Список малых групп

Следующий список в математике содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп .

Считает

Для n = 1, 2, … число неизоморфных групп порядка n равно

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (последовательность A000001 в OEIS )

Для маркированных групп см. OEIS : A034383 .

Глоссарий

Каждая группа именуется библиотекой Small Groups как G _o ⁱ , где o — это порядок группы, а i — индекс, используемый для обозначения группы в этом порядке.

Распространенные названия групп:

• Z _n : циклическая группа порядка n (также используется обозначение C _n ; она изоморфна аддитивной группе Z / n Z )
• Dih _n : диэдральная группа порядка 2 n (часто используется обозначение D _n или D _{2 n )}
  • K ₄ : четверная группа Клейна порядка 4, то же самое, что Z ₂ × Z ₂ и Dih ₂
• D _{2 n} : диэдральная группа порядка 2 n , то же самое, что Dih _n (обозначения, используемые в разделе Список малых неабелевых групп)
• S _n : симметрическая группа степени n , содержащая n ! перестановок n элементов
• A _n : знакопеременная группа степени n , содержащая четные перестановки n элементов , порядка 1 для n = 0, 1 и порядка n !/2 в противном случае
• Dic _n или Q _{4 n} : дициклическая группа порядка 4 n
  • Q ₈ : группа кватернионов 8-го порядка, также Dic ₂

Обозначения Z _n и Dih _n имеют то преимущество, что точечные группы в трех измерениях C _n и D _n не имеют одинаковых обозначений. Существует больше групп изометрий , чем эти две, одного и того же абстрактного типа группы.

Обозначение G × H обозначает прямое произведение двух групп; G ⁿ обозначает прямое произведение группы на саму себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение , где H действует на G ; это также может зависеть от выбора действия H на G .

Отмечены абелевы и простые группы . (Для групп порядка n < 60 простыми группами являются в точности циклические группы Z _n для простых n .) Знак равенства ("=" обозначает изоморфизм.

Элемент идентичности в графах циклов представлен черным кружком. Самый низкий порядок, для которого граф циклов не представляет группу однозначно, — это порядок 16.

В списках подгрупп не указываются тривиальная группа и сама группа. В тех случаях, когда изоморфных подгрупп несколько, в скобках указывается число таких подгрупп.

Угловые скобки <отношения> показывают представление группы .

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямыми произведениями; см. Abelian group . Числа неизоморфных абелевых групп порядков n = 1, 2, ... равны

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (последовательность A000688 в OEIS )

Для маркированных абелевых групп см. OEIS : A034382 .

Список малых неабелевых групп

Число неабелевых групп, по порядку, подсчитывается по (последовательность A060689 в OEIS ). Однако многие порядки не имеют неабелевых групп. Порядки, для которых существует неабелева группа, это

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (последовательность A060652 в OEIS )

Классификация групп малого порядка

Малые группы порядка простой степени p ⁿ задаются следующим образом:

• Порядок p : Единственная группа является циклической.
• Порядок p ² : существует всего две группы, обе абелевы.
• Порядок p ³ : Существует три абелевы группы и две неабелевы группы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p ² на циклическую группу порядка p . Другая является группой кватернионов для p = 2 и группой экспоненты p для p > 2 .
• Порядок p ⁴ : Классификация сложна и становится еще сложнее с увеличением показателя p .

Большинство групп малого порядка имеют силовскую p -подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого числа p, делящего порядок, поэтому могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P на N. В некотором смысле это сводит классификацию этих групп к классификации p -групп. Некоторые из малых групп, которые не имеют нормального p -дополнения, включают:

• Порядок 24: Симметрическая группа S ₄
• Порядок 48: Двоичная октаэдрическая группа и произведение S ₄ × Z ₂
• Заказ 60: Переменная группа А ₅ .

Наименьший порядок, для которого неизвестно, сколько существует неизоморфных групп, равен 2048 = 2 ¹¹ . ^[7]

Библиотека для малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит пакет под названием «Библиотека малых групп», который обеспечивает доступ к описаниям групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время библиотека содержит следующие группы: ^[8]

• группы порядка не более 2000 ^[9] за исключением порядка 1024 ( 423 164 062 групп в библиотеке; группы порядка 1024 пришлось пропустить, так как есть еще 49 487 367 289 неизоморфных 2-групп порядка 1024 ^[10] );
• бескубного порядка не более 50000 (395 703 групп);
• те, которые имеют бесквадратный порядок;
• порядка p ⁿ для n не более 6 и p простого;
• порядка p ⁷ для p = 3, 5, 7, 11 (907 489 групп);
• числа порядка pq ^{n ,} где q ⁿ делит 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ или 7 ^{4 ,} а p — произвольное простое число, отличное от q ;
• те, чьи порядки распадаются не более чем на 3 простых числа (не обязательно различных).

Он содержит подробные описания доступных групп в формате, пригодном для чтения компьютером.

Наименьший заказ, по которому в библиотеке малых групп нет информации, — 1024.

Смотрите также

• Классификация конечных простых групп
• Серия композиций
• Список конечных простых групп
• Количество групп заданного порядка
• Малые латинские квадраты и квазигруппы
• Теоремы Силова

Примечания

1. Идентификатор, когда группы нумеруются по порядку o , а затем по индексу i , из библиотеки малых групп, начиная с 1.

1. Dockchitser, Tim. "Group Names" . Получено 23 мая 2023 г. .
2. Смотрите рабочий пример, демонстрирующий изоморфизм Z ₆ = Z ₃ × Z ₂ .
3. Чэнь, Цзин; Тан, Лан (2020). «Коммутирующие графы на дициклических группах». Algebra Colloquium . 27 (4): 799–806. doi :10.1142/S1005386720000668. ISSN  1005-3867. S2CID  228827501.
4. Coxeter, HSM (1957). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Berlin: Springer. doi :10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3. <л,м,н>: Р ^л =С ^м =Т ^н =РСТ:
5. Wild, Marcel (2005). «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (PDF) . Am. Math. Mon . 112 (1): 20–31. doi :10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR  30037381. S2CID  15362871. Архивировано из оригинала (PDF) 2006-09-23.
6. "Структура подгруппы симметрической группы:S4 - Групповые свойства".
7. Эйк, Беттина; Хорн, Макс; Хулпке, Александр (2018). Построение групп малого порядка: последние результаты и открытые проблемы (PDF) . Springer. стр. 199–211. doi :10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8.
8. Ганс Ульрих Беше Библиотека малых групп Архивировано 05.03.2012 на Wayback Machine
9. "Числа типов изоморфизма конечных групп заданного порядка". www.icm.tu-bs.de . Архивировано из оригинала 2019-07-25 . Получено 2017-04-05 .
10. Баррелл, Дэвид (2021-12-08). «О числе групп порядка 1024». Сообщения по алгебре . 50 (6): 2408–2410. doi :10.1080/00927872.2021.2006680.

Ссылки

• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
• Холл, младший, Маршалл ; Сениор, Джеймс К. (1964). "Группы порядка 2 ⁿ ( n ≤ 6)". MathSciNet . Macmillan. MR  0168631.Каталог 340 групп порядка, делящегося на 64, с таблицами определяющих соотношений, константами и решеткой подгрупп каждой группы.

Внешние ссылки

• Отдельные группы в Wiki Group Properties
• Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E. "Библиотека малых групп". Архивировано из оригинала 2012-03-05.
• База данных GroupNames
• Холл, младший, Маршалл; старший, Джеймс Кун (1964). Группы порядка 2n (n ≤ 6). Нью-Йорк: Macmillan / Лондон: Collier-Macmillan Ltd. LCCN 64016861