Уравнение синус-Гордона

Нелинейное уравнение в частных производных

Уравнение синус-Гордона представляет собой нелинейное уравнение в частных производных второго порядка для функции, зависящей от двух переменных, обычно обозначаемых и , включающее волновой оператор и синус . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$

Первоначально оно было введено Эдмоном Буром  (1862) в ходе изучения поверхностей постоянной отрицательной кривизны как уравнение Гаусса–Кодацци для поверхностей постоянной гауссовой кривизны −1 в 3-мерном пространстве . ^[1] Уравнение было заново открыто Френкелем и Конторовой (1939) в их исследовании кристаллических дислокаций, известном как модель Френкеля–Конторовой . ^[2]

Это уравнение привлекло большое внимание в 1970-х годах из-за наличия солитонных решений, ^[3] и является примером интегрируемого уравнения в частных производных . Среди известных интегрируемых уравнений в частных производных уравнение синус-Гордона является единственной релятивистской системой из-за его лоренц-инвариантности .

Реализации уравнения синус-Гордона

Дифференциальная геометрия

Это первый вывод уравнения, сделанный Буром (1862).

Существуют две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В ( реальных ) координатах пространства-времени , обозначенных , уравнение имеет вид: ^[4] ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

где частные производные обозначены нижними индексами. Переходя к координатам светового конуса ( u ,  v ), родственным асимптотическим координатам , где

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},}$

уравнение принимает вид ^[5]

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$

Это первоначальная форма уравнения синус-Гордона, как она рассматривалась в XIX веке при исследовании поверхностей постоянной гауссовой кривизны K  = −1, также называемых псевдосферическими поверхностями .

Рассмотрим произвольную псевдосферическую поверхность. Через каждую точку поверхности проходят две асимптотические кривые . Это позволяет нам построить выделенную систему координат для такой поверхности, в которой u  = const, v  = const являются асимптотическими линиями, а координаты увеличиваются на длину дуги на поверхности. В каждой точке поверхности пусть будет углом между асимптотическими линиями. ${\displaystyle \varphi }$

Первая фундаментальная форма поверхности —

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$

и вторая фундаментальная форма есть и уравнение Гаусса–Кодацци есть Таким образом, любая псевдосферическая поверхность порождает решение уравнения синус-Гордона, хотя и с некоторыми оговорками: если поверхность полная, она обязательно сингулярна из-за теоремы вложения Гильберта . В простейшем случае псевдосфера , также известная как трактоид , соответствует статическому односолитону, но трактоид имеет сингулярный касп на своем экваторе. $${\displaystyle L=N=0,M=\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

Наоборот, можно начать с решения уравнения синус-Гордона, чтобы получить псевдосферу однозначно с точностью до жестких преобразований . Существует теорема, иногда называемая фундаментальной теоремой поверхностей , что если пара матричнозначных билинейных форм удовлетворяет уравнениям Гаусса–Кодацци, то они являются первой и второй фундаментальными формами вложенной поверхности в трехмерном пространстве. Решения уравнения синус-Гордона можно использовать для построения таких матриц с использованием форм, полученных выше.

Преобразование Ли, примененное к псевдосфере для получения поверхности Дини

Новые решения из старых

Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферических поверхностей в 19 веке Бианки и Бэклундом привело к открытию преобразований Бэклунда . Другим преобразованием псевдосферических поверхностей является преобразование Ли, введенное Софусом Ли в 1879 году, которое соответствует лоренцевским усилениям для решений уравнения синус-Гордона. ^[6]

Есть также несколько более простых способов построить новые решения, но они не дают новых поверхностей. Поскольку уравнение синус-Гордона нечетное, отрицательное значение любого решения является другим решением. Однако это не дает новой поверхности, поскольку смена знака сводится к выбору направления для нормали к поверхности. Новые решения можно найти, переведя решение: если является решением, то и для целого числа. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi +2n\pi }$ ${\displaystyle n}$

Модель Френкеля–Конторовой

Механическая модель

Линия маятника с "паттерном дыхателя", колеблющимся посередине. К сожалению, рисунок нарисован с гравитацией, направленной вверх .

Рассмотрим линию маятника, висящую на прямой линии, в постоянной гравитации. Соединим грузики маятника вместе нитью с постоянным натяжением. Пусть угол маятника в точке будет , тогда схематически динамика линии маятника следует второму закону Ньютона: и это уравнение синус-Гордона после соответствующего масштабирования времени и расстояния. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{mass times acceleration}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{tension}}-\underbrace {mg\sin \varphi } _{\text{gravity}}}$$

Обратите внимание, что это не совсем верно, поскольку чистая сила на маятнике из-за натяжения не точно , а точнее . Однако это дает интуитивную картину для уравнения синус-Гордона. Можно получить точные механические реализации уравнения синус-Гордона более сложными методами. ^[7] ${\displaystyle T\varphi _{xx}}$ ${\displaystyle T\varphi _{xx}(1+\varphi _{x}^{2})^{-3/2}}$

Нейминг

Название «уравнение синус-Гордона» является игрой слов на известное в физике уравнение Клейна–Гордона : ^[4]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$

Уравнение синус-Гордона — это уравнение Эйлера–Лагранжа поля, плотность Лагранжа которого определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$

Используя разложение косинуса в ряд Тейлора в лагранжиане,

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$

его можно переписать как лагранжиан Клейна–Гордона плюс члены более высокого порядка:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Солитонные решения

Интересной особенностью уравнения синус-Гордона является существование солитонных и многосолитонных решений.

1-солитонные решения

Уравнение синус-Гордона имеет следующие 1- солитонные решения:

${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$

где

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$

и предполагается несколько более общая форма уравнения:

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

1-солитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для , называется кинком и представляет собой поворот в переменной , который переводит систему из одного постоянного решения в соседнее постоянное решение . Состояния известны как вакуумные состояния, так как они являются постоянными решениями нулевой энергии. 1-солитонное решение, в котором мы берем отрицательный корень для , называется антикинком . Форму 1-солитонных решений можно получить путем применения преобразования Бэклунда к тривиальному (вакуумному) решению и интегрирования полученных дифференциалов первого порядка: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ ${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

на все времена.

Решения с одним солитоном можно визуализировать с помощью модели синус-Гордона эластичной ленты, введенной Хулио Рубинштейном в 1970 году. ^[8] Здесь мы принимаем закручивание эластичной ленты по часовой стрелке ( левостороннее ) за перегиб с топологическим зарядом . Альтернативное закручивание против часовой стрелки ( правостороннее ) за перегиб с топологическим зарядом будет антиперегибом. ${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$ ${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$

Статическое 1-солитонное решение ${\displaystyle 4\arctan e^{x}}$

2-солитонные решения

Многосолитонные решения могут быть получены путем постоянного применения преобразования Бэклунда к 1-солитонному решению, как предписано решеткой Бианки, связывающей преобразованные результаты. ^{[10] 2-} солитонные решения уравнения синус-Гордона показывают некоторые характерные черты солитонов. Движущиеся перегибы и/или антиперегибы синус-Гордона проходят друг через друга, как будто они идеально проницаемы, и единственным наблюдаемым эффектом является сдвиг фаз . Поскольку сталкивающиеся солитоны восстанавливают свою скорость и форму , такое взаимодействие называется упругим столкновением .

Решение типа «перегиб-перегиб» дается выражением $${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

в то время как решение кинк-антикинк дается выражением $${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

Другое интересное 2-солитонный решение возникает из возможности связанного поведения кин-антикинк, известного как бризер . Известно три типа бризеров: стоячий бризер , движущийся бризер большой амплитуды и движущийся бризер малой амплитуды . ^[11]

Решение для стоящего дышащего дается выражением $${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

3-солитонные решения

3-солитонные столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером или движущимся антикинком и стоячим бризером приводят к сдвигу фазы стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг бризера определяется как ${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$

${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$

где — скорость перегиба, а — частота бризера. ^[11] Если старое положение стоящего бризера — , то после столкновения новое положение будет . ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$

Преобразование Бэклунда

Предположим, что является решением уравнения синус-Гордона ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$

Затем система

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

где a — произвольный параметр, разрешимо для функции , которая также будет удовлетворять уравнению синус-Гордона. Это пример автопреобразования Бэклунда, поскольку и являются решениями одного и того же уравнения, то есть уравнения синус-Гордона. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Используя матричную систему, можно также найти линейное преобразование Бэклунда для решений уравнения синус-Гордона.

Например, если — тривиальное решение , то — односолитонное решение с соответствующим усилением, примененным к солитону. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \equiv 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle a}$

Топологический заряд и энергия

Топологический заряд или число витков решения — это Энергия решения — это когда постоянная плотность энергии была добавлена ​​так, что потенциал неотрицателен. При этом первые два члена в разложении Тейлора потенциала совпадают с потенциалом массивного скалярного поля, как упоминалось в разделе наименований; члены более высокого порядка можно рассматривать как взаимодействия. ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$

Топологический заряд сохраняется, если энергия конечна. Топологический заряд не определяет решение, даже с точностью до лоренцевских бустов. Как тривиальное решение, так и решение солитон-антисолитонной пары имеют . ${\displaystyle N=0}$

Формулировка нулевой кривизны

Уравнение синус-Гордона эквивалентно кривизне конкретной - связи , равной нулю. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Явно, с координатами на компоненты связи задаются как где — матрицы Паули . Тогда уравнение нулевой кривизны ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$ $${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

эквивалентно уравнению синус-Гордона . Уравнение нулевой кривизны так названо, поскольку оно соответствует кривизне, равной нулю, если она определена . ${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

Пара матриц и также известна как пара Лакса для уравнения синус-Гордона в том смысле, что уравнение нулевой кривизны восстанавливает уравнение в частных производных, а не удовлетворяет уравнению Лакса. ${\displaystyle A_{u}}$ ${\displaystyle A_{v}}$

Связанные уравнения

TheУравнение sinh-Гордона имеет вид^[13]

${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$

Это уравнение Эйлера– Лагранжа Лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$

Другое тесно связанное уравнение — эллиптическое уравнение синус-Гордона или евклидово уравнение синус-Гордона , задаваемое как

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$

где теперь является функцией переменных x и y . Это уже не уравнение солитона, но оно имеет много похожих свойств, поскольку связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или вращением Вика ) y  = i t . ${\displaystyle \varphi }$

Эллиптическое уравнение sinh-Гордона можно определить аналогичным образом.

Другое похожее уравнение вытекает из уравнения Эйлера–Лагранжа для теории поля Лиувилля.

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

Обобщение дается теорией поля Тоды . ^[14] Точнее, теория поля Лиувилля является теорией поля Тоды для конечной алгебры Каца–Муди , в то время как sin(h)-Gordon является теорией поля Тоды для аффинной алгебры Каца–Муди . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$

Бесконечный объем и на половине линии

Можно также рассмотреть модель синус-Гордона на окружности ^[15] , на отрезке прямой или на полупрямой. ^[16] Можно найти граничные условия, которые сохраняют интегрируемость модели. ^[16] На полупрямой спектр содержит граничные связанные состояния в дополнение к солитонам и бризерам. ^[16]

Квантовая модель синус-Гордона

В квантовой теории поля модель синус-Гордон содержит параметр, который можно отождествить с постоянной Планка . Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров . ^{[17] [18] [19]} Число бризеров зависит от значения параметра. Многочастичное рождение сокращается на массовой оболочке.

Полуклассическое квантование модели синус-Гордона было выполнено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным . ^[20] Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром Замолодчиковым . ^[21] Эта модель является S-дуальной к модели Тирринга , как открыл Коулман . ^[22] Это иногда известно как соответствие Коулмана и служит примером соответствия бозон-фермион в случае взаимодействия. В этой статье также показано, что константы, появляющиеся в модели, ведут себя хорошо при перенормировке : есть три параметра и . Коулман показал, что получает только мультипликативную поправку, получает только аддитивную поправку и не перенормируется. Кроме того, для критического, ненулевого значения теория фактически дуальна свободной массивной теории поля Дирака . ${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$

Квантовое уравнение синус-Гордона следует модифицировать так, чтобы экспоненты стали вершинными операторами.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$

с , где точки с запятой обозначают нормальное упорядочение . Возможный массовый член включен. ${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$

Режимы перенормируемости

При различных значениях параметра свойства перенормируемости теории синус-Гордона изменяются. ^[23] Определение этих режимов приписывается Юргу Фрёлиху . ${\displaystyle \beta ^{2}}$

Конечный режим — это , где не требуется никаких контрчленов , чтобы сделать теорию корректно поставленной. Суперперенормируемый режим — это , где требуется конечное число контрчленов, чтобы сделать теорию корректно поставленной. Для каждого пройденного порога требуется больше контрчленов . ^[24] Для теория становится плохо определенной (Коулман, 1975). Граничные значения — это и , которые являются соответственно точкой свободного фермиона, поскольку теория дуальна свободному фермиону через соответствие Коулмана, и самодуальной точкой, где вершинные операторы образуют аффинную sl 2 подалгебру , и теория становится строго перенормируемой (перенормируемой, но не суперперенормируемой). ${\displaystyle \beta ^{2}<4\pi }$ ${\displaystyle 4\pi <\beta ^{2}<8\pi }$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}>8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=8\pi }$

Стохастическая модель синус-Гордона

Стохастическая или динамическая модель синус-Гордона была изучена Мартином Хайрером и Хао Шеном ^[25], что позволило доказать эвристические результаты квантовой теории синус-Гордона в статистических условиях.

Уравнение имеет вид , где — действительные константы, а — белый шум пространства-времени . Размерность пространства фиксирована и равна 2. В доказательстве существования решений пороги снова играют роль в определении сходимости определенных членов. $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ ${\displaystyle c,\beta ,\theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$

Суперсимметричная модель синус-Гордона

Также существует суперсимметричное расширение модели синус-Гордона. ^[26] Также можно найти граничные условия, сохраняющие интегрируемость, для этого расширения. ^[26]

Физические приложения

Модель синус-Гордона возникает как континуальный предел модели Френкеля–Конторовой , моделирующей дислокации кристаллов.

Динамика в длинных джозефсоновских переходах хорошо описывается уравнениями синус-Гордона и, наоборот, обеспечивает полезную экспериментальную систему для изучения модели синус-Гордона. ^[27]

Модель синус-Гордона находится в том же классе универсальности , что и эффективное действие для кулоновского газа вихрей и антивихрей в непрерывной классической модели XY , которая является моделью магнетизма. ^{[28] [29]} Таким образом, переход Костерлица –Таулесса для вихрей может быть выведен из анализа ренормгруппы теории поля синус-Гордона. ^{[30] [31]}

Уравнение синус-Гордона также возникает как формальный континуальный предел другой модели магнетизма, квантовой модели Гейзенберга , в частности модели XXZ. ^[32]

Смотрите также

• эффект Джозефсона
• Флюксон
• Формы волн

Ссылки

1. Бур, Эдмонд (1862). «Теория деформации поверхностей». Журнал имперской политехнической школы . 22 (39): 1–148. OCLC  55567842.
2. Френкель Дж., Конторова Т. (1939). «К теории пластической деформации и двойникования». Известия Академии Наук СССР, Серия Физическая . 1 : 137–149.
3. Хирота, Рёго (ноябрь 1972 г.). «Точное решение уравнения синус-Гордона для множественных столкновений солитонов». Журнал Физического общества Японии . 33 (5): 1459–1463. Bibcode : 1972JPSJ...33.1459H. doi : 10.1143/JPSJ.33.1459.
4. Rajaraman, R. (1989). Солитоны и инстантоны: Введение в солитоны и инстантоны в квантовой теории поля . North-Holland Personal Library. Том 15. North-Holland. С. 34–45. ISBN 978-0-444-87047-6.
5. Полянин, Андрей Д.; Валентин Ф. Зайцев (2004). Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных . Chapman & Hall/CRC Press. С. 470–492. ISBN 978-1-58488-355-5.
6. Тернг, CL, и Уленбек, К. (2000). "Геометрия солитонов" (PDF) . Уведомления AMS . 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Маломед, Борис А. (2014), Куевас-Маравер, Хесус; Кеврекидис, Панайотис Г.; Уильямс, Флойд (ред.), «Модель синус-Гордона: общие сведения, физические мотивы, обратное рассеяние и солитоны», Модель синус-Гордона и ее применение , т. 10, Cham: Springer International Publishing, стр. 1–30, doi : 10.1007/978-3-319-06722-3_1, ISBN 978-3-319-06721-6, получено 2023-11-17
8. Рубинштейн, Хулио (1970). "Уравнение синус-Гордон". Журнал математической физики . 11 (1): 258–266. Bibcode : 1970JMP....11..258R. doi : 10.1063/1.1665057.
9. Georgiev DD; Papaioanou SN; Glazebrook JF (2004). «Нейронная система внутри нейронов: молекулярная биология и биофизика нейрональных микротрубочек». Biomedical Reviews . 15 : 67–75. doi : 10.14748/bmr.v15.103 .
10. Rogers, C.; WK Schief (2002). Преобразования Бэклунда и Дарбу: Геометрия и современные приложения в теории солитонов . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-01288-1.
11. Мирошниченко А.Е., Васильев А.А., Дмитриев С.В. Солитоны и солитонные столкновения .
12. Дунайски, Мачей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 49. ISBN 978-0-19-857063-9.
13. Полянин, Андрей Д.; Зайцев, Валентин Ф. (16 декабря 2011 г.). Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных (второе изд.). Boca Raton: CRC Press. стр. 485. ISBN 978-1-4200-8723-9.
14. Юаньси, Се; Тан, Цзяши (февраль 2006 г.). «Унифицированный метод решения уравнений типа sinh-Gordon». Il Nuovo Cimento B. 121 ( 2): 115–121. Bibcode : 2006NCimB.121..115X. doi : 10.1393/ncb/i2005-10164-6.
15. МакКин, HP (1981). «Уравнения синус-Гордона и синх-Гордона на окружности». Сообщения по чистой и прикладной математике . 34 (2): 197–257. doi :10.1002/cpa.3160340204.
16. Bowcock, Peter; Tzamtzis, Georgios (2007). "Комплексная модель синуса-Гордона на полупрямой". Journal of High Energy Physics . 2007 (3): 047. arXiv : hep-th/0203139 . Bibcode : 2007JHEP...03..047B. doi : 10.1088/1126-6708/2007/03/047. S2CID  119501952.
17. Корепин, В. Е. (1979). «Прямой расчет матрицы S в массивной модели Тирринга». Теоретическая и математическая физика . 41 (2): 953–967. Bibcode :1979TMP....41..953K. doi :10.1007/bf01028501. S2CID  121527379.
18. Такада, Сатоши; Мисава, Сусуму (1981). «Квантовая модель синус-Гордона и соотношение Ферми-Бозе». Progress of Theoretical Physics . 66 (1): 101–117. Bibcode : 1981PThPh..66..101T. doi : 10.1143/ptp.66.101.
19. Боголюбов, Н.М.; Корепин, В.Е.; Изергин, А.Г. (1985). «Структура вакуума в квантовой модели синус-Гордон». Physics Letters B. 159 ( 4): 345–347. Bibcode :1985PhLB..159..345B. doi :10.1016/0370-2693(85)90264-3.
20. Фаддеев, Л. Д.; Корепин, В. Е. (1978). «Квантовая теория солитонов». Physics Reports . 42 (1): 1–87. Bibcode :1978PhR....42....1F. doi :10.1016/0370-1573(78)90058-3.
21. Замолодчиков, Александр Б.; Замолодчиков, Алексей Б. (1978). «Релятивистская факторизованная S-матрица в двух измерениях, имеющая изотопическую симметрию O(N)». Nuclear Physics B . 133 (3): 525–535. Bibcode :1978NuPhB.133..525Z. doi :10.1016/0550-3213(78)90239-0.
22. Коулмен, Сидней (15 апреля 1975 г.). «Квантовое уравнение синус-Гордона как массивная модель Тирринга». Physical Review D. 11 ( 8): 2088–2097. Bibcode : 1975PhRvD..11.2088C. doi : 10.1103/PhysRevD.11.2088 . Получено 27 января 2023 г.
23. Fröb, Markus B.; Cadamuro, Daniela (2022). «Локальные операторы в модели Sine-Gordon: $\partial_μϕ\, \partial_νϕ$ и тензор напряжений». arXiv : 2205.09223 [math-ph].
24. Чандра, Аджай; Хайрер, Мартин; Шен, Хао (2018). «Динамическая модель синус-Гордона в полном докритическом режиме». arXiv : 1808.02594 [math.PR].
25. Хайрер, Мартин; Шен, Хао (февраль 2016 г.). «Динамическая модель синуса-Гордона». Communications in Mathematical Physics . 341 (3): 933–989. arXiv : 1409.5724 . Bibcode : 2016CMaPh.341..933H. doi : 10.1007/s00220-015-2525-3. S2CID  253750515. Получено 14 мая 2023 г.
26. Inami, Takeo; Odake, Satoru; Zhang, Yao-Zhong (1995). "Суперсимметричное расширение теории синус-Гордона с интегрируемыми граничными взаимодействиями". Physics Letters B . 359 (1): 118–124. arXiv : hep-th/9506157 . Bibcode :1995PhLB..359..118I. doi :10.1016/0370-2693(95)01072-X. S2CID  18230581.
27. Mazo, Juan J.; Ustinov, Alexey V. (2014). "The sine-Gordon Equation in Josephson-Junction Arrays". Модель синус-Гордона и ее приложения: от Pendula и Josephson Junctions до гравитации и физики высоких энергий. Springer International Publishing. стр. 155–175. ISBN 978-3-319-06722-3. Получено 22 августа 2023 г. .
28. Хосе, Хорхе (15 ноября 1976 г.). «Теория синус-Гордона и классическая двумерная модель x − y». Physical Review D. 14 ( 10): 2826–2829. Bibcode :1976PhRvD..14.2826J. doi :10.1103/PhysRevD.14.2826.
29. Фрёлих, Юрг (октябрь 1976 г.). «Классическая и квантовая статистическая механика в одном и двух измерениях: двухкомпонентные системы Юкавы и Кулона». Communications in Mathematical Physics . 47 (3): 233–268. Bibcode : 1976CMaPh..47..233F. doi : 10.1007/BF01609843. S2CID  120798940.
30. Охта, Т.; Кавасаки, К. (1 августа 1978 г.). «Теория группы перенормировки переходного процесса шероховатости интерфейса». Progress of Theoretical Physics . 60 (2): 365–379. Bibcode :1978PThPh..60..365O. doi : 10.1143/PTP.60.365 .
31. Когут, Джон Б. (1 октября 1979 г.). «Введение в решеточную калибровочную теорию и спиновые системы». Reviews of Modern Physics . 51 (4): 659–713. Bibcode : 1979RvMP...51..659K. doi : 10.1103/RevModPhys.51.659.
32. Фаддеев, Л. Д. (1996). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv : hep-th/9605187 .

Внешние ссылки

• Уравнение синус-Гордона в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнение Синха-Гордона в EqWorld: Мир математических уравнений.
• уравнение синус-Гордона Архивировано 16.03.2012 на Wayback Machine в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.