В математике теорема Акса–Гротендика — это результат об инъективности и сюръективности многочленов , который был доказан независимо Джеймсом Аксом и Александром Гротендиком . [1] [2] [3] [4]
Теорема часто приводится как этот частный случай: если P является инъективной полиномиальной функцией из n -мерного комплексного векторного пространства в себя, то P является биективной . То есть, если P всегда отображает различные аргументы в различные значения, то значения P покрывают все C n . [3] [4]
Полная теорема обобщается на любое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем . [5]
Доказательство теоремы Гротендика [3] [4] основано на доказательстве аналогичной теоремы для конечных полей и их алгебраических замыканий . То есть, для любого поля F, которое само по себе конечно или является замыканием конечного поля, если многочлен P из F n в себя является инъективным, то он является биекцией.
Если F — конечное поле, то F n конечно. В этом случае теорема верна по тривиальным причинам, не имеющим ничего общего с представлением функции в виде полинома: любая инъекция конечного множества в себя является биекцией. Когда F — алгебраическое замыкание конечного поля, результат следует из Nullstellensatz Гильберта . Теорема Акса–Гротендика для комплексных чисел может быть, таким образом, доказана путем демонстрации того, что контрпример над C будет переводиться в контрпример в некотором алгебраическом расширении конечного поля.
Этот метод доказательства примечателен тем, что он является примером идеи о том, что финитные алгебраические отношения в полях характеристики 0 переводятся в алгебраические отношения над конечными полями с большой характеристикой. [3] Таким образом, можно использовать арифметику конечных полей для доказательства утверждения о C, даже если нет гомоморфизма из любого конечного поля в C. Таким образом, доказательство использует теоретико-модельные принципы, такие как теорема о компактности, для доказательства элементарного утверждения о многочленах. Доказательство для общего случая использует аналогичный метод.
Существуют и другие доказательства теоремы. Арман Борель дал доказательство с использованием топологии. [4] Случай n = 1 и поля C следует, поскольку C алгебраически замкнуто, и его также можно рассматривать как частный случай результата, что для любой аналитической функции f на C инъективность f влечет сюръективность f . Это следствие теоремы Пикара .
Другой пример сведения теорем о морфизмах конечного типа к конечным полям можно найти в EGA IV : там доказано, что радикальный S -эндоморфизм схемы X конечного типа над S является биекцией (10.4.11), и что если X / S имеет конечное представление, а эндоморфизм является мономорфизмом, то он является автоморфизмом (17.9.6). Следовательно, схема конечного представления над базой S является кохопфовым объектом в категории S -схем.
Теорема Акса–Гротендика может также использоваться для доказательства теоремы о Эдемском саду , результата, который, как и теорема Акса–Гротендика, связывает инъективность с сюръективностью, но в клеточных автоматах, а не в алгебраических полях. Хотя известны прямые доказательства этой теоремы, доказательство через теорему Акса–Гротендика распространяется шире, на автоматы, действующие на аменабельных группах . [6]
Некоторые частичные обращения теоремы Акса-Гротендика: