Строительство АДХМ

Метод построения инстантонных решений

В математической физике и калибровочной теории конструкция ADHM или конструкция монады — это построение всех инстантонов с использованием методов линейной алгебры, предложенное Майклом Атья , Владимиром Дринфельдом , Найджелом Хитчиным и Юрием И. Маниным в их статье «Построение инстантонов».

Данные ADHM

При построении ADHM используются следующие данные:

• комплексные векторные пространства V и W размерности k и N ,
• k  ×  k комплексные матрицы B ₁ , B ₂ , k  ×  N комплексная матрица I и N  ×  k комплексная матрица  J ,
• карта реального момента ${\displaystyle \mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• сложная карта моментов ${\displaystyle \displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

Тогда конструкция ADHM утверждает, что при определенных условиях регулярности,

• При наличии B ₁ , B ₂ , I , J таких, что , можно построить антисамодуальный инстантон в калибровочной теории SU( N ) с инстантонным номером k , ${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$
• Все антисамодуальные инстантоны могут быть получены таким образом и находятся во взаимно однозначном соответствии с решениями с точностью до поворота U( k ), который действует на каждый B в присоединенном представлении и на I и J через фундаментальное и антифундаментальное представления.
• Метрика на пространстве модулей инстантонов унаследована от плоской метрики на B , I и J.

Обобщения

Некоммутативные инстантоны

В некоммутативной калибровочной теории конструкция ADHM идентична, но отображение моментов устанавливается равным самодуальной проекции матрицы некоммутативности пространства-времени, умноженной на единичную матрицу . В этом случае инстантоны существуют даже тогда, когда калибровочная группа — U(1). Некоммутативные инстантоны были открыты Никитой Некрасовым и Альбертом Шварцем в 1998 году. ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

Вихри

Приравнивая B ₂ и J к нулю, получаем классическое модульное пространство неабелевых вихрей в суперсимметричной калибровочной теории с равным числом цветов и ароматов, как было продемонстрировано в работе Вихри, инстантоны и браны. Обобщение на большее число ароматов появилось в работе Солитоны в фазе Хиггса: подход матрицы модулей. В обоих случаях член Файе–Илиопулоса , определяющий конденсат скварка , играет роль параметра некоммутативности в отображении реального момента.

Формула построения

Пусть x — 4-мерные евклидовы пространственно-временные координаты, записанные в кватернионной нотации. ${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Рассмотрим матрицу 2k ×  ( N  + 2k )

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Тогда условия эквивалентны условию факторизации ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$где f ( x ) — эрмитова матрица размера k × k .

Тогда эрмитов оператор проекции P может быть построен как

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

Нулевое пространство Δ( x ) имеет размерность N для общего x . Базисные векторы для этого нулевого пространства могут быть собраны в матрицу U ( x ) размером ( N  + 2 k ) ×  N с условием ортонормализации U ^† U  = 1.

Условие регулярности на ранге Δ гарантирует условие полноты

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

Антисамодуальная связь затем строится из U по формуле

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

Смотрите также

• Монада (гомологическая алгебра)
• Теория твисторов

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса , Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, MR  0554924
• Атья, Майкл Фрэнсис ; Дринфельд, В.Г .; Хитчин, Нью-Джерси ; Манин, Юрий Иванович (1978), «Построение инстантонов», Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Бибкод : 1978PhLA...65..185A, doi : 10.1016/0375-9601(78)90141- Х, ISSN  0375-9601, МР  0598562
• Хитчин, Н. (1983), «О построении монополей», Commun. Math. Phys. 89, 145–190.