Теорема Квиллена–Суслина

Теорема коммутативной алгебры

Теорема Квиллена–Суслина , также известная как проблема Серра или гипотеза Серра , — теорема коммутативной алгебры, касающаяся связи между свободными модулями и проективными модулями над кольцами многочленов . В геометрической постановке это утверждение о тривиальности векторных расслоений на аффинном пространстве .

Теорема утверждает, что каждый конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов свободен .

История

Фон

Геометрически конечно порождённые проективные модули над кольцом соответствуют векторным расслоениям над аффинным пространством , где свободные модули соответствуют тривиальным векторным расслоениям. Это соответствие (от модулей к (алгебраическим) векторным расслоениям) задаётся функтором «глобализации» или «твиддлификации», посылая (Hartshorne II.5, стр. 110). Аффинное пространство топологически стягиваемо , поэтому оно не допускает нетривиальных топологических векторных расслоений. Простое рассуждение с использованием экспоненциальной точной последовательности и леммы Пуанкаре о d-bar показывает, что оно также не допускает нетривиальных голоморфных векторных расслоений . ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle M\to {\widetilde {M}}}$

Жан-Пьер Серр в своей статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents заметил, что соответствующий вопрос неизвестен для алгебраических векторных расслоений: «Неизвестно, существуют ли проективные A -модули конечного типа, которые не являются свободными». ^[1] Вот кольцо многочленов над полем , то есть = . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

К ужасу Серра, эта проблема быстро стала известна как гипотеза Серра. (Серр писал: «Я возражал так часто, как мог [против этого названия]». ^[2] ) Утверждение не следует непосредственно из доказательств, данных в топологическом или голоморфном случае. Эти случаи гарантируют только то, что существует непрерывная или голоморфная тривиализация, а не алгебраическая тривиализация.

Серр добился некоторого прогресса в решении в 1957 году, когда доказал, что каждый конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов над полем стабильно свободен , то есть после образования его прямой суммы с конечно порождённым свободным модулем он становится свободным. Проблема оставалась открытой до 1976 года, когда Дэниел Квиллен и Андрей Суслин независимо доказали результат. Квиллен был награждён медалью Филдса в 1978 году отчасти за доказательство гипотезы Серра. Леонид Васерштейн позже дал более простое и гораздо более короткое доказательство теоремы, которое можно найти в работе Сержа Ланга « Алгебра ».

Обобщение

Обобщение, связывающее проективные модули над регулярными нётеровыми кольцами A и их кольцами многочленов, известно как гипотеза Басса–Квиллена .

Обратите внимание, что хотя все -расслоения на аффинном пространстве тривиальны, это неверно для G -расслоений, где G является общей редуктивной алгебраической группой . ${\displaystyle GL_{n}}$

Примечания

1. «Если игнорировать A -модули, то они будут проектироваться по типу fini qui ne soient pas libres». Серр, КВС , с. 243.
2. Лам, стр. 1

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (март 1955 г.), «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics , Second Series, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Серр, Жан-Пьер (1958), «Проектируемые модули и пространственные волокна в векторном волокне», Семинар П. Дюбрей, М.-Л. Дюбрей-Жакотен и К. Писо, 1957/58, Фаск. 2, Exposé 23 (на французском языке), MR  0177011
• Куиллен, Дэниел (1976), «Проективные модули над кольцами полиномов», Inventiones Mathematicae , 36 (1): 167–171, doi :10.1007/BF01390008, MR  0427303
• Суслин, Андрей А. (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободныПроективные модули над кольцами многочленов свободны // Доклады АН СССР . Т. 229 , вып. 5. С. 1063–1066. МР  0469905. Перевод в «Проективные модули над кольцами многочленов свободны», Советская математика , 17 (4): 1160–1164, 1976.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556

Отчет по этой теме предоставлен:

• Лам, Цит Юэн (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Springer Monographs in Mathematics, Берлин; Нью-Йорк: Springer Science+Business Media , стр. 300 стр., ISBN 978-3-540-23317-6, г-н  2235330