. Асимметрия расстояния .

Примечания

1. Пирсон 1895a, 1895b
2. Секели, Риццо и Бакиров 2007.
3. Секели и Риццо 2009a.
4. Rizzo & Székely 2021.
5. Секели и Риццо 2014, с. 11.
6. Székely & Rizzo 2009a, с. 1249, Теорема 7, (3.7).
7. Секей и Риццо 2012.
8. Джини 1912.
9. Секей и Риццо 2009b.
10. Székely & Rizzo 2014.
11. Lyons 2014.
12. Клебанов 2005, стр.  ^{[ нужная страница ]} .
13. Бикель и Сюй 2009.
14. Косорок 2009.

Ссылки

• Бикель, Питер Дж.; Сюй, Ин (2009). «Обсуждение: ковариация броуновских расстояний». Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1266–1269. arXiv : 0912.3295 . doi : 10.1214/09-AOAS312A .
• Джини, К. (1912). Вариативность и мутабилитность . Болонья: Типография Паоло Куппини. Бибкод : 1912vamu.book.....G.
• Клебанов, Л.Б. (2005).N -расстояния и их приложения . Прага: Karolinum Press , Карлов университет. ISBN 9788024611525.
• Косорок, Майкл Р. (2009). «Обсуждение: ковариация броуновского расстояния». Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1270–1278. arXiv : 1010.0822 . doi : 10.1214/09-AOAS312B. S2CID  88518490.
• Lyons, Russell (2014). «Ковариация расстояний в метрических пространствах». Анналы вероятности . 41 (5): 3284–3305. arXiv : 1106.5758 . doi : 10.1214/12-AOP803. S2CID  73677891.
• Пирсон, К. (1895a). «Заметка о регрессии и наследовании в случае двух родителей». Труды Королевского общества . 58 : 240–242. Bibcode : 1895RSPS...58..240P.
• Пирсон, К. (1895b). «Заметки об истории корреляции». Biometrika . 13 : 25–45. doi :10.1093/biomet/13.1.25.
• Риццо, Мария; Секей, Габор (22.02.2021). "энергия: E-статистика: многомерный вывод через энергию данных". Версия: 1.7-8 . Получено 31.10.2021 .
• Székely, Gábor J.; Rizzo, Maria L.; Bakirov, Nail K. (2007). «Измерение и проверка независимости с помощью корреляции расстояний». The Annals of Statistics . 35 (6): 2769–2794. arXiv : 0803.4101 . doi : 10.1214/009053607000000505. S2CID  5661488.
• Székely, Gábor J.; Rizzo, Maria L. (2009a). «Броуновская ковариация расстояний». Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1236–1265. doi : 10.1214/09-AOAS312. PMC  2889501. PMID  20574547.
• Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л. (2009b). «Ответ: ковариация броуновского расстояния». Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1303–1308. arXiv : 1010.0844 . doi : 10.1214/09-AOAS312REJ .
• Székely, Gábor J.; Rizzo, Maria L. (2012). «Об уникальности ковариации расстояний». Statistics & Probability Letters . 82 (12): 2278–2282. doi :10.1016/j.spl.2012.08.007.
• Székely, Gabor J.; Rizzo, Maria L. (2014). «Частичная корреляция расстояний с методами для различий». Анналы статистики . 42 (6): 2382–2412. arXiv : 1310.2926 . Bibcode : 2014arXiv1310.2926S. doi : 10.1214/14-AOS1255. S2CID  55801702.

Внешние ссылки

• E-статистика (энергетическая статистика) Архивировано 13.09.2019 на Wayback Machine