Уравнение Бёттхера

Уравнение Бетчера , названное в честь Люциана Бетчера , представляет собой функциональное уравнение

${\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}}$

где

• h — заданная аналитическая функция с суперпритягивающей неподвижной точкой порядка n в точке a (то есть в окрестности точки a ), где n  ≥ 2 ${\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,}$
• F — искомая функция.

Логарифм этого функционального уравнения равен уравнению Шредера .

Решение

Решением функционального уравнения является функция в неявном виде .

В 1904 году Люциан Эмиль Бёттхер набросал доказательство существования решения: аналитической функции F в окрестности неподвижной точки a , такой, что: ^[1]

${\displaystyle F(a)=0}$

Это решение иногда называют:

• координата Бёттхера
• функция Бёттхера ^[2]
• Карта Беттхера .

Полное доказательство было опубликовано Джозефом Риттом в 1920 году ^[3], который не знал первоначальной формулировки. ^[4]

Координата Бёттхера (логарифм функции Шредера ) сопрягает h(z) в окрестности неподвижной точки с функцией z ⁿ . Особенно важен случай, когда h(z) является полиномом степени n , а a = ∞ . ^[5]

Явный

Можно явно вычислить координаты Бёттхера для: ^[6]

• карты мощности ${\displaystyle z\to z^{d}}$
• полиномы Чебышева

Примеры

Для функции h и n=2 ^[7]

${\displaystyle h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}}$

Функция Бёттхера F равна:

${\displaystyle F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}}$

Приложения

Уравнение Бёттхера играет фундаментальную роль в той части голоморфной динамики , которая изучает итерацию полиномов одной комплексной переменной .

Глобальные свойства координаты Бёттхера изучались Фату ^{[8] [9]} и Дуади и Хаббардом ^[10] .

Смотрите также

• Уравнение Шредера
• Внешний луч

Ссылки

1. Бёттхер, Л. Е. (1904). «Основные законы сходимости итераций и их применение к анализу» // Изв. Казан. Физ.-мат. общ . 14 : 155–234.
2. Дж. Ф. Ритт. Об итерации рациональных функций. Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920) 348-356. MR 1501149.
3. Ритт, Джозеф (1920). «О итерации рациональных функций». Trans. Amer. Math. Soc . 21 (3): 348–356. doi : 10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6 .
4. Стависка, Малгожата (15 ноября 2013 г.). «Люциан Эмиль Бетчер (1872–1937) - польский пионер голоморфной динамики». arXiv : 1307,7778 [math.HO].
5. Коуэн, CC (1982). «Аналитические решения функционального уравнения Бетчера в единичном круге». Математические уравнения . 24 : 187–194. дои : 10.1007/BF02193043.
6. вопрос math.stackexchange: явное-вычисление-зеленой-функции-в-комплексной-динамике
7. Хаос Аруна В. Холдена Princeton University Press, 14-й том 2014 г. - 334
8. Александр, Дэниел С.; Иавернаро, Феличе; Роза, Алессандро (2012). Ранние дни в сложной динамике: история сложной динамики в одной переменной в 1906–1942 годах. ISBN 978-0-8218-4464-9.
9. Фату, П. (1919). «Sur les équations fonctionnelles, I». Бюллетень математического общества Франции . 47 : 161–271. дои : 10.24033/bsmf.998 . ЯФМ  47.0921.02.; Фату, П. (1920). «Sur les équations fonctionnelles, II». Бюллетень математического общества Франции . 48 : 33–94. дои : 10.24033/bsmf.1003 . ЯФМ  47.0921.02.; Фату, П. (1920). «Sur les équations fonctionnelles, III». Бюллетень математического общества Франции . 48 : 208–314. дои : 10.24033/bsmf.1008 . ЯФМ  47.0921.02.
10. Дуади, А.; Хаббард, Дж. (1984). «Динамический этюд полиномных комплексов (премьерная вечеринка)». Опубл. Математика. Орсе . Архивировано из оригинала 24 декабря 2013 г. Проверено 22 января 2012 г.; Дуади, А.; Хаббард, Дж. (1985). «Динамический этюд выпуклых полиномов (вторая партия)». Опубл. Математика. Орсе . Архивировано из оригинала 24 декабря 2013 г. Проверено 22 января 2012 г.