В теоретической физике Т -дуальность (сокращение от дуальности целевого пространства ) представляет собой эквивалент двух физических теорий, которые могут быть либо квантовыми теориями поля , либо теориями струн . В простейшем примере этой взаимосвязи одна из теорий описывает струны , распространяющиеся в пространстве-времени , имеющем форму круга некоторого радиуса , тогда как другая теория описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени, имеющем форму круга радиуса, пропорционального . Идея Т-дуальности была впервые отмечена Балой Сатьяпаланом в малоизвестной статье в 1987 году. [1] Две Т-дуальные теории эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Например, импульс в одном описании принимает дискретные значения и равен числу оборотов струны по окружности в двойственном описании.
Идею Т-двойственности можно распространить на более сложные теории, включая теории суперструн . Существование этих дуальностей означает, что, казалось бы, разные теории суперструн на самом деле физически эквивалентны. В середине 1990-х годов это привело к осознанию того, что все пять непротиворечивых теорий суперструн — это просто разные предельные случаи одной одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией .
В общем, Т-дуальность связывает две теории с различной геометрией пространства-времени. Таким образом, Т-дуальность предполагает возможный сценарий, при котором классические представления геометрии терпят крах в теории физики планковского масштаба . [2] Геометрические соотношения, предложенные Т-двойственностью, также важны в чистой математике . Действительно, согласно гипотезе SYZ Эндрю Строминджера , Шинг-Тунга Яу и Эрика Заслоу , T-дуальность тесно связана с другой двойственностью, называемой зеркальной симметрией , которая имеет важные приложения в разделе математики, называемом перечислительной алгебраической геометрией .
Т-дуальность является частным примером общего понятия двойственности в физике. Термин дуальность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются нетривиальным образом эквивалентными. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно каким-то образом преобразовать так, что она в конечном итоге будет выглядеть точно так же, как другая теория. Тогда говорят, что две теории двойственны друг другу при трансформации. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений.
Как и многие дуальности, изучаемые в теоретической физике, Т-дуальность была открыта в контексте теории струн . [3] В теории струн частицы моделируются не как нульмерные точки, а как одномерные расширенные объекты, называемые струнами . Физику струн можно изучать в различном количестве измерений. В дополнение к трем измерениям, знакомым из повседневного опыта (вверх/вниз, влево/вправо, вперед/назад), теории струн могут включать одно или несколько компактных измерений , свернутых в круги.
Стандартной аналогией является рассмотрение многомерного объекта, такого как садовый шланг. [4] Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение — длину. Однако, приближаясь к шлангу, мы обнаруживаем, что он содержит второе измерение — окружность. Таким образом, муравей, ползающий внутри него, будет двигаться в двух измерениях. Такие дополнительные измерения важны в Т-дуальности, которая связывает теорию, в которой струны распространяются по окружности некоторого радиуса, с теорией, в которой струны распространяются по окружности радиуса .
В математике число витков кривой на плоскости вокруг данной точки представляет собой целое число , представляющее общее количество раз, когда кривая проходит против часовой стрелки вокруг этой точки. Понятие числа намотки важно в математическом описании Т-двойственности, где оно используется для измерения намотки струн вокруг компактных дополнительных измерений .
Например, на изображении ниже показано несколько примеров кривых на плоскости, показанных красным. Предполагается, что каждая кривая замкнута , то есть она не имеет конечных точек и может пересекать сама себя. Каждая кривая имеет ориентацию , указанную стрелками на рисунке. В каждой ситуации на плоскости есть выделенная точка, показанная черным цветом. Число витков кривой вокруг этой выделенной точки равно общему числу оборотов против часовой стрелки , которые делает кривая вокруг этой точки.
При подсчете общего количества поворотов повороты против часовой стрелки считаются положительными, а повороты по часовой стрелке – отрицательными . Например, если кривая сначала обходит начало координат четыре раза против часовой стрелки, а затем обходит начало координат один раз по часовой стрелке, то общее число витков кривой равно трем. Согласно этой схеме кривая, вообще не огибающая выделенную точку, имеет номер витка нулевой, а кривая, обходящая точку по часовой стрелке, имеет отрицательный номер витка. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом. На рисунках выше показаны кривые с номерами витков от −2 до 3:
Простейшими теориями, в которых возникает Т-дуальность, являются двумерные сигма-модели с круговыми таргет-пространствами, т.е. компактифицированные свободные бозоны . Это простые квантовые теории поля, которые описывают распространение струн в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга. Таким образом, струны можно смоделировать как кривые на плоскости, которые ограничены кругом, скажем , радиусом вокруг начала координат . Далее предполагается, что строки замкнуты (т.е. не имеют концов).
Обозначим этот круг через . Можно думать об этом круге как о копии реальной линии с двумя идентифицированными точками , если они отличаются на величину, кратную длине окружности . Отсюда следует, что состояние строки в любой момент времени можно представить как функцию одного вещественного параметра . Такую функцию можно разложить в ряд Фурье как
Здесь обозначено число намотки струны на окружность и выделена постоянная мода ряда Фурье. Поскольку это выражение представляет конфигурацию строки в фиксированное время, все коэффициенты ( и ) также являются функциями времени.
Обозначим через производную по времени постоянного режима . Это представляет собой тип импульса в теории. Используя тот факт, что рассматриваемые здесь струны замкнуты, можно показать, что этот импульс может принимать только дискретные значения вида для некоторого целого числа . Говоря более физическим языком, можно сказать, что спектр импульса квантуется .
В описанной выше ситуации полная энергия или гамильтониан струны определяется выражением
Поскольку импульсы теории квантованы, первые два члена в этой формуле равны , и это выражение не меняется, если одновременно заменить радиус на и поменять местами число витков и целое число . Эти изменения также не влияют на суммирование в выражении для , поэтому полная энергия не меняется. Фактически, эта эквивалентность гамильтонианов сводится к эквивалентности двух квантово-механических теорий: одна из этих теорий описывает струны, распространяющиеся по окружности радиуса , а другая описывает струну, распространяющуюся по окружности радиуса с поменянными местами импульсом и числами намотки. Эта эквивалентность теорий является простейшим проявлением Т-дуальности.
Вплоть до середины 1990-х годов физики, работавшие над теорией струн , считали, что существует пять различных версий теории: тип I , тип IIA , тип IIB и две разновидности гетеротической теории струн ( SO(32) и E8 ×E8 ) . . Различные теории допускают существование разных типов струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.
В середине 1990-х годов физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одной из таких дуальностей является Т-двойственность. Например, было показано, что теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB посредством Т-дуальности, а также что две версии гетеротической теории струн связаны Т-дуальностью.
Существование этих дуальностей показало, что не все пять теорий струн на самом деле были отдельными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий представляют собой всего лишь различные пределы одной теории, ныне известной как М -теория . [5] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что различные теории суперструн связаны дуальностью, а также на том факте, что гетеротические теории струн типа IIA и E 8 ×E 8 тесно связаны с гравитационной теорией, называемой одиннадцатимерной супергравитацией . Его заявление привело к шквалу работ, ныне известному как вторая суперструнная революция .
В теории струн и алгебраической геометрии термин « зеркальная симметрия » относится к явлению, включающему сложные формы, называемые многообразиями Калаби-Яу . Эти многообразия обеспечивают интересную геометрию, по которой могут распространяться струны, а полученные теории могут найти применение в физике элементарных частиц . [6] В конце 1980-х годов было замечено, что такое многообразие Калаби–Яу не определяет однозначно физику теории. Вместо этого обнаруживается, что существуют два многообразия Калаби–Яу, которые порождают одну и ту же физику. [7] Говорят, что эти многообразия являются «зеркалами» друг друга. Эта зеркальная двойственность является важным вычислительным инструментом в теории струн и позволяет математикам решать сложные задачи перечислительной геометрии . [8]
Одним из подходов к пониманию зеркальной симметрии является гипотеза SYZ , которая была предложена Эндрю Строминджером , Шинг-Тунгом Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. [9] Согласно гипотезе SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив сложную систему Калаби-Яу многообразие на более простые части и рассмотрение влияния Т-двойственности на эти части. [10]
Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является тор (поверхность в форме бублика). Такую поверхность можно рассматривать как произведение двух окружностей. Это означает, что тор можно рассматривать как объединение набора продольных кругов (например, красного круга на изображении). Существует вспомогательное пространство, которое говорит, как организованы эти круги, и это пространство само по себе является кругом (розовый круг). Говорят, что это пространство параметризует продольные окружности на торе. В этом случае зеркальная симметрия эквивалентна Т-двойственности, действующей на продольные окружности, изменяющей их радиусы от до , с обратной величиной натяжения струны.
Гипотеза SYZ обобщает эту идею на более сложный случай шестимерных многообразий Калаби – Яу, подобных показанному выше. Как и в случае с тором, шестимерное многообразие Калаби–Яу можно разделить на более простые части, которые в данном случае представляют собой 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой. (трехмерное обобщение сферы). [11] Т-дуальность может быть распространена с кругов на трехмерные торы, возникающие в этом разложении, а гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению Т-дуальности к этим трехмерным торам. [12] Таким образом, гипотеза SYZ дает геометрическую картину того, как зеркальная симметрия действует на многообразии Калаби–Яу.
