Теорема Рисса–Фишера

В математике теорема Рисса–Фишера в вещественном анализе — это один из ряда тесно связанных результатов, касающихся свойств пространства L 2 квадратично интегрируемых функций. Теорема была доказана независимо в 1907 году Фридьешем Риссом и Эрнстом Сигизмундом Фишером .

Для многих авторов теорема Рисса–Фишера указывает на то, что пространства Lp из теории интегрирования Лебега являются полными . ${\displaystyle L^{p}}$

Современные формы теоремы

Наиболее общая форма теоремы гласит, что измеримая функция на является квадратично интегрируемой тогда и только тогда, когда соответствующий ряд Фурье сходится в пространстве Lp Это означает, что если N -я частичная сумма ряда Фурье, соответствующая квадратично интегрируемой функции f, задается выражением , где n - й коэффициент Фурье , задается выражением , то где - норма . ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}.}$ $${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},}$$ ${\displaystyle F_{n},}$ $${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}f-f\right\|_{2}=0,}$$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Наоборот, если — двусторонняя последовательность комплексных чисел (то есть ее индексы лежат в диапазоне от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности), такая, что существует функция f, такая что f является квадратично интегрируемой, а значения являются коэффициентами Фурье функции f . ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Эта форма теоремы Рисса–Фишера является более сильной формой неравенства Бесселя и может быть использована для доказательства тождества Парсеваля для рядов Фурье .

Другие результаты часто называют теоремой Рисса–Фишера (Dunford & Schwartz 1958, §IV.16). Среди них есть теорема о том, что если A — ортонормированное множество в гильбертовом пространстве H , и тогда для всех, кроме счетного числа и Более того, если A — ортонормированный базис для H и x — произвольный вектор, ряд сходится коммутативно (или безусловно ) к x . Это эквивалентно утверждению, что для каждого существует конечное множество в A такое, что для каждого конечного множества B, содержащего B ₀ . Более того, следующие условия на множество A эквивалентны: ${\displaystyle x\in H,}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$$ ${\displaystyle y\in A,}$ $${\displaystyle \sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}.}$$ $${\displaystyle \sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y}$$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle B_{0}}$ $${\displaystyle \|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\|<\varepsilon }$$

• множество A является ортонормированным базисом H
• для каждого вектора ${\displaystyle x\in H,}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}$$

Другим результатом, который также иногда носит имя Рисса и Фишера, является теорема о том, что (или в более общем смысле ) является полным . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p},0<p\leq \infty }$

Пример

Теорема Рисса–Фишера применима и в более общей ситуации. Пусть R — пространство внутреннего произведения, состоящее из функций (например, измеримых функций на прямой, аналитических функций в единичном круге; в старой литературе иногда называемое евклидовым пространством), и пусть — ортонормированная система в R (например, базис Фурье, полиномы Эрмита или Лагерра и т. д. — см. ортогональные полиномы ), не обязательно полная (в пространстве внутреннего произведения ортонормированное множество является полным , если ни один ненулевой вектор не ортогонален каждому вектору в множестве). Теорема утверждает, что если нормированное пространство R является полным (таким образом, R является гильбертовым пространством ), то любая последовательность , имеющая конечную норму, определяет функцию f в пространстве R . ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Функция f определяется пределом в R -норме. ${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k},}$

В сочетании с неравенством Бесселя мы знаем и обратное: если f — функция из R , то коэффициенты Фурье имеют конечную норму . ${\displaystyle (f,\varphi _{n})}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

История: Записка Рисса и Записка Фишера (1907)

В своей заметке Рисс (1907, стр. 616) приводит следующий результат (переведенный здесь на современный язык в одном месте: эта нотация не использовалась в 1907 году). ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

Пусть — ортонормированная система в и последовательность действительных чисел. Сходимость ряда является необходимым и достаточным условием существования функции f такой, что ${\displaystyle \left\{\varphi _{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}^{2}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}\quad {\text{ for every }}n.}$$

Сегодня этот результат Рисса является частным случаем основных фактов о рядах ортогональных векторов в гильбертовых пространствах.

Заметка Рисса появилась в марте. В мае Фишер (1907, стр. 1023) прямо утверждает в теореме (почти современными словами), что последовательность Коши в сходится в -норме к некоторой функции В этой заметке последовательности Коши называются « последовательностями, сходящимися в среднем » и обозначаются Также сходимость к пределу в -норме называется « сходимостью в среднем к функции ». Вот это утверждение, переведенное с французского: ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}([a,b]).}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Теорема. Если последовательность функций, принадлежащих к , сходится в среднем, то существует функция f , к которой последовательность сходится в среднем. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Фишер продолжает доказывать предыдущий результат Рисса как следствие ортогональности системы и полноты ${\displaystyle L^{2}.}$

Доказательство Фишера полноты является несколько косвенным. Оно использует тот факт, что неопределенные интегралы функций g _n в заданной последовательности Коши, а именно, равномерно сходятся к некоторой функции G , непрерывной с ограниченной вариацией. Существование предела для последовательности Коши получается путем применения к G теорем дифференцирования из теории Лебега. Рисс использует похожее рассуждение в своей Заметке, но не делает явного упоминания о полноте , хотя его результат можно интерпретировать таким образом. Он говорит, что интегрируя почленно тригонометрический ряд с заданными квадратично суммируемыми коэффициентами, он получает ряд, равномерно сходящийся к непрерывной функции F   с ограниченной вариацией. Производная f   от F , определенная почти всюду, квадратично суммируема и имеет для коэффициентов Фурье заданные коэффициенты. $${\displaystyle G_{n}(x)=\int _{a}^{x}g_{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g\in L^{2}}$
${\displaystyle L^{2},}$

ПолнотаЛп, 0

Для некоторых авторов, в частности, Ройдена, ^[1] теорема Рисса-Фишера является результатом, который является полным : что каждая последовательность Коши функций в сходится к функции в под метрикой, индуцированной p -нормой. Доказательство ниже основано на теоремах о сходимости для интеграла Лебега ; результат может быть также получен для , показав, что каждая последовательность Коши имеет быстро сходящуюся подпоследовательность Коши, что каждая последовательность Коши со сходящейся подпоследовательностью сходится, и что каждая быстро последовательность Коши в сходится в ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$

Когда неравенство Минковского подразумевает, что пространство Lp является нормированным пространством. Чтобы доказать, что является полным, т.е. что является банаховым пространством , достаточно (см., например, Банахово пространство#Определение ) доказать, что каждый ряд функций из такой, что сходится в -норме к некоторой функции Для неравенства Минковского и теоремы о монотонной сходимости следует, что определено –почти всюду и Теорема о доминирующей сходимости затем используется для доказательства того, что частичные суммы ряда сходятся к f в -норме, ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \sum u_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ $${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}<\infty }$$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p<\infty ,}$ $${\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}\right)^{p}<\infty ,\ \ {\text{ hence }}\ \ f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

Случай требует некоторых изменений, поскольку p -норма больше не является субаддитивной. Начинаем с более сильного предположения, что и используем многократно, что Случай сводится к простому вопросу о равномерной сходимости вне -пренебрежимого множества. ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty }$$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ when }}p<1}$$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

Смотрите также

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным

Ссылки

1. Ройден, HL (13 февраля 2017 г.). Реальный анализ . Фицпатрик, Патрик, 1946- (Четвертое изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк. ISBN 9780134689494. OCLC  964502015.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Билс, Ричард (2004), Анализ: Введение , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience.
• Фишер, Эрнст (1907), «Sur la Convergence en moyenne», Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 144 : 1022–1024..
• Рис, Фридьес (1907), «Sur les systèmes ортогональные функции», Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 144 : 615–619.