теория Ландау

Теория непрерывных фазовых переходов

Теория Ландау (также известная как теория Гинзбурга–Ландау , несмотря на запутанное название ^[1] ) в физике — это теория, которую Лев Ландау ввел в попытке сформулировать общую теорию непрерывных (т. е. второго рода) фазовых переходов . ^[2] Ее также можно адаптировать к системам, находящимся под действием внешних полей, и использовать в качестве количественной модели для прерывистых (т. е. первого рода) переходов. Хотя эта теория теперь заменена формулировками ренормгруппы и теории масштабирования, она остается исключительно широкой и мощной основой для фазовых переходов, а связанная с ней концепция параметра порядка как дескриптора существенного характера перехода оказалась преобразующей.

Формулировка среднего поля (без долгосрочной корреляции)

Ландау был мотивирован предположить, что свободная энергия любой системы должна подчиняться двум условиям:

• Будьте аналитичны в отношении параметра порядка и его градиентов.
• Соблюдайте симметрию гамильтониана .

Учитывая эти два условия, можно записать (вблизи критической температуры T _c ) феноменологическое выражение для свободной энергии в виде разложения Тейлора по параметру порядка .

Переходы второго рода

Эскиз свободной энергии как функции параметра порядка ${\displaystyle \eta }$

Рассмотрим систему, которая нарушает некоторую симметрию ниже фазового перехода, который характеризуется параметром порядка . Этот параметр порядка является мерой порядка до и после фазового перехода; параметр порядка часто равен нулю выше некоторой критической температуры и отличен от нуля ниже критической температуры. В простой ферромагнитной системе, такой как модель Изинга , параметр порядка характеризуется чистой намагниченностью , которая становится спонтанно отличной от нуля ниже критической температуры . В теории Ландау рассматривается функционал свободной энергии, который является аналитической функцией параметра порядка. Во многих системах с определенными симметриями свободная энергия будет функцией только четных степеней параметра порядка, для которых ее можно выразить как разложение в ряд ^[3] ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }$

В общем случае в свободной энергии присутствуют члены более высокого порядка, но разумным приближением является рассмотрение ряда до четвертого порядка по параметру порядка, пока параметр порядка мал. Для того чтобы система была термодинамически устойчивой (то есть система не стремится к бесконечному параметру порядка для минимизации энергии), коэффициент при самой высокой четной степени параметра порядка должен быть положительным, поэтому . Для простоты можно предположить, что , константа, вблизи критической температуры. Кроме того, поскольку меняет знак выше и ниже критической температуры, можно аналогичным образом разложить , где предполагается, что для высокотемпературной фазы, а для низкотемпературной фазы, чтобы произошел переход. При этих предположениях минимизация свободной энергии относительно параметра порядка требует ${\displaystyle b(T)>0}$ ${\displaystyle b(T)=b_{0}}$ ${\displaystyle a(T)}$ ${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

Решение для параметра порядка, удовлетворяющее этому условию, равно либо , либо ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

Параметр порядка и удельная теплоемкость как функция температуры

Ясно, что это решение существует только для , в противном случае это единственное решение. Действительно, является минимальным решением для , но решение минимизирует свободную энергию для , и, таким образом, является стабильной фазой. Более того, параметр порядка следует соотношению ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{c}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$ ${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

ниже критической температуры, что указывает на критический показатель для этой модели теории среднего Ландау. ${\displaystyle \beta =1/2}$

Свободная энергия будет изменяться в зависимости от температуры, определяемой формулой

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

Из свободной энергии можно вычислить удельную теплоемкость,

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

которая имеет конечный скачок при критической температуре размера . Этот конечный скачок, следовательно, не связан с разрывом, который произошел бы, если бы система поглощала скрытую теплоту , так как . Также следует отметить, что разрыв в удельной теплоте связан с разрывом во второй производной свободной энергии, что характерно для фазового перехода второго рода. Кроме того, тот факт, что удельная теплота не имеет расходимости или точки возврата в критической точке, указывает на ее критический показатель для . ${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$ ${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Неприводимые представления

Ландау расширил свою теорию, чтобы рассмотреть ограничения, которые она накладывает на симметрии до и после перехода второго порядка. Они должны соответствовать ряду требований:

• Искаженная (или упорядоченная) симметрия должна быть подгруппой более высокой симметрии.
• Параметр порядка, воплощающий искажение, должен преобразовываться как единое неприводимое представление (irrep) родительской симметрии.
• Нереализованная информация не должна содержать инвариант третьего порядка.
• Если нереализованная модель допускает более одного инварианта четвертого порядка, то результирующая симметрия минимизирует линейную комбинацию этих инвариантов.

В последнем случае более чем одна дочерняя структура должна быть достижима посредством непрерывного перехода. Хорошим примером этого являются структура MnP (пространственная группа Cmca) и низкотемпературная структура NbS (пространственная группа P6 ₃ mc). Они обе являются дочерними структурами NiAs-структуры, и их искажения преобразуются в соответствии с тем же необратимым эффектом этой пространственной группы. ^[4]

Прикладные области

Во многих системах можно рассмотреть возмущающее поле , которое линейно связано с параметром порядка. Например, в случае классического дипольного момента энергия системы диполь-поле равна . В общем случае можно предположить сдвиг энергии из-за связи параметра порядка с приложенным полем , и свободная энергия Ландау изменится в результате: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle -\eta h}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

В этом случае условие минимизации имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

Одним из непосредственных следствий этого уравнения и его решения является то, что если приложенное поле не равно нулю, то намагниченность не равна нулю при любой температуре. Это означает, что больше нет спонтанного нарушения симметрии, которое происходит при любой температуре. Более того, из этого условия выше можно получить некоторые интересные термодинамические и универсальные величины. Например, при критической температуре, где , можно найти зависимость параметра порядка от внешнего поля: ${\displaystyle a(T_{c})=0}$

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

указывая на критический показатель . ${\displaystyle \delta =3}$

Восприимчивость в нулевом поле как функция температуры вблизи критической температуры

Кроме того, из приведенного выше условия можно найти восприимчивость нулевого поля , которая должна удовлетворять ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

В этом случае, вспоминая в случае нулевого поля, что при низких температурах, а при температурах выше критической, восприимчивость в нулевом поле имеет следующую температурную зависимость: ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$ ${\displaystyle \eta ^{2}=0}$

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

что напоминает закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости магнитной восприимчивости в магнитных материалах и дает критический показатель среднего поля . ${\displaystyle \gamma =1}$

Примечательно, что хотя полученные таким образом критические показатели неверны для многих моделей и систем, они правильно удовлетворяют различным равенствам показателей, таким как равенство Рашбрука: . ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =1}$

Переходы первого рода

Теория Ландау также может быть использована для изучения переходов первого рода . Существуют две различные формулировки в зависимости от того, является ли система симметричной относительно изменения знака параметра порядка.

I. Симметричный случай

Здесь мы рассматриваем случай, когда система имеет симметрию, а энергия инвариантна, когда параметр порядка меняет знак. Переход первого порядка возникнет, если член четвертой степени в отрицателен. Чтобы гарантировать, что свободная энергия остается положительной при больших , необходимо перенести расширение свободной энергии в шестой порядок, ^{[5] [6]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

где , а — некоторая температура, при которой меняется знак. Эту температуру мы обозначаем как , а не , поскольку ниже выяснится, что это не температура перехода первого рода, а поскольку критической точки нет, то само понятие «критическая температура» изначально вводит в заблуждение. и — положительные коэффициенты. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},}$ ${\displaystyle C_{0}}$

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для , члены и вогнуты вверх для всех , в то время как член вогнут вниз. Таким образом, для достаточно высоких температур вогнут вверх для всех , и равновесное решение . (ii) Для , оба члена и отрицательны, поэтому является локальным максимумом, а минимум находится при некотором ненулевом значении , причем . (iii) Для чуть выше , превращается в локальный минимум, но минимум при продолжает быть глобальным минимумом, поскольку он имеет более низкую свободную энергию. Из этого следует, что при повышении температуры выше , глобальный минимум не может непрерывно развиваться от до 0. Вместо этого, при некоторой промежуточной температуре , минимумы при и должны вырождаться. Для , глобальный минимум будет скачкообразно перескакивать от до 0. ${\displaystyle T>T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{6}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{4}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pm \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T)}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle T>T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$

Чтобы найти , мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю в (как и решение), и, кроме того, чтобы эта точка была локальным минимумом. Эти два условия дают два уравнения, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{0}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5},}$

Фазовый переход первого рода, продемонстрированный в разрыве параметра порядка в зависимости от температуры

которые выполняются, когда . Те же уравнения также подразумевают, что . То есть, ${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.}$

Из этого анализа можно ясно увидеть оба пункта, сделанных выше. Во-первых, параметр порядка претерпевает скачок от до 0. Во-вторых, температура перехода не совпадает с температурой, при которой исчезает. ${\displaystyle (B_{0}/2C_{0})^{1/2}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

При температурах ниже температуры перехода параметр порядка определяется выражением ${\displaystyle T<T_{*}}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

который изображен справа. Это показывает явный разрыв, связанный с параметром порядка как функцией температуры. Чтобы дополнительно продемонстрировать, что переход является переходом первого рода, можно показать, что свободная энергия для этого параметра порядка непрерывна при температуре перехода , но ее первая производная (энтропия) страдает от разрыва, отражающего существование ненулевой скрытой теплоты. ${\displaystyle T_{*}}$

II. Несимметричный случай

Далее мы рассмотрим случай, когда система не имеет симметрии. В этом случае нет причин сохранять только четные степени в разложении , и кубический член должен быть разрешен (линейный член всегда может быть устранен сдвигом + константа.) Таким образом, мы рассматриваем функционал свободной энергии ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta \to \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

Еще раз , и все положительны. Знак кубического члена всегда можно выбрать отрицательным, как мы это сделали, изменив знак при необходимости. ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$ ${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для у нас есть локальный максимум при , и поскольку свободная энергия ограничена снизу, должно быть два локальных минимума при ненулевых значениях и . Кубический член гарантирует, что это глобальный минимум, поскольку он глубже. (ii) Для чуть выше минимум при исчезает, максимум при превращается в локальный минимум, но минимум при сохраняется и продолжает быть глобальным минимумом. По мере дальнейшего повышения температуры повышается, пока не станет равным нулю при некоторой температуре . При мы получаем прерывистый скачок в глобальном минимуме от до 0. (Минимумы не могут объединиться, поскольку для этого потребовалось бы, чтобы первые три производные от исчезли при .) ${\displaystyle T<T_{0}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{-}(T)<0}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T)>0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{-}}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle \eta _{+}}$ ${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \eta =0}$

Чтобы найти , мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю в (как и решение), и, кроме того, чтобы эта точка была локальным минимумом. Эти два условия дают два уравнения, ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{+}(T_{*})}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},}$

которые выполняются, когда . Те же уравнения также подразумевают, что . То есть, ${\displaystyle \eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}}$ ${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.}$

Как и в симметричном случае, параметр порядка претерпевает скачок от значения до 0. Во-вторых, температура перехода не совпадает с температурой, при которой обращается в нуль. ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0})}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle A(T)}$

Приложения

Было экспериментально известно, что кривая сосуществования жидкость–газ и кривая намагничивания ферромагнетика демонстрируют масштабное соотношение вида , где загадочным образом одинаково для обеих систем. Это явление универсальности . Было также известно, что простые модели жидкость–газ точно отображаются в простые магнитные модели, что подразумевает, что две системы обладают одинаковыми симметриями. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две, по-видимому, несопоставимые системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на наличие разных микроскопических параметров. Теперь известно, что явление универсальности возникает по другим причинам (см. Группа перенормировки ). Фактически, теория Ландау предсказывает неправильные критические показатели для систем Изинга и жидкость–газ. ${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$

Большое достоинство теории Ландау заключается в том, что она делает конкретные предсказания относительно того, какое неаналитическое поведение следует наблюдать, когда лежащая в основе свободная энергия аналитична. Тогда вся неаналитичность в критической точке, критические показатели, возникают из-за того, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как квадратный корень, всякий раз, когда свободная энергия теряет свой уникальный минимум.

Расширение теории Ландау для включения флуктуаций в параметре порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерностями выше 4. Это верхняя критическая размерность, и она может быть намного выше четырех в более тонко настроенном фазовом переходе. В анализе Мухамеля изотропной точки Лифшица критическая размерность равна 8. Это связано с тем, что теория Ландау является теорией среднего поля и не включает дальние корреляции.

Эта теория не объясняет неаналитичность в критической точке, но применительно к фазовым переходам сверхтекучести и сверхпроводимости теория Ландау послужила источником вдохновения для другой теории — теории сверхпроводимости Гинзбурга–Ландау .

Включая долгосрочные корреляции

Рассмотрим свободную энергию модели Изинга выше. Предположим, что параметр порядка и внешнее магнитное поле, , могут иметь пространственные вариации. Теперь можно предположить, что свободная энергия системы принимает следующую модифицированную форму: ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

где - общая пространственная размерность. Итак, ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

Предположим, что для локализованного внешнего магнитного возмущения параметр порядка принимает вид . Тогда, ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

То есть, флуктуация параметра порядка соответствует корреляции порядок-порядок. Следовательно, пренебрежение этой флуктуацией (как в более раннем подходе среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядок-порядок, которая расходится вблизи критической точки. ${\displaystyle \phi (x)}$

Можно также решить ^[7] для , из чего можно вывести показатель масштабирования, , для длины корреляции . Из них критерий Гинзбурга для верхнего критического измерения для справедливости теории Ландау среднего поля Изинга (без корреляции на больших расстояниях) можно вычислить как: ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает и, таким образом, она (теория Ландау среднего поля Изинга) верна только для пространственной размерности, большей или равной 4 (при предельных значениях имеются небольшие поправки к показателям степени). Эту модифицированную версию теории Ландау среднего поля иногда также называют теорией Ландау–Гинзбурга фазовых переходов Изинга. В качестве пояснения, существует также теория Ландау–Гинзбурга, специфичная для фазового перехода сверхпроводимости, которая также включает флуктуации. ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$ ${\displaystyle D=4}$

Смотрите также

• Теория Гинзбурга–Ландау
• Теория Ландау–де Жена
• критерий Гинзбурга
• Уравнение Стюарта–Ландау

Сноски

1. Хоэнберг, ПК; Крехов, А.П. (2015-04-04). «Введение в теорию фазовых переходов и неравновесных структур Гинзбурга–Ландау». Physics Reports . 572 : 1–42. arXiv : 1410.7285 . Bibcode :2015PhR...572....1H. doi :10.1016/j.physrep.2015.01.001. ISSN  0370-1573.
2. Лев Д. Ландау (1937). "К теории фазовых переходов" (PDF) . ЖЭТФ . 7 : 19-32. Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2015 г.
3. Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (2013). Статистическая физика . Том 5. Elsevier. ISBN 978-0080570464.
4. Franzen, HF; Haas, C.; Jellinek, F. (1974). «Фазовые переходы между фазами типа NiAs и MnP». Phys. Rev. B. 10 ( 4): 1248–1251. Bibcode : 1974PhRvB..10.1248F. doi : 10.1103/PhysRevB.10.1248.
5. Толедано, Дж. К.; Толедано, П. (1987). "Глава 5: Переходы первого порядка". Теория фазовых переходов Ландау. World Scientific Publishing Company. ISBN 9813103949.
6. Стуф, HTC; Губбельс, КБ; Дикершайд, ДБМ (2009). Ультрахолодные квантовые поля . Спрингер. ISBN 978-1-4020-8763-9.
7. «Равновесная статистическая физика» Михаэля Плишке, Биргера Бергерсена, раздел 3.10, 3-е изд.

Дальнейшее чтение

• Ландау Л.Д. Сборник статей (Наука, Москва, 1969)
• Майкл К. Кросс, Теория Ландау фазовых переходов второго рода , [1] (Конспект лекций по статистической механике Калтеха).
• Юхновский, ИР, Фазовые переходы второго рода – метод коллективных переменных , World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6