Теория Гинзбурга–Ландау

Теория сверхпроводимости

В физике , теория Гинзбурга-Ландау , часто называемая теорией Ландау-Гинзбурга , названная в честь Виталия Гинзбурга и Льва Ландау , является математической физической теорией , используемой для описания сверхпроводимости . В своей первоначальной форме она постулировалась как феноменологическая модель , которая могла бы описывать сверхпроводники I типа без изучения их микроскопических свойств. Одним из сверхпроводников GL-типа является знаменитый YBCO , и вообще все купраты . ^[1]

Позднее Лев Горьков вывел версию теории Гинзбурга–Ландау из микроскопической теории Бардина–Купера–Шриффера ^[2] , тем самым показав, что она также появляется в некотором пределе микроскопической теории, и дав микроскопическую интерпретацию всех ее параметров. Теории также можно придать общую геометрическую постановку, поместив ее в контекст римановой геометрии , где во многих случаях могут быть даны точные решения. Эта общая постановка затем распространяется на квантовую теорию поля и теорию струн , опять же из-за ее разрешимости и ее тесной связи с другими, похожими системами.

Введение

Основываясь на ранее установленной Ландау теории фазовых переходов второго рода , Гинзбург и Ландау утверждали, что плотность свободной энергии сверхпроводника вблизи сверхпроводящего перехода может быть выражена в терминах комплексного поля параметра порядка , где величина является мерой локальной плотности сверхпроводящих электронов, аналогичной квантово-механической волновой функции . ^[2] В то время как является ненулевым ниже фазового перехода в сверхпроводящее состояние, в оригинальной статье не было дано прямой интерпретации этого параметра. Предполагая малость и малость ее градиентов , плотность свободной энергии имеет форму теории поля и демонстрирует калибровочную симметрию U(1): ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}}$ ${\displaystyle |\psi (r)|^{2}}$ ${\displaystyle n_{s}(r)}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle |\psi |}$

$${\displaystyle f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},}$$

где

• ${\displaystyle f_{n}}$— плотность свободной энергии нормальной фазы,
• ${\displaystyle \alpha (T)}$и являются феноменологическими параметрами, которые являются функциями T (и часто записываются просто и ). ${\displaystyle \beta (T)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle m^{*}}$- эффективная масса ,
• ${\displaystyle e^{*}}$— эффективный заряд (обычно , где e — заряд электрона), ${\displaystyle 2e}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$- магнитный векторный потенциал , а
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$это магнитное поле.

Полная свободная энергия определяется как . Минимизируя по отношению к вариациям параметра порядка и векторного потенциала , приходим к уравнениям Гинзбурга–Ландау ${\displaystyle F=\int f_{s}d^{3}r}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right\},}$$

где обозначает плотность электрического тока без рассеяния , а Re — действительную часть . Первое уравнение, которое имеет некоторое сходство с независимым от времени уравнением Шредингера , но принципиально отличается из-за нелинейного члена, определяет параметр порядка, . Второе уравнение затем обеспечивает сверхпроводящий ток. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi }$

Простая интерпретация

Рассмотрим однородный сверхпроводник, в котором нет сверхпроводящего тока, и уравнение для ψ упрощается до: $${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.}$$

Это уравнение имеет тривиальное решение: ψ = 0. Это соответствует нормальному проводящему состоянию, то есть для температур выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T _c .

Ниже температуры сверхпроводящего перехода, как ожидается, приведенное выше уравнение будет иметь нетривиальное решение (то есть ). При этом предположении приведенное выше уравнение можно переписать в: ${\displaystyle \psi \neq 0}$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.}$$

Когда правая часть этого уравнения положительна, существует ненулевое решение для ψ (помните, что величина комплексного числа может быть положительной или нулевой). Этого можно достичь, предположив следующую температурную зависимость с : ${\displaystyle \alpha :\alpha (T)=\alpha _{0}(T-T_{\rm {c}})}$ ${\displaystyle \alpha _{0}/\beta >0}$

• Выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T _c , выражение α ( T ) / β положительно, а правая часть уравнения выше отрицательна. Величина комплексного числа должна быть неотрицательным числом, поэтому только ψ = 0 решает уравнение Гинзбурга–Ландау.
• Ниже температуры сверхпроводящего перехода, T < T _c , правая часть уравнения выше положительна и существует нетривиальное решение для ψ . Более того, ψ стремится к нулю по мере приближения T к T _c снизу. Такое поведение типично для фазового перехода второго рода. $${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}$$

В теории Гинзбурга–Ландау предполагалось, что электроны, способствующие сверхпроводимости, образуют сверхтекучую жидкость . ^[3] В этой интерпретации | ψ | ² указывает на долю электронов, которые сконденсировались в сверхтекучую жидкость. ^[3]

Длина когерентности и глубина проникновения

Уравнения Гинзбурга–Ландау предсказали две новые характерные длины в сверхпроводнике. Первая характерная длина была названа длиной когерентности , ξ . Для T > T _c (нормальная фаза) она определяется как

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.}$

в то время как для T < T _c (сверхпроводящая фаза), где это более актуально, оно определяется как

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.}$

Она устанавливает экспоненциальный закон, согласно которому малые возмущения плотности сверхпроводящих электронов восстанавливают свое равновесное значение ψ ₀ . Таким образом, эта теория характеризует все сверхпроводники двумя масштабами длины. Второй из них — глубина проникновения λ . Ранее она была введена братьями Лондон в их теории Лондон . Выраженная через параметры модели Гинзбурга–Ландау, она имеет вид

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},}$

где ψ ₀ — равновесное значение параметра порядка в отсутствие электромагнитного поля. Глубина проникновения задает экспоненциальный закон, по которому внешнее магнитное поле затухает внутри сверхпроводника.

Первоначальная идея о параметре κ принадлежит Ландау. Отношение κ = λ / ξ в настоящее время известно как параметр Гинзбурга–Ландау. Ландау предположил, что сверхпроводниками I рода являются те, у которых 0 < κ < 1/ √ 2 , а сверхпроводниками II рода — те, у которых κ > 1/ √ 2 .

Колебания

Фазовый переход из нормального состояния является переходом второго рода для сверхпроводников II типа с учетом флуктуаций, как показали Дасгупта и Гальперин, тогда как для сверхпроводников I типа он является переходом первого рода, как показали Гальперин, Лубенски и Ма. ^[4]

Классификация сверхпроводников

В оригинальной статье Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от энергии интерфейса между нормальным и сверхпроводящим состояниями. Состояние Мейсснера разрушается, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот разрыв. В сверхпроводниках I типа сверхпроводимость резко разрушается, когда напряженность приложенного поля превышает критическое значение H _c . В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние ^[5], состоящее из барочного узора ^[6] областей нормального материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащими поля. В сверхпроводниках II типа увеличение приложенного поля выше критического значения H _{c 1} приводит к смешанному состоянию (также известному как вихревое состояние), в котором все большее количество магнитного потока проникает в материал, но не остается сопротивления потоку электрического тока, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля H _{c 2} сверхпроводимость разрушается. Смешанное состояние на самом деле вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, иногда называемыми флюксонами , поскольку поток, переносимый этими вихрями, квантуется . Большинство чистых элементарных сверхпроводников, за исключением ниобия и углеродных нанотрубок , относятся к типу I, тогда как почти все нечистые и составные сверхпроводники относятся к типу II.

Самое важное открытие теории Гинзбурга-Ландау было сделано Алексеем Абрикосовым в 1957 году. Он использовал теорию Гинзбурга-Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике II рода в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок вихрей потока . ^[7]

Геометрическая формулировка

Функционал Гинзбурга–Ландау может быть сформулирован в общем случае комплексного векторного расслоения над компактным римановым многообразием . ^[8] Это тот же функционал, что и приведенный выше, транспонированный в обозначения, обычно используемые в римановой геометрии. В нескольких интересных случаях можно показать, что он демонстрирует те же явления, что и выше, включая вихри Абрикосова (см. обсуждение ниже).

Для комплексного векторного расслоения над римановым многообразием со слоем параметр порядка понимается как сечение векторного расслоения . Тогда функционал Гинзбурга–Ландау является лагранжианом для этого сечения: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

Здесь используются следующие обозначения. Предполагается, что волокна снабжены эрмитовым внутренним произведением , так что квадрат нормы записывается как . Феноменологические параметры и были поглощены, так что потенциальный энергетический член представляет собой потенциал мексиканской шляпы четвертой степени ; т.е., демонстрирующий спонтанное нарушение симметрии с минимумом при некотором действительном значении . Интеграл явно берется по объемной форме ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}}$

для -мерного многообразия с определителем метрического тензора . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$

Это однократная форма связи и это соответствующая 2-форма кривизны (это не то же самое, что свободная энергия, приведенная выше; здесь соответствует тензору напряженности электромагнитного поля ). Соответствует векторному потенциалу , но в общем случае неабелев, когда , и нормируется по-разному. В физике принято записывать связь как для электрического заряда и векторного потенциала ; в римановой геометрии удобнее отбросить (и все другие физические единицы) и взять однократную форму , принимающую значения в алгебре Ли, соответствующей группе симметрии волокна. Здесь группа симметрии — это SU(n) , поскольку это оставляет скалярное произведение инвариантным; поэтому здесь — форма, принимающая значения в алгебре . ${\displaystyle D=d+A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle d-ieA}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Кривизна обобщает напряженность электромагнитного поля на неабелеву установку, как форму кривизны аффинной связности на векторном расслоении . Это традиционно записывается как ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=D\circ D=dA+A\wedge A=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}$

То есть, каждая из них является кососимметричной матрицей. (См. статью о метрической связи для дополнительного пояснения этой конкретной нотации.) Чтобы подчеркнуть это, отметим, что первый член функционала Гинзбурга–Ландау, включающий только напряженность поля, равен ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}$

что является просто действием Янга–Миллса на компактном римановом многообразии.

Уравнения Эйлера –Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау — это уравнения Янга–Миллса ^[9]

${\displaystyle D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

и

${\displaystyle D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

где — сопряженный к , аналогичный кодифференциалу . Обратите внимание, что они тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса . ${\displaystyle D^{*}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta =d^{*}}$

Конкретные результаты

В теории струн принято изучать функционал Гинзбурга–Ландау для многообразия, являющегося римановой поверхностью , и принимая ; т. е. линейное расслоение . ^[10] Явление вихрей Абрикосова сохраняется в этих общих случаях, включая , где можно указать любое конечное множество точек, где обращается в нуль, включая кратность. ^[11] Доказательство обобщается на произвольные римановы поверхности и кэлеровы многообразия . ^{[12] [13] [14] [15]} В пределе слабой связи можно показать, что равномерно сходится к 1, в то время как и равномерно сходятся к нулю, а кривизна становится суммой по распределениям дельта-функций на вихрях. ^[16] Сумма по вихрям с кратностью как раз равна степени линейного расслоения; в результате можно записать линейное расслоение на римановой поверхности как плоское расслоение с N особыми точками и ковариантно постоянным сечением. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert }$ ${\displaystyle D\psi }$ ${\displaystyle dA}$

Когда многообразие является четырехмерным, обладающим структурой спина ^c , то можно написать очень похожий функционал, функционал Зайберга–Виттена , который может быть проанализирован аналогичным образом и который обладает многими похожими свойствами, включая самодуальность. Когда такие системы интегрируемы , они изучаются как системы Хитчина .

Самодвойственность

Когда многообразие является римановой поверхностью , функционал можно переписать так, чтобы явно показать самодуальность. Это достигается путем записи внешней производной в виде суммы операторов Дольбо . Аналогично, пространство одноформ над римановой поверхностью распадается на пространство, которое является голоморфным, и пространство, которое является антиголоморфным: , так что формы в голоморфны в и не зависят от ; и наоборот для . Это позволяет записать векторный потенциал как и аналогично с и . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=\Sigma }$ ${\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}}$ ${\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}$

Для случая , когда волокно расположено так, что пучок представляет собой линейный пучок , напряженность поля можно аналогично записать как ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}$

Обратите внимание, что в используемом здесь соглашении о знаках и являются чисто мнимыми ( то есть U(1) генерируется, так что производные являются чисто мнимыми). Тогда функционал становится ${\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

Интеграл понимается по объемной форме

${\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}}$,

так что

${\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}$

- это общая площадь поверхности . Это звезда Ходжа , как и прежде. Степень линейного пучка над поверхностью равна ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}$

где находится первый класс Черна . ${\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}$

Лагранжиан минимизируется (стационарен) при решении уравнений Гинзберга–Ландау ${\displaystyle \psi ,A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что оба эти уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка, явно самодуальными. Интегрируя второе из них, можно быстро обнаружить, что нетривиальное решение должно подчиняться

${\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma }$.

Грубо говоря, это можно интерпретировать как верхний предел плотности вихрей Абрикосова. Можно также показать, что решения ограничены; необходимо иметь . ${\displaystyle |\psi |\leq \sigma }$

В теории струн

В физике элементарных частиц любая квантовая теория поля с уникальным классическим вакуумным состоянием и потенциальной энергией с вырожденной критической точкой называется теорией Ландау–Гинзбурга. Обобщение до N  = (2,2) суперсимметричных теорий в 2 пространственно-временных измерениях было предложено Кумруном Вафой и Николасом Уорнером в ноябре 1988 года; ^[17] в этом обобщении предполагается, что суперпотенциал обладает вырожденной критической точкой. В том же месяце вместе с Брайаном Грином они утверждали, что эти теории связаны потоком ренормгруппы с сигма-моделями на многообразиях Калаби–Яу . ^[18] В своей статье 1993 года «Фазы N  = 2 теорий в двух измерениях» Эдвард Виттен утверждал, что теории Ландау–Гинзбурга и сигма-модели на многообразиях Калаби–Яу являются разными фазами одной и той же теории. ^[19] Конструкция такой дуальности была получена путем связывания теории Громова–Виттена орбифолдов Калаби–Яу с теорией FJRW, аналогичной теории Ландау–Гинзбурга «FJRW». ^[20] Сигма-модели Виттена позднее использовались для описания низкоэнергетической динамики 4-мерных калибровочных теорий с монополями, а также бранных конструкций. ^[21]

Смотрите также

• Закрепление потока
• Уравнение Гросса–Питаевского
• теория Ландау
• Уравнение Стюарта–Ландау
• Реакционно-диффузионные системы
• Квантовый вихрь
• пучок Хиггса
• Граница Богомольный – Прасад – Соммерфилд

Ссылки

1. Wesche, Rainer (2017). "Высокотемпературные сверхпроводники" (PDF) . Springer Handbook of Electronic and Photonic Materials . Springer Handbooks. стр. 1233. doi :10.1007/978-3-319-48933-9_50. ISBN 978-3-319-48931-5.
2. Tsuei, CC; Kirtley, JR Симметрия спаривания в купратных сверхпроводниках (PDF) . IBM Thomas J. Watson Research Center. стр. 970.
3. Гинзбург ВЛ (июль 2004). «О сверхпроводимости и сверхтекучести (что удалось и не удалось), а также о «физическом минимуме» в начале XXI века». ChemPhysChem . 5 (7): 930–945. doi :10.1002/cphc.200400182. PMID  15298379.
4. Гальперин, Б.; Лубенский, Т.; Ма, С. (11 февраля 1974 г.). «Фазовые переходы первого порядка в сверхпроводниках и смектических-А жидких кристаллах». Physical Review Letters . 32 (6): 292–295. Bibcode :1974PhRvL..32..292H. doi :10.1103/PhysRevLett.32.292 . Получено 7 апреля 2022 г. .
5. Лев Д. Ландау; Евгений М. Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том 8. Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2634-7.
6. Дэвид Дж. Э. Каллауэй (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Nuclear Physics B. 344 ( 3): 627–645. Bibcode : 1990NuPhB.344..627C. doi : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
7. Абрикосов, АА (1957). Магнитные свойства сверхпроводящих сплавов. Журнал физики и химии твердого тела , 2(3), 199–208.
8. Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга–Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (третье изд.). Springer-Verlag. стр. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
9. Йост, Юрген (2008). «Функционал Гинзбурга–Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (пятое изд.). Springer-Verlag. стр. 521–522. ISBN 978-3-540-77340-5.
10. Хитчин, Нью-Джерси (1987). «Уравнения самодвойственности на римановой поверхности». Труды Лондонского математического общества . s3-55 (1): 59–126. doi :10.1112/plms/s3-55.1.59. ISSN  0024-6115.
11. Таубс, Клиффорд Генри (1980). «Произвольные решения N-вихрей для уравнений Гинзбурга-Ландау первого порядка». Сообщения по математической физике . 72 (3). Springer Science and Business Media LLC: 277–292. Bibcode :1980CMaPh..72..277T. doi :10.1007/bf01197552. ISSN  0010-3616. S2CID  122086974.
12. Брэдлоу, Стивен Б. (1990). «Вихри в голоморфных линейных расслоениях над замкнутыми кэлеровыми многообразиями». Сообщения по математической физике . 135 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1–17. Bibcode : 1990CMaPh.135....1B. doi : 10.1007/bf02097654. ISSN  0010-3616. S2CID  59456762.
13. Брэдлоу, Стивен Б. (1991). «Специальные метрики и устойчивость для голоморфных расслоений с глобальными сечениями». Журнал дифференциальной геометрии . 33 (1). International Press of Boston: 169–213. doi : 10.4310/jdg/1214446034 . ISSN  0022-040X.
14. Гарсия-Прада, Оскар (1993). «Инвариантные связи и вихри». Сообщения по математической физике . 156 (3). Springer Science and Business Media LLC: 527–546. Bibcode : 1993CMaPh.156..527G. doi : 10.1007/bf02096862. ISSN  0010-3616. S2CID  122906366.
15. Гарсия-Прада, Оскар (1994). «Прямое доказательство существования уравнений вихрей над компактной римановой поверхностью». Бюллетень Лондонского математического общества . 26 (1). Wiley: 88–96. doi :10.1112/blms/26.1.88. ISSN  0024-6093.
16. MC Hong, J, Jost, M Struwe, «Асимптотические пределы функционала типа Гинзберга-Ландау», Геометрический анализ и вариационное исчисление для Стефана Хильдебрандта (1996) International Press (Бостон), стр. 99-123.
17. Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (февраль 1989). «Катастрофы и классификация конформных теорий». Physics Letters B. 218 ( 1): 51–58. Bibcode : 1989PhLB..218...51V. doi : 10.1016/0370-2693(89)90473-5.
18. Грин, BR; Вафа, C.; Уорнер, NP (сентябрь 1989). «Многообразия Калаби-Яу и потоки ренормгруппы». Nuclear Physics B. 324 ( 2): 371–390. Bibcode :1989NuPhB.324..371G. doi :10.1016/0550-3213(89)90471-9.
19. Виттен, Эдвард (16 августа 1993 г.). «Фазы теорий N = 2 в двух измерениях». Nuclear Physics B . 403 (1): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Bibcode :1993NuPhB.403..159W. doi :10.1016/0550-3213(93)90033-L. S2CID  16122549.
20. Фань, Хуэйцзюнь; Джарвис, Тайлер; Руан, Йонбин (1 июля 2013 г.). «Уравнение Виттена, зеркальная симметрия и теория квантовой сингулярности». Annals of Mathematics . 178 (1): 1–106. arXiv : 0712.4021 . doi : 10.4007/annals.2013.178.1.1 . S2CID  115154206.
21. Гайотто, Давиде ; Гуков, Сергей ; Зайберг, Натан (2013), «Поверхностные дефекты и растворители», Журнал физики высоких энергий , 2013 (9): 70, arXiv : 1307.2578 , Bibcode : 2013JHEP...09..070G, doi : 10.1007/JHEP09(2013)070, S2CID  118498045

Статьи

• В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау, ЖЭТФ, 20 , 1064 (1950). Английский перевод в: Л. Д. Ландау, Сборник статей (Оксфорд: Pergamon Press, 1965) стр. 546
• А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32 , 1442 (1957) (перевод на английский: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) Оригинальная работа Абрикосова о вихревой структуре сверхпроводников II рода, полученная как решение уравнений Г–Л при κ > 1/√2
• Л. П. Горьков, ЖЭТФ 36 , 1364 (1959)
• Нобелевская лекция А.А. Абрикосова 2003 года: файл pdf или видео
• Нобелевская лекция В. Л. Гинзбурга 2003 года: файл pdf или видео