Схема FTCS

В численном анализе метод FTCS (forward time-centered space) представляет собой метод конечных разностей, используемый для численного решения уравнения теплопроводности и аналогичных параболических уравнений с частными производными . ^[1] Это метод первого порядка по времени, явный по времени и условно устойчивый при применении к уравнению теплопроводности. При использовании в качестве метода для уравнений адвекции или, в более общем смысле, гиперболических уравнений с частными производными , он неустойчив, если не включена искусственная вязкость. Аббревиатура FTCS была впервые использована Патриком Роучем. ^{[2] [3]}

Метод

Метод FTCS основан на прямом методе Эйлера во времени (отсюда «прямое время») и центральной разности в пространстве (отсюда «центрированное пространство»), что дает сходимость первого порядка во времени и сходимость второго порядка в пространстве. Например, в одном измерении, если уравнение в частных производных имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

тогда, допуская , прямой метод Эйлера задается выражением: ${\displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

Функция должна быть дискретизирована пространственно с помощью центральной разностной схемы. Это явный метод , который означает, что может быть явно вычислена (нет необходимости решать систему алгебраических уравнений), если известны значения на предыдущем временном уровне . Метод FTCS является вычислительно недорогим, поскольку метод явный. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n)}$

Иллюстрация: одномерное уравнение теплопроводности

Метод FTCS часто применяется к задачам диффузии . Например, для уравнения теплопроводности 1D ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

схема FTCS имеет вид:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

или, допустим : ${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

Стабильность

Метод FTCS для одномерного уравнения теплопроводности, полученный с помощью анализа устойчивости фон Неймана , является численно устойчивым тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.}$

То есть выбор и должен удовлетворять вышеуказанному условию для того, чтобы схема FTCS была стабильной. В двух измерениях условие становится ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.}$

Если мы выберем , то условия устойчивости станут , и для одно-, двух- и трехмерных приложений соответственно. ^[4] ${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$ ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$

Основным недостатком метода FTCS является то, что для задач с большой диффузией приемлемые размеры шагов могут оказаться слишком малыми для практического применения. ${\displaystyle \alpha }$

Для гиперболических уравнений в частных производных линейной тестовой задачей является уравнение адвекции с постоянным коэффициентом , в отличие от уравнения теплопроводности (или уравнения диффузии ), которое является правильным выбором для параболического дифференциального уравнения . Хорошо известно, что для этих гиперболических задач любой выбор приводит к неустойчивой схеме. ^[5] ${\displaystyle \Delta t}$

Смотрите также

• Уравнения с частными производными
• Метод Кранка–Николсона
• Метод конечных разностей во временной области

Ссылки

1. Джон К. Таннехилл; Дейл А. Андерсон ; Ричард Х. Плетчер (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 1-56032-046-X.
2. Патрик Дж. Роуч (1972). Computational Fluid Dynamics (1-е изд.). Hermosa. ISBN 0-913478-05-9.
3. Патрик Дж. Роуч (1998). Computational Fluid Dynamics (2-е изд.). Hermosa. ISBN 0-913478-09-1.
4. Moin, Parviz (2010). Основы инженерного численного анализа (2-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-93263-2. OCLC  692196974.
5. LeVeque, Randall (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач . Cambridge University Press. ISBN 0-521-00924-3.