Теорема Хассе–Минковского — фундаментальный результат в теории чисел , утверждающий, что две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они локально эквивалентны во всех местах , т. е. эквивалентны над каждым топологическим пополнением поля (которое может быть действительным , комплексным или p-адическим ). Связанный с этим результат состоит в том, что квадратичное пространство над числовым полем изотропно тогда и только тогда, когда оно изотропно локально всюду, или, что эквивалентно, что квадратичная форма над числовым полем нетривиально представляет ноль тогда и только тогда, когда это справедливо для всех пополнений поля. Теорема была доказана в случае поля рациональных чисел Германом Минковским и обобщена на числовые поля Гельмутом Хассе . То же самое утверждение справедливо даже в более общем случае для всех глобальных полей .
Важность теоремы Хассе–Минковского заключается в новой парадигме, которую она представила для ответа на арифметические вопросы: чтобы определить, имеет ли уравнение определенного типа решение в рациональных числах, достаточно проверить, имеет ли оно решения в полных полях действительных и p -адических чисел, где можно применить аналитические методы, такие как метод Ньютона и его p -адический аналог лемма Гензеля . Это первый значительный пример локально-глобального принципа , одного из самых фундаментальных методов в арифметической геометрии .
Теорема Хассе–Минковского сводит задачу классификации квадратичных форм над числовым полем K с точностью до эквивалентности к множеству аналогичных, но гораздо более простых вопросов над локальными полями . Основными инвариантами невырожденной квадратичной формы являются ее размерность , которая является положительным целым числом, и ее дискриминант по модулю квадратов в K , который является элементом мультипликативной группы K * / K *2 . Кроме того, для каждого места v из K , существует инвариант, вытекающий из пополнения K v . В зависимости от выбора v , этим пополнением могут быть действительные числа R , комплексные числа C или поле p-адических чисел , каждое из которых имеет различные виды инвариантов:
Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: отношению четности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения (локально-глобальному отношению). Наоборот, для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим отношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.