Уравнение Уиллера–ДеВитта

Уравнение поля, часть теории, которая пытается объединить квантовую механику и общую теорию относительности.

Уравнение Уиллера –ДеВитта ^[1] для теоретической физики и прикладной математики — это уравнение поля , приписываемое Джону Арчибальду Уилеру и Брайсу ДеВитту . Уравнение пытается математически объединить идеи квантовой механики и общей теории относительности , что является шагом к теории квантовой гравитации .

В этом подходе время играет роль, отличную от той, которую оно играет в нерелятивистской квантовой механике, что приводит к так называемой « проблеме времени ». ^[2] Более конкретно, уравнение описывает квантовую версию гамильтоновой связи с использованием метрических переменных. Его коммутационные соотношения с диффеоморфными связями порождают «группу» Бергмана–Комара (которая является группой диффеоморфизмов на оболочке ).

Мотивация и предыстория

В канонической гравитации пространство-время расслаивается на пространственноподобные подмногообразия. Триметрика (т.е. метрика на гиперповерхности) равна и задается выражением В этом уравнении латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4. Триметрика — это поле, и мы обозначаем его сопряженные импульсы как . Гамильтониан — это ограничение (характерное для большинства релятивистских систем) , где , а — метрика Уиллера–ДеВитта. В безиндексной нотации метрика Уиллера–ДеВитта на пространстве положительно определенных квадратичных форм g в трех измерениях равна ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }=(-N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{k}\,\mathrm {d} x^{k}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}.}$$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{ijkl}\pi ^{ij}\pi ^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!R=0,}$$ ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})}$ ${\displaystyle G_{ijkl}=(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ((g^{-1}dg)^{2})-(\operatorname {tr} (g^{-1}dg))^{2}.}$$

Квантование «надевает шляпы» на импульсы и переменные поля; то есть функции чисел в классическом случае становятся операторами, которые изменяют функцию состояния в квантовом случае. Таким образом, мы получаем оператор Работая в «позиционном пространстве», эти операторы являются $${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\hat {G}}_{ijkl}{\hat {\pi }}^{ij}{\hat {\pi }}^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!{\hat {R}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\gamma }}_{ij}(t,x^{k})&\to \gamma _{ij}(t,x^{k}),\\{\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})&\to -i{\frac {\delta }{\delta \gamma _{ij}(t,x^{k})}}.\end{aligned}}}$$

Можно применить оператор к общему волновому функционалу метрики , где , что даст набор ограничений среди коэффициентов . Это означает, что амплитуды для гравитонов в определенных положениях связаны с амплитудами для другого числа гравитонов в других положениях. Или можно использовать формализм двух полей, рассматривая как независимое поле, так что волновая функция будет . ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0,}$ $${\displaystyle \Psi [\gamma ]=a+\int \psi (x)\gamma (x)\,dx^{3}+\iint \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)\,dx^{3}\,dy^{3}+\dots ,}$$ ${\displaystyle \psi (x,y,\dots )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega (g)}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ,\omega ]}$

Математический формализм

Уравнение Уиллера–ДеВитта ^[1] является функционально-дифференциальным уравнением. Оно плохо определено в общем случае, но очень важно в теоретической физике , особенно в квантовой гравитации . Это функционально-дифференциальное уравнение на пространстве трехмерных пространственных метрик. Уравнение Уиллера–ДеВитта имеет вид оператора, действующего на волновой функционал; функционал сводится к функции в космологии. В отличие от общего случая, уравнение Уиллера–ДеВитта хорошо определено в минисуперпространствах, таких как конфигурационное пространство космологических теорий. Примером такой волновой функции является состояние Хартла–Хокинга . Брайс ДеВитт впервые опубликовал это уравнение в 1967 году под названием «уравнение Эйнштейна–Шредингера»; позже оно было переименовано в «уравнение Уиллера–ДеВитта». ^[3]

Гамильтоново ограничение

Проще говоря, уравнение Уиллера-ДеВитта гласит:

${\displaystyle {\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0,}$

где — это ограничение Гамильтона в квантованной общей теории относительности , а — волновая функция Вселенной . В отличие от обычной квантовой теории поля или квантовой механики, Гамильтониан — это ограничение первого класса на физические состояния. У нас также есть независимое ограничение для каждой точки пространства. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Хотя символы и могут показаться знакомыми, их интерпретация в уравнении Уиллера–ДеВитта существенно отличается от нерелятивистской квантовой механики. больше не является пространственной волновой функцией в традиционном смысле комплекснозначной функции, которая определена на трехмерной пространственноподобной поверхности и нормирована на единицу. Вместо этого это функционал конфигураций полей на всем пространстве-времени. Эта волновая функция содержит всю информацию о геометрии и материальном содержании Вселенной. по-прежнему является оператором, который действует на гильбертово пространство волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, что и в нерелятивистском случае, и гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поэтому уравнение Шредингера больше не применимо. Это свойство известно как безвременье. Были предприняты различные попытки включить время в полностью квантовую структуру, начиная с «механизма Пейджа и Вуттерса» и других последующих предложений. ^{[4] [5]} Было также предложено, что повторное возникновение времени возникает из-за квантовых корреляций между развивающейся системой и эталонной системой квантовых часов; вводится концепция системно-временной запутанности как квантификатора действительной различимой эволюции, претерпеваемой системой. ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle }$

Ограничение импульса

Нам также необходимо дополнить гамильтоново ограничение ограничениями импульса.

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}(x)|\psi \rangle =0}$

связанный с инвариантностью пространственного диффеоморфизма.

В приближениях минисуперпространства у нас есть только одно гамильтоново ограничение (вместо бесконечного множества).

Фактически, принцип общей ковариантности в общей теории относительности подразумевает, что глобальной эволюции как таковой не существует; время — это просто метка, которую мы присваиваем одной из осей координат. Таким образом, то, что мы думаем о временной эволюции любой физической системы, — это всего лишь калибровочное преобразование , подобное преобразованию КЭД, вызванному локальным калибровочным преобразованием U(1) , где играет роль локального времени. Роль гамильтониана — просто ограничить пространство «кинематических» состояний Вселенной до пространства «физических» состояний — тех, которые следуют калибровочным орбитам. По этой причине мы называем это «ограничением Гамильтона». После квантования физические состояния становятся волновыми функциями, которые лежат в ядре оператора Гамильтона. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \psi \to e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi ,}$ ${\displaystyle \theta ({\vec {r}})}$

В общем случае гамильтониан ^{[ необходимо разъяснение ]} исчезает для теории с общей ковариантностью или инвариантностью относительно масштабирования времени.

Смотрите также

• Формализм АДМ
• Диффеоморфизм ограничения
• Евклидова квантовая гравитация
• исчисление Редже
• Каноническая квантовая гравитация
• метрика Переса
• Петлевая квантовая гравитация

Ссылки

1. DeWitt, Bryce S. (1967-08-25). «Квантовая теория гравитации. I. Каноническая теория». Physical Review . 160 (5): 1113–1148. Bibcode : 1967PhRv..160.1113D. doi : 10.1103/PhysRev.160.1113. ISSN  0031-899X.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
2. «Квантовый эксперимент показывает, как время «возникает» из запутанности». Medium . Блог Physics arXiv. 23 октября 2013 г.
3. Ровелли, Карло (2001-01-23). ​​Заметки для краткой истории квантовой гравитации. Представлено на 9-й встрече Марселя Гроссмана в Риме, июль 2000 г. arXiv : gr-qc/0006061 .{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Пейдж, Дон Н.; Вуттерс, Уильям К. (1983-06-15). «Эволюция без эволюции: динамика, описываемая стационарными наблюдаемыми». Physical Review D. 27 ( 12): 2885–2892. doi :10.1103/PhysRevD.27.2885. ISSN  0556-2821.
5. Ровелли, Карло (1990-10-15). «Квантовая механика без времени: модель». Physical Review D. 42 ( 8): 2638–2646. doi :10.1103/PhysRevD.42.2638. PMID  10013133.
6. Boette, A.; Rossignoli, R.; Gigena, N.; Cerezo, M. (2016-06-27). "Системно-временная запутанность в модели с дискретным временем". Physical Review A. 93 ( 6): 062127. arXiv : 1512.07313 . doi : 10.1103/PhysRevA.93.062127. ISSN  2469-9926. S2CID  119245348.
7. Boette, A.; Rossignoli, R. (2018-09-12). "История состояний систем и операторов". Physical Review A. 98 ( 3): 032108. arXiv : 1806.00956 . doi : 10.1103/PhysRevA.98.032108. ISSN  2469-9926. S2CID  56101730.

• Хамбер, Герберт В.; Уильямс, Рут М. (18.11.2011). "Дискретное уравнение Уиллера-ДеВитта". Physical Review D. 84 ( 10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Bibcode : 2011PhRvD..84j4033H. doi : 10.1103/PhysRevD.84.104033. ISSN  1550-7998. S2CID  4812404.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Хамбер, Герберт В.; Ториуми, Рэйко; Уильямс, Рут М. (2 октября 2012 г.). «Уравнение Уиллера-ДеВитта в измерениях 2 + 1». Физический обзор D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Бибкод : 2012PhRvD..86h4010H. doi : 10.1103/PhysRevD.86.084010. ISSN  1550-7998. S2CID  119229306.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)