Стоксов поток

Тип потока жидкости

На объект, движущийся в газе или жидкости, действует сила , направленная противоположно его движению. Конечная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показана сфера в потоке Стокса с очень низким числом Рейнольдса .

Поток Стокса (названный в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемый ползучим потоком или ползучим движением , ^[1] представляет собой тип потока жидкости , в котором адвективные инерционные силы малы по сравнению с вязкими силами. ^[2] Число Рейнольдса низкое , т.е. Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштабы длины потока очень малы. Ползучее течение было впервые изучено для понимания процесса смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и сперматозоидов . ^[3] В технологии это происходит в красках , устройствах MEMS и в потоке вязких полимеров в целом. ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$

Уравнения движения потока Стокса, называемые уравнениями Стокса, представляют собой линеаризацию уравнений Навье – Стокса и, таким образом, могут быть решены рядом хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. ^[4] Основной функцией Грина потока Стокса является функция Стокса , которая связана с особой точечной силой, встроенной в поток Стокса. Из ее производных можно получить и другие фундаментальные решения . ^[5] Стокслет был впервые выведен Осеном в 1927 году, хотя Хэнкок не называл его таковым до 1953 года. ^[6] Фундаментальные решения в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена , связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской ^[7] и микрополярной ^[8] жидкостей.

Уравнения Стокса

Уравнение движения стоксова потока можно получить путем линеаризации стационарных уравнений Навье – Стокса . Предполагается, что инерционные силы пренебрежимо малы по сравнению с вязкими силами, и исключение инерционных членов баланса количества движения в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу количества движения в уравнениях Стокса: ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

где – напряжение (сумма вязких и сжимающих напряжений), ^{[9] [10]} и приложенная массовая сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в форме: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

где плотность жидкости и скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого потока предполагается, что плотность постоянна. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \rho }$

Более того, иногда можно рассматривать нестационарные уравнения Стокса, в которых этот член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. ^[1] ${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

Характеристики

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. ^{[2] [4] [9] [10]} Они представляют собой упрощение высшего порядка полных уравнений Навье – Стокса, справедливое в отмеченном пределе. ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

Мгновенность

Поток Стокса не зависит от времени, кроме зависящих от времени граничных условий . Это означает, что при заданных граничных условиях потока Стокса поток можно найти, не зная течения в любой другой момент времени.

обратимость времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимость во времени, означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке без его полного решения. Обратимость во времени означает, что трудно смешать две жидкости, используя ползущий поток.

Обратимость стоксовых потоков во времени: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем основной цилиндр вращается, чтобы срезать краситель по спирали, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, возвращая цилиндр в исходное положение. Краситель «растворяется» (нижняя панель). Обратное обращение не является идеальным, поскольку происходит некоторая диффузия красителя. ^{[11] [12]}

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс Стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксова потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального решения уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. ^[13]

Демонстрация обратимости времени

Система Тейлора -Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по видимой спирали. ^[14] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются друг относительно друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным и затем может быть обращено примерно к исходное состояние. Это создает эффектную демонстрацию того, как жидкость смешивается, а затем размешивается, меняя направление миксера. ^{[15] [16] [17]}

Несжимаемое течение ньютоновских жидкостей

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

где – скорость жидкости, – градиент давления , – динамическая вязкость и приложенная массовая сила. Полученные уравнения являются линейными по скорости и давлению и, следовательно, могут использовать преимущества различных средств решения линейных дифференциальных уравнений. ^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Декартовы координаты

С вектором скорости, расширенным как и аналогично вектору объемной силы , мы можем явно написать векторное уравнение: ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что плотность является постоянной. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$ ${\displaystyle \rho }$

Методы решения

По потоковой функции

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случаях.

По функции Грина: Стокслет

Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает существование функции Грина , . Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности: ${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

где – дельта-функция Дирака и представляет собой точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | ты | и p, исчезающее на бесконечности, определяется формулой ^[1] ${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

где

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$

— тензор второго ранга (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (по имени Карла Вильгельма Осеена ). Здесь r r – такая величина, что . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }$

Для описания используются термины Стокслета и решение точечной силы . Аналогично точечному заряду в электростатике , заряд Стокса свободен везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы . ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Для распределения непрерывной силы (плотности) решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено путем суперпозиции: ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Такое интегральное представление скорости можно рассматривать как понижение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей. ^[1]

По решению Папковича–Нейбера

Решение Папковича –Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока через два гармонических потенциала.

Методом граничных элементов

Некоторые задачи, например эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, пригодны для численного решения методом граничных элементов . Этот метод можно применять как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Некоторые геометрии

Поток Хеле-Шоу

Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции пренебрежимо малы. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, частично препятствиями в виде цилиндров с образующими, перпендикулярными пластинам. ^[9]

Теория стройного тела

Теория тонкого тела в стоксовом течении представляет собой простой приближенный метод определения поля безвихревого течения вокруг тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основой метода является выбор распределения особенностей течения вдоль линии (поскольку тело тонкое) так, чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости. ^[9]

Сферические координаты

Общее решение Лэмба возникает из-за того, что давление удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложено в ряд твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

где и – сплошные сферические гармоники порядка : ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$ ${\displaystyle \chi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

и являются соответствующими полиномами Лежандра . Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости как внутри, так и вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого квирмера , или для описания течения внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков термины с опускаются, а для внешних потоков термины с опускаются (часто для внешних потоков предполагается соглашение, позволяющее избежать индексации отрицательными числами). ^[1] ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n\to -n-1}$

Теоремы

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца

Здесь суммировано сопротивление лобовому сопротивлению движущейся сферы, также известное как решение Стокса. Для сферы радиуса , движущейся со скоростью , в стоксовской жидкости с динамической вязкостью сила сопротивления определяется выражением: ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с теми же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации . ^[1]

Теорема Лоренца взаимности

Теорема взаимности Лоренца утверждает связь между двумя потоками Стокса в одной и той же области. Рассмотрим область, заполненную жидкостью, ограниченную поверхностью . Пусть поля скорости и решат уравнения Стокса в области , каждое с соответствующими полями напряжений и . Тогда имеет место следующее равенство: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

Где находится нормальный блок на поверхности . Теорему взаимности Лоренца можно использовать, чтобы показать, что поток Стокса «передает» без изменений общую силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней охватывающей поверхности. ^[1] Теорему взаимности Лоренца также можно использовать для связи скорости плавания микроорганизма, такого как цианобактерия , со скоростью поверхности, которая определяется деформациями формы тела посредством ресничек или жгутиков . ^[19] Теорема взаимности Лоренца также использовалась в контексте упругогидродинамической теории для определения подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся по касательной к поверхности упругой границы раздела при низких числах Рейнольдса . ^{[20] [21]} ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S}$

Законы Факсена

Законы Факсена представляют собой прямые соотношения, которые выражают мультипольные моменты через окружающий поток и его производные. Впервые разработанные Хильдингом Факсеном для расчета силы и крутящего момента на сфере, они принимают следующую форму: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

где – динамическая вязкость, – радиус частицы, – окружающий поток, – скорость частицы, – угловая скорость фонового потока, – угловая скорость частицы. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли. ^[1]

Смотрите также

• Закон Стокса
• Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации
• Закон Дарси
• Поток Хеле-Шоу
• Соскребающий поток Тейлора
• Ламинарный поток
• Теория смазки
• Уравнения Озеена
• Пуазей
• Теория стройного тела
• Объемный расход
• Закон Факсена

Рекомендации

1. Ким, С. и Каррила, С.Дж. (2005) Микрогидродинамика: принципы и избранные приложения , Дувр. ISBN  0-486-44219-5 .
2. Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6 
4. Leal, LG (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса .
5. Чванг А. и Ву Т. (1974). «Гидромеханика потока с малыми числами Рейнольдса. Часть 2. Метод сингулярности для потоков Стокса». Архивировано 7 марта 2012 г. на Wayback Machine . Дж. Гидромеханика. 62 (6), ч. 4, 787–815.
6. Бреннен, Кристофер Э. «Особенности в потоке Стокса» (PDF) . Caltech.edu . п. 1 . Проверено 18 июля 2021 г.
7. Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, Аллен Т. (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Физический обзор E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1201S. doi : 10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID  11414893. S2CID  22258027.
8. Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Бибкод : 2008JEnMa..61...69S. дои : 10.1007/s10665-007-9160-8. S2CID  3450011.
9. Бэтчелор, ГК (2000). Введение в механику жидкости . ISBN 978-0-521-66396-0.
10. Хаппель, Дж. и Бреннер, Х. (1981) Гидродинамика с низким числом Рейнольдса , Springer. ISBN 90-01-37115-9 . 
11. Хеллер, Джон П. (1960). «Несмешиваемая демонстрация». Американский журнал физики . 28 (4): 348–353. Бибкод : 1960AmJPh..28..348H. дои : 10.1119/1.1935802.
12. Эйрих, Фредерик, изд. (1967). Реология: теория и приложения. Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 23. ISBN 9780122343049. Проверено 18 июля 2021 г.
13. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 602–604.
14. К. Дэвид Андерек, С. С. Лю и Гарри Л. Суинни (1986). Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами. Журнал механики жидкости, 164, стр. 155–183 doi:10.1017/S0022112086002513
15. Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , стр.46. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6 . 
16. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Ламинарный поток». YouTube .
17. «Документ без названия».
18. Пейн, Ле; WH Пелл (1960). «Задача Стокса о течении для класса осесимметричных тел». Журнал механики жидкости . 7 (4): 529–549. Бибкод : 1960JFM.....7..529P. дои : 10.1017/S002211206000027X. S2CID  122685039.
19. Стоун, Ховард А.; Сэмюэл, Аравинтан Д.Т. (ноябрь 1996 г.). «Размещение микроорганизмов за счет искажений поверхности». Письма о физических отзывах . 19. 77 (19): 4102–4104. Бибкод : 1996PhRvL..77.4102S. doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4102. ПМИД  10062388.
20. Дадди-Мусса-Идер, А.; Раллабанди, Б.; Гекле, С.; Стоун, ХА (август 2018 г.). «Теорема взаимности для предсказания нормальной силы, действующей на частицу, перемещающуюся параллельно эластичной мембране». Физический обзор жидкостей . 3 (8): 084101. arXiv : 1804.08429 . Бибкод : 2018PhRvF...3h4101D. doi : 10.1103/PhysRevFluids.3.084101. S2CID  55619671.
21. Раллабанди, Б.; Сентивс, Б.; Жюль, Т.; Салез, Т; Шёнекер, К.; Махадеван, Л.; Стоун, штат Джорджия (июль 2017 г.). «Вращение погруженного цилиндра, скользящего вблизи тонкого упругого покрытия». Физический обзор жидкостей . 2 (7): 074102. arXiv : 1611.03552 . Бибкод : 2017PhRvF...2g4102R. doi : 10.1103/PhysRevFluids.2.074102. S2CID  9790910.

• Окендон, Х. и Окендон Дж.Р. (1995) Вязкое течение , издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-45881-1 . 

Внешние ссылки

• Видеодемонстрация обратимости стоксова потока во времени от UNM Physics and Astronomy