Ускорение (специальная теория относительности)

Дифференциал скорости во времени, как описано в пространстве-времени Минковского

Ускорения в специальной теории относительности ( СТО) следуют, как и в ньютоновской механике , путем дифференциации скоростипо времени . Из-за преобразования Лоренца и замедления времени концепции времени и расстояния становятся более сложными, что также приводит к более сложным определениям «ускорения». СТО как теория плоского пространства-времени Минковского остается справедливой при наличии ускорений, поскольку общая теория относительности (ОТО) требуется только тогда, когда есть кривизна пространства-времени, вызванная тензором энергии-импульса (которая в основном определяется массой ). Однако, поскольку величина кривизны пространства-времени не особенно высока на Земле или ее окрестностях, СТО остается справедливой для большинства практических целей, таких как эксперименты на ускорителях частиц . ^[1]

Можно вывести формулы преобразования для обычных ускорений в трех пространственных измерениях (триускорение или координатное ускорение), измеренных во внешней инерциальной системе отсчета , а также для частного случая собственного ускорения, измеренного сопутствующим акселерометром . Другим полезным формализмом является четырехускорение , поскольку его компоненты могут быть связаны в различных инерциальных системах отсчета преобразованием Лоренца. Также можно сформулировать уравнения движения , которые связывают ускорение и силу . Уравнения для нескольких форм ускорения тел и их искривленных мировых линий следуют из этих формул путем интегрирования . Хорошо известными частными случаями являются гиперболическое движение для постоянного продольного собственного ускорения или равномерное круговое движение . В конечном счете, эти явления также можно описать в ускоренных системах отсчета в контексте специальной теории относительности, см. Собственная система отсчета (плоское пространство-время) . В таких системах возникают эффекты, которые аналогичны однородным гравитационным полям , которые имеют некоторое формальное сходство с реальными, неоднородными гравитационными полями искривленного пространства-времени в общей теории относительности. В случае гиперболического движения можно использовать координаты Риндлера , в случае равномерного кругового движения — координаты Борна .

Что касается исторического развития, то релятивистские уравнения, содержащие ускорения, можно найти уже в ранние годы теории относительности, как это было обобщено в ранних учебниках Макса фон Лауэ (1911, 1921) ^[2] или Вольфганга Паули (1921). ^[3] Например, уравнения движения и преобразования ускорения были разработаны в работах Хендрика Антона Лоренца (1899, 1904), ^{[H 1] [H 2]} Анри Пуанкаре (1905), ^{[H 3] [H 4]} Альберта Эйнштейна (1905), ^{[H 5]} Макса Планка (1906), ^{[H 6]} а четырехускорение, собственное ускорение, гиперболическое движение, ускоряющиеся системы отсчета, жесткость Борна были проанализированы Эйнштейном (1907), ^{[H 7]} Германом Минковским (1907, 1908), ^{[H 8] [H 9]} Максом Борном (1909), ^{[H 10]} Густавом Герглотцем (1909), ^{[H 11] [H 12]} Арнольдом Зоммерфельдом (1910), ^{[H 13] [H 14]} фон Лауэ (1911), ^{[H 15] [H 16]} Фридрих Коттлер (1912, 1914), ^{[H 17]} см. раздел по истории.

Три ускорения

В соответствии с ньютоновской механикой и СТО, три-ускорение или координатное ускорение представляет собой первую производную скорости по координатному времени или вторую производную местоположения по координатному времени: ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$.

Однако теории резко расходятся в своих предсказаниях в плане соотношения между три-ускорениями, измеренными в разных инерциальных системах отсчета. В ньютоновской механике время абсолютно в соответствии с преобразованием Галилея , поэтому и выведенное из него три-ускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчета: ^[4] ${\displaystyle t'=t}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$.

Напротив, в СТО и и зависят от преобразования Лоренца, поэтому также и три-ускорение и его компоненты изменяются в разных инерциальных системах отсчета. Когда относительная скорость между системами отсчета направлена ​​в направлении x с фактором Лоренца , преобразование Лоренца имеет вид ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle v=v_{x}}$ ${\displaystyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

или для произвольных скоростей величины : [ ^5] ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)}$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

Чтобы найти преобразование три-ускорения, нужно дифференцировать пространственные координаты и преобразования Лоренца относительно и , из которого следует преобразование три-скорости (также называемое формулой сложения скоростей ) между и , и в конечном итоге посредством другого дифференцирования относительно и следует преобразование три-ускорения между и . Начиная с ( 1a ), эта процедура дает преобразование, где ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярны (направление y, z) скорости: ^{[6] [7] [8] [9] [H 4] [H 15]} ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} '}$

или исходя из ( 1б ) эта процедура дает результат для общего случая произвольных направлений скоростей и ускорений: ^{[10] [11]}

Это означает, что если есть две инерциальные системы отсчета и с относительной скоростью , то в измеряется ускорение объекта с мгновенной скоростью , в то время как в тот же объект имеет ускорение и имеет мгновенную скорость . Как и в случае с формулами сложения скоростей, эти преобразования ускорения также гарантируют, что результирующая скорость ускоренного объекта никогда не достигнет или не превзойдет скорость света . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} '}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$

Четырех-ускорение

Если вместо тривекторов использовать четырехвекторы, а именно как четырехпозиционные и как четырехскоростные , то четырехускорение объекта получается путем дифференцирования по собственному времени вместо координатного времени: ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

где - три-ускорение объекта и его мгновенная три-скорость величины с соответствующим фактором Лоренца . Если рассматривается только пространственная часть, и когда скорость направлена ​​в направлении x по и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости, выражение сводится к: ^{[15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$ ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle u=u_{x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)}$

В отличие от ранее обсуждавшегося трехускорения, нет необходимости выводить новое преобразование для четырехускорения, поскольку, как и для всех четырехвекторов, компоненты и в двух инерциальных системах отсчета с относительной скоростью связаны преобразованием Лоренца, аналогичным ( 1a , 1b ). Другим свойством четырехвекторов является инвариантность внутреннего произведения или его величины , что в этом случае дает: ^{[16] [13] [17]} ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$

Правильное ускорение

В бесконечно малых длительностях всегда есть одна инерциальная система отсчета, которая в данный момент имеет ту же скорость, что и ускоренное тело, и в которой выполняется преобразование Лоренца. Соответствующее три-ускорение в этих системах может быть непосредственно измерено акселерометром и называется собственным ускорением ^{[18] [H 14]} или ускорением покоя. ^{[19] [H 12]} Связь в мгновенной инерциальной системе отсчета и измеренная во внешней инерциальной системе отсчета следует из ( 1c , 1d ) с , , и . Так что в терминах ( 1c ), когда скорость направлена ​​в направлении x посредством и когда рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости, следует: ^{[12] [19] [18] [H 1] [H 2] [H 14] [H 12]} ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$ ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

Обобщено по ( 1d ) для произвольных направлений величины : ^{[20] [21] [17]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

Существует также тесная связь с величиной 4-ускорения: поскольку оно инвариантно, его можно определить в мгновенной инерциальной системе отсчета , в которой и из него следует : ^{[19] [12] [22] [H 16]} ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle dt'/d\tau =1}$ ${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$

Таким образом, величина 4-ускорения соответствует величине собственного ускорения. Объединяя это с ( 2b ), дается альтернативный метод определения связи между in и in , а именно ^{[13] [17]} ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle |\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

откуда ( 3а ) следует снова, когда скорость направлена ​​в направлении x и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости. ${\displaystyle u=u_{x}}$

Ускорение и сила

Предполагая постоянную массу , 4-сила как функция 3-силы связана с 4-ускорением ( 2a ) соотношением , таким образом: ^{[23] [24]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} }$

Таким образом, соотношение между тремя силами и тремя ускорениями для произвольных направлений скорости равно ^{[25] [26] [23]}

Когда скорость направлена ​​в направлении x, то рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости ^{[27] [26] [23] [H 2] [H 6]} ${\displaystyle u=u_{x}}$

Поэтому ньютоновское определение массы как отношения трех сил и трех ускорений невыгодно в СТО, поскольку такая масса зависела бы и от скорости, и от направления. Следовательно, следующие определения массы, используемые в старых учебниках, больше не используются: ^{[27] [28] [H 2]}

${\displaystyle m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}}$как «продольная масса»,

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$как «поперечная масса».

Соотношение ( 4б ) между три-ускорением и три-силой можно также получить из уравнения движения ^{[29] [25] [H 2] [H 6]}

где - три-импульс. Соответствующее преобразование трехсилы между в и в (когда относительная скорость между системами отсчета направлена ​​в направлении x по и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости) следует из подстановки соответствующих формул преобразования для , , , , или из преобразованных Лоренцом компонентов четырехсилы, с результатом: ^{[29] [30] [24] [H 3] [H 15]} ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {f} '}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle v=v_{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle m\gamma }$ ${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$

Или обобщенно для произвольных направлений , а также с величиной : ^{[31] [32]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

Правильное ускорение и правильная сила

Сила в мгновенной инерциальной системе отсчета, измеренная сопутствующими пружинными весами , может быть названа собственной силой. ^{[33] [34]} Это следует из ( 4e , 4f ), если положить и , а также и . Таким образом, согласно ( 4e ), где рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости : ^{[35] [33] [34]} ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$ ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

Обобщено по ( 4f ) для произвольных направлений величины : ^{[35] [36]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Поскольку в мгновенных инерциальных системах отсчета имеются четыре силы и четыре ускорения , уравнение ( 4а ) дает ньютоновское соотношение , поэтому ( 3а , 4с , 5а ) можно суммировать ^[37] ${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$

Этим можно объяснить кажущееся противоречие в исторических определениях поперечной массы. ^[38] Эйнштейн (1905) описал связь между тройным ускорением и собственной силой ^{[H 5]} ${\displaystyle m_{\perp }}$

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$,

в то время как Лоренц (1899, 1904) и Планк (1906) описали связь между тремя ускорениями и тремя силами ^{[H 2]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$.

Изогнутые мировые линии

Интегрируя уравнения движения, получаем искривленные мировые линии ускоренных тел, соответствующие последовательности мгновенных инерциальных систем отсчета (здесь выражение «искривленный» относится к форме мировых линий в диаграммах Минковского, которые не следует путать с «искривленным» пространством-временем общей теории относительности). В связи с этим следует рассмотреть так называемую гипотезу постулата часов: ^{[39] [40]} Собственное время сопутствующих часов не зависит от ускорения, то есть замедление времени этих часов, наблюдаемое во внешней инерциальной системе отсчета, зависит только от ее относительной скорости по отношению к этой системе. Два простых случая искривленных мировых линий теперь предоставляются интегрированием уравнения ( 3a ) для собственного ускорения:

а) Гиперболическое движение : постоянное продольное собственное ускорение ( 3а ) приводит к мировой линии ^{[12] [18] [19] [25] [41] [42] [H 10] [H 15]} ${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$

Мировая линия соответствует гиперболическому уравнению , от которого произошло название гиперболическое движение. Эти уравнения часто используются для расчета различных сценариев парадокса близнецов или парадокса космического корабля Белла , или в отношении космических путешествий с использованием постоянного ускорения . ${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$

б) Постоянное, поперечное собственное ускорение ( 3а ) можно рассматривать как центростремительное ускорение , ^[13] ведущее к мировой линии тела при равномерном вращении ^{[43] [44]} ${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$

где — тангенциальная скорость , — радиус орбиты, — угловая скорость как функция координатного времени, а — собственная угловая скорость. ${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$

Классификацию искривленных мировых линий можно получить, используя дифференциальную геометрию тройных кривых, которая может быть выражена пространственно-временными формулами Френе-Серре . ^[45] В частности, можно показать, что гиперболическое движение и равномерное круговое движение являются частными случаями движений с постоянными кривизной и кручением , ^[46] удовлетворяющими условию жесткости Борна . ^{[H 11] [H 17]} Тело называется жестким по Борну, если пространственно-временное расстояние между его бесконечно малыми разнесенными мировыми линиями или точками остается постоянным при ускорении.

Ускоренные системы отсчета

Вместо инерциальных систем эти ускоренные движения и искривленные мировые линии также могут быть описаны с использованием ускоренных или криволинейных координат . Собственная система отсчета, установленная таким образом, тесно связана с координатами Ферми . ^{[47] [48]} Например, координаты для гиперболически ускоренной системы отсчета иногда называются координатами Риндлера , а координаты равномерно вращающейся системы отсчета называются вращающимися цилиндрическими координатами (или иногда координатами Борна ). В терминах принципа эквивалентности эффекты, возникающие в этих ускоренных системах отсчета, аналогичны эффектам в однородном, фиктивном гравитационном поле. Таким образом, можно видеть, что использование ускоряющихся систем отсчета в СТО порождает важные математические соотношения, которые (при дальнейшем развитии) играют фундаментальную роль в описании реальных, неоднородных гравитационных полей в терминах искривленного пространства-времени в общей теории относительности.

История

Для получения дополнительной информации см. фон Лауэ, ^[2] Паули, ^[3] Миллер, ^[49] Захар, ^[50] Гургулон, ^[48] и исторические источники по истории специальной теории относительности .

1899:

Хендрик Лоренц ^{[H 1]} вывел правильные (с точностью до определенного множителя ) соотношения для ускорений, сил и масс между покоящейся электростатической системой частиц (в неподвижном эфире ) и системой, возникающей из нее путем добавления трансляции, с множителем Лоренца: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}}$, , для по ( 5а ); ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\epsilon }}}$, , для по ( 3a ); ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\epsilon }}}$, , для , таким образом, продольная и поперечная масса по ( 4c ); ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$

Лоренц объяснил, что у него нет возможности определить значение . Если бы он установил , его выражения приняли бы точную релятивистскую форму. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon =1}$

1904:

Лоренц ^{[H 2]} вывел предыдущие соотношения более детально, а именно относительно свойств частиц, покоящихся в системе , и движущейся системы , с новой вспомогательной переменной, равной по сравнению с 1899 годом, таким образом: ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 1/\epsilon }$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$для как функции от ( 5a ); ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$для как функции от ( 5b ); ${\displaystyle m\mathbf {a} }$ ${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$для как функции от ( 3a ); ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$для продольной и поперечной массы как функции массы покоя по формуле ( 4c , 5b ).

На этот раз Лоренц смог показать, что , благодаря чему его формулы принимают точную релятивистскую форму. Он также сформулировал уравнение движения ${\displaystyle l=1}$

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$с ${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

что соответствует ( 4d ) с , с , , , , , и как электромагнитная масса покоя . Более того, он утверждал, что эти формулы должны быть справедливы не только для сил и масс электрически заряженных частиц, но и для других процессов, так что движение Земли через эфир остается необнаружимым. ${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} }$ ${\displaystyle k=\gamma }$ ${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$

1905:

Анри Пуанкаре ^{[H 3]} ввел преобразование трех сил ( 4e ):

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

с , а в качестве фактора Лоренца — плотность заряда. Или в современной записи: , , , и . В качестве Лоренца он установил . ${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \epsilon =v}$ ${\displaystyle \xi =u_{x}}$ ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle l=1}$

1905:

Альберт Эйнштейн ^{[H 5]} вывел уравнения движения на основе своей специальной теории относительности, которые представляют собой связь между равноправными инерциальными системами отсчета без действия механического эфира. Эйнштейн пришел к выводу, что в мгновенной инерциальной системе отсчета уравнения движения сохраняют свою ньютоновскую форму: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$.

Это соответствует , поскольку и и . Путем преобразования в относительно движущуюся систему он получил уравнения для электрических и магнитных компонент, наблюдаемых в этой системе: ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \mu =m}$ ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$.

Это соответствует ( 4c ) с , поскольку и и и . Следовательно, Эйнштейн определил продольную и поперечную массу, хотя он связал ее с силой в мгновенной системе покоя, измеренной сопутствующими пружинными весами, и с трехкратным ускорением в системе : ^[38] ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$ ${\displaystyle \mu =m}$ ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \beta =\gamma }$ ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

Это соответствует ( 5b ) с . ${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$

1905:

Пуанкаре ^{[H 4]} вводит преобразование трехускорения ( 1c ):

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}$

где а также и и . ${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$ ${\displaystyle k=\gamma }$ ${\displaystyle \epsilon =v}$ ${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$

Более того, он представил четвёртую силу в форме:

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}}$

где и и . ${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

1906:

Макс Планк ^{[H 6]} вывел уравнение движения

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

с

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$и ${\displaystyle e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}}$

и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

Уравнения соответствуют ( 4d ) с

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$, с и и , в соответствии с данными Лоренца (1904). ${\displaystyle X=f_{x}}$ ${\displaystyle q=v}$ ${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$

1907:

Эйнштейн ^{[H 7]} проанализировал равномерно ускоренную систему отсчета и получил формулы для зависящих от координат замедления времени и скорости света, аналогичные тем, которые даются координатами Коттлера-Мёллера-Риндлера .

1907:

Герман Минковский ^{[H 9]} определил соотношение между 4-силой (которую он назвал движущей силой) и 4-ускорением

${\displaystyle m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}}$

соответствующий . ${\displaystyle m\mathbf {A} =\mathbf {F} }$

1908:

Минковский ^{[H 8]} обозначает вторую производную по собственному времени как «вектор ускорения» (четырехускорение). Он показал, что ее величина в произвольной точке мировой линии равна , где — величина вектора, направленного из центра соответствующей «гиперболы кривизны» ( ‹См. Tfd› нем .: Krümmungshyperbel ) к . ${\displaystyle x,y,z,t}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c^{2}/\varrho }$ ${\displaystyle \varrho }$ ${\displaystyle P}$

1909:

Макс Борн ^{[H 10]} обозначает движение с постоянной величиной вектора ускорения Минковского как «гиперболическое движение» ( ‹See Tfd› на немецком : Hyperbelbewegung ), в ходе его изучения жестко ускоренного движения . Он установил (теперь называемую собственной скоростью ) и как фактор Лоренца и как собственное время, с уравнениями преобразования ${\displaystyle p=dx/d\tau }$ ${\displaystyle q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi }$.

что соответствует ( 6a ) с и . Исключив Борн вывел гиперболическое уравнение и определил величину ускорения как . Он также заметил, что его преобразование можно использовать для преобразования в «гиперболически ускоренную систему отсчета» ( ‹См. Tfd› нем .: hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ). ${\displaystyle \xi =c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle p=c\sinh(\alpha \tau /c)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}}$ ${\displaystyle b=c^{2}/\xi }$

1909:

Густав Герглотц ^{[H 11]} распространяет исследование Борна на все возможные случаи жестко ускоренного движения, включая равномерное вращение.

1910:

Арнольд Зоммерфельд ^{[H 13]} представил формулы Борна для гиперболического движения в более краткой форме, используя в качестве мнимой переменной времени и мнимого угла: ${\displaystyle l=ict}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi }$

Он отметил, что когда переменны, а постоянны, они описывают мировую линию заряженного тела в гиперболическом движении. Но если постоянны, а переменны, они обозначают преобразование в его систему покоя. ${\displaystyle r,y,z}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle r,y,z}$ ${\displaystyle \varphi }$

1911:

Зоммерфельд ^{[H 14]} явно использовал выражение «собственное ускорение» ( ‹См. Tfd› на немецком : Eigenbeschleunigung ) для величины в , которая соответствует ( 3a ), как ускорение в мгновенной инерциальной системе отсчета. ${\displaystyle {\dot {v}}_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}}$

1911:

Герглотц ^{[H 12]} явно использовал выражение «ускорение покоя» ( ‹See Tfd› на немецком языке : Ruhbeschleunigung ) вместо собственного ускорения. Он записал его в форме и что соответствует ( 3a ), где — фактор Лоренца, а или — продольная и поперечная составляющие ускорения покоя. ${\displaystyle \gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma _{l}^{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}^{0}}$

1911:

Макс фон Лауэ ^{[H 15]} в первом издании своей монографии «Принцип относительности» вывел преобразование для трехускорения путем дифференцирования сложения скоростей

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}}$

эквивалентно ( 1c ), а также Пуанкаре (1905/6). Из этого он вывел преобразование ускорения покоя (эквивалентное 3a ), и в конечном итоге формулы для гиперболического движения, которое соответствует ( 6a ):

${\displaystyle \pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},}$

таким образом

${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta }$,

и преобразование в гиперболическую систему отсчета с мнимым углом : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}}$.

Он также написал преобразование трех сил как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}}$

эквивалентно ( 4e ), а также Пуанкаре (1905).

1912–1914:

Фридрих Коттлер ^{[H 17]} получил общую ковариантность уравнений Максвелла и использовал четырехмерные формулы Френе-Серре для анализа жестких движений Борна, данных Герглотцем (1909). Он также получил надлежащие системы отсчета для гиперболического движения и равномерного кругового движения.

1913:

фон Лауэ ^{[H 16]} заменил во втором издании своей книги преобразование трех-ускорения вектором ускорения Минковского, для которого он придумал название «четырех-ускорение» ( ‹See Tfd› нем .: Viererbeschleunigung ), определяемое с помощью как четырех-скорость. Он показал, что величина четырех-ускорения соответствует остаточному ускорению по ${\displaystyle {\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\dot {\mathfrak {q}}}^{0}}$

${\displaystyle |{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|}$,

что соответствует ( 3b ). Впоследствии он вывел те же формулы, что и в 1911 году, для преобразования ускорения покоя и гиперболического движения, а также гиперболической системы отсчета.

Ссылки

1. Мизнер, Торн и Уилер (1973), стр. 163: «Ускоренное движение и ускоренные наблюдатели могут быть проанализированы с помощью специальной теории относительности».
2. von Laue (1921)
3. Pauli (1921)
4. Сексл и Шмидт (1979), стр. 116
5. Мёллер (1955), стр. 41
6. Толман (1917), стр. 48
7. Френч (1968), стр. 148
8. Захар (1989), стр. 232
9. Фройнд (2008), стр. 96
10. Копейкин, Эфроимский и Каплан (2011), стр. 141
11. Рахаман (2014), стр. 77
12. Паули (1921), стр. 627
13. Freund (2008), стр. 267-268.
14. Аштекар и Петков (2014), с. 53
15. Сексл и Шмидт (1979), стр. 198, Решение примера 16.1
16. Ferraro (2007), стр. 178
17. Копейкин & Эфроимский & Каплан (2011), стр. 137
18. Rindler (1977), стр. 49-50
19. фон Лауэ (1921), стр. 88-89
20. Ребхан (1999), стр. 775
21. Николич (2000), уравнение 10
22. Риндлер (1977), стр. 67
23. Sexl & Schmidt (1979), решение примера 16.2, стр. 198
24. Freund (2008), стр. 276
25. Møller (1955), стр. 74-75.
26. Rindler (1977), стр. 89-90
27. von Laue (1921), стр. 210
28. Паули (1921), стр. 635
29. Tolman (1917), стр. 73-74
30. фон Лауэ (1921), стр. 113
31. Мёллер (1955), стр. 73
32. Копейкин, Эфроимский и Каплан (2011), стр. 173
33. Shadowitz (1968), стр. 101
34. Pfeffer & Nir (2012), стр. 115, «В особом случае, когда частица на мгновение находится в состоянии покоя относительно наблюдателя S, сила, которую он измеряет, будет собственной силой ».
35. Møller (1955), стр. 74
36. Ребхан (1999), стр. 818
37. см. уравнения Лоренца 1904 года и уравнения Эйнштейна 1905 года в разделе об истории
38. Mathpages (см. внешние ссылки), "Поперечная масса в электродинамике Эйнштейна", ур. 2,3
39. Риндлер (1977), стр. 43
40. Кокс (2006), раздел 7.1
41. Фраундорф (2012), раздел IV-B
42. PhysicsFAQ (2016), см. внешние ссылки.
43. Паури и Валлиснери (2000), экв. 13
44. Бини, Лусанна и Машхун (2005), экв. 28,29
45. Синг (1966)
46. Паури и Валлиснери (2000), Приложение A
47. Мизнер, Торн и Уилер (1973), Раздел 6
48. Gourgoulhon (2013), вся книга
49. Миллер (1981)
50. Захар (1989)

Библиография

• Аштекар, А.; Петков, В. (2014). Springer Handbook of Spacetime . Springer. ISBN 978-3642419928.
• Bini, D.; Lusanna, L.; Mashhoon, B. (2005). «Ограничения координат радара». International Journal of Modern Physics D . 14 (8): 1413–1429. arXiv : gr-qc/0409052 . Bibcode :2005IJMPD..14.1413B. doi :10.1142/S0218271805006961. S2CID  17909223.
• Ферраро, Р. (2007). Пространство-время Эйнштейна: Введение в специальную и общую теорию относительности . Спектрум. ISBN 978-0387699462.
• Фраундорф, П. (2012). «Введение в кинематику, ориентированное на путешественника». IV-B. arXiv : 1206.2877 [physics.pop-ph].
• Френч, AP (1968). Специальная теория относительности . CRC Press. ISBN 1420074814.
• Фройнд, Дж. (2008). Специальная теория относительности для начинающих: учебник для студентов бакалавриата . World Scientific. ISBN 978-9812771599.
• Гургулон, Э. (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Springer. ISBN 978-3642372766.
• фон Лауэ, М. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (четвертое издание «Das Relativitätsprinzip» под ред.). Посмотретьег.; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
• Кокс, Д. (2006). Исследования в области математической физики . Springer. ISBN 0387309438.
• Копейкин, С.; Эфроимский, М.; Каплан, Г. (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . John Wiley & Sons. ISBN 978-3527408566.
• Миллер, Артур И. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905) и ранняя интерпретация (1905–1911) . Чтение: Эддисон–Уэсли. ISBN 0-201-04679-2.
• Мизнер, CW; Торн, KS; Уилер, JA (1973). Гравитация . Freeman. ISBN 0716703440.
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности. Oxford Clarendon Press.
• Николич, Х. (2000). "Релятивистское сокращение и связанные с ним эффекты в неинерциальных системах отсчета". Physical Review A. 61 ( 3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N. doi : 10.1103/PhysRevA.61.032109. S2CID  5783649.
• Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie», Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776.

На английском языке: Pauli, W. (1981) [1921]. Теория относительности . Т. 165. Dover Publications. ISBN 0-486-64152-X. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )

• Pauri, M.; Vallisneri, M. (2000). «Координаты Мерцке-Уилера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Foundations of Physics Letters . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode :2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID  15097773.
• Пфеффер, Дж.; Нир, С. (2012). Современная физика: вводный текст . World Scientific. ISBN 978-1908979575.
• Shadowitz, A. (1988). Специальная теория относительности (Переиздание издания 1968 года). Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65743-4.
• Рахаман, Ф. (2014). Специальная теория относительности: математический подход . Springer. ISBN 978-8132220800.
• Ребхан, Э. (1999). Теоретическая физика I. Гейдельберг · Берлин: Спектрум. ISBN 3-8274-0246-8.
• Риндлер, В. (1977). Essential Relativity . Springer. ISBN 354007970X.
• Синг, Дж. Л. (1966). «Времеподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской Ирландской академии, Раздел A. 65 : 27–42. JSTOR  20488646.
• Толмен, Р. К. (1917). Теория относительности движения. Издательство Калифорнийского университета . OCLC  13129939.
• Захар, Э. (1989). Революция Эйнштейна: исследование эвристики . Open Court Publishing Company. ISBN 0-8126-9067-2.

Исторические документы

1. Лоренц, Хендрик Антон (1899). "Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах"  . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 1 : 427–442. Bibcode : 1898KNAB....1..427L.
2. Лоренц, Хендрик Антон (1904). "Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света"  . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 6 : 809–831. Bibcode : 1903KNAB....6..809L.
3. Пуанкаре, Анри (1905). «Sur la dynamice de l'électron»  [перевод из Wikisource: О динамике электрона]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 140 : 1504–1508.
4. Пуанкаре, Анри (1906) [1905]. «Sur la dynamice de l'électron»  [перевод из Wikisource: О динамике электрона]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 21 : 129–176. Бибкод : 1906RCMP...21..129P. дои : 10.1007/BF03013466. hdl :2027/uiug.30112063899089. S2CID  120211823.
5. Эйнштейн, Альберт (1905). «Zur Elektrodynamic bewegter Körper». Аннален дер Физик . 322 (10): 891–921. Бибкод : 1905АнП...322..891Е. дои : 10.1002/andp.19053221004 .; См. также: перевод на английский язык.
6. Планк, Макс (1906). «Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik» [перевод из Wikisource: Принцип относительности и фундаментальные уравнения механики]. Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft . 8 : 136–141.
7. Эйнштейн, Альберт (1908) [1907], «Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» (PDF) , Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik , 4 : 411–462, Бибкод : 1908JRE ..... 4 .. 411Э; Английский перевод О принципе относительности и выводах, сделанных из него в проекте статьи Эйнштейна.
8. Минковский, Герман (1909) [1908]. « Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. сентября 1908 года» [перевод из Wikisource: Пространство и время]  . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . Лейпциг.
9. Minkowski, Hermann (1908) [1907], «  Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» [Перевод из Wikisource: Фундаментальные уравнения для электромагнитных процессов в движущихся телах], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Класс : 53–111.
10. Борн, Макс (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativätsprinzips" [Перевод Викиисточника: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности]. Annalen der Physik . 335 (11): 1–56. Bibcode : 1909AnP...335....1B. doi : 10.1002/andp.19093351102.
11. Herglotz, G (1910) [1909]. «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [Перевод из Wikisource: О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности]. Аннален дер Физик . 336 (2): 393–415. Бибкод : 1910АнП...336..393H. дои : 10.1002/andp.19103360208.
12. Херглотц, Г. (1911). «Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie». Аннален дер Физик . 341 (13): 493–533. Бибкод : 1911АнП...341..493H. дои : 10.1002/andp.19113411303.
13. Зоммерфельд, Арнольд (1910). «Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensione Vektoranalysis» [перевод вики-источника: К теории относительности II: Четырехмерный векторный анализ]. Аннален дер Физик . 338 (14): 649–689. Бибкод : 1910АнП...338..649С. дои : 10.1002/andp.19103381402.
14. Зоммерфельд, Арнольд (1911). «Über die Struktur der gamma-Strahlen». Sitzungsberichte der Mathematematisch-physicalischen Klasse der KB Akademie der Wissenschaften zu München (1): 1–60.
15. Laue, Макс фон (1911). Принцип относительности. Брауншвейг: Просмотрег.
16. Лауэ, Макс фон (1913). Das Relativitätsprinzip (2-е изд. Ausgabe). Брауншвейг: Просмотрег.
17. Коттлер, Фридрих (1912). «Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt» [перевод из Wikisource: О пространственно-временных линиях мира Минковского]. Винер Зитцунгсберихте, 2а . 121 : 1659–1759. hdl :2027/mdp.39015051107277.Коттлер, Фридрих (1914а). «Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung». Аннален дер Физик . 349 (13): 701–748. Бибкод : 1914АнП...349..701К. дои : 10.1002/andp.19143491303.Коттлер, Фридрих (1914b). «Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips». Аннален дер Физик . 350 (20): 481–516. Бибкод : 1914АнП...350..481К. дои : 10.1002/andp.19143502003.

Внешние ссылки

• Mathpages: Поперечная масса в электродинамике Эйнштейна, Ускоренные перемещения, Прирожденная жесткость, Ускорение и инерция, Излучает ли равномерно ускоряющийся заряд?
• Часто задаваемые вопросы по физике: ускорение в специальной теории относительности, релятивистская ракета