Теорема двойственности Фенхеля

В математике теорема двойственности Фенхеля является результатом теории выпуклых функций, названной в честь Вернера Фенхеля .

Пусть ƒ — собственная выпуклая функция на R ^{n ,} а g — собственная вогнутая функция на R ⁿ . Тогда, если выполняются условия регулярности,

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

где ƒ  ^* — выпуклое сопряжение ƒ (также называемое преобразованием Фенхеля–Лежандра), а g *  _— вогнутое сопряжение g . То есть,

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

Математическая теорема

Пусть X и Y — банаховы пространства , а — выпуклые функции и — ограниченное линейное отображение . Тогда задачи Фенхеля: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

удовлетворяют слабой двойственности , т.е. . Заметим, что являются выпуклыми сопряженными операторами f , g соответственно, а является сопряженным оператором . Функция возмущения для этой двойственной задачи задается выражением . ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$ ${\displaystyle f^{*},g^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$

Предположим, что f , g и A удовлетворяют одному из следующих условий:

1. f и g полунепрерывны снизу и где — алгебраическая внутренность и , где h — некоторая функция, — множество , или ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$ ${\displaystyle \operatorname {core} }$ ${\displaystyle \operatorname {dom} h}$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$где находятся точки, в которых функция непрерывна . ${\displaystyle \operatorname {cont} }$

Тогда имеет место сильная двойственность , т.е. . Если тогда достигается супремум . ^[1] ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$ ${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$

Одномерная иллюстрация

На следующем рисунке проиллюстрирована задача минимизации в левой части уравнения. Требуется изменить x таким образом, чтобы вертикальное расстояние между выпуклой и вогнутой кривыми в точке x было как можно меньше. Положение вертикальной линии на рисунке является (приблизительным) оптимумом.

Следующий рисунок иллюстрирует задачу максимизации в правой части приведенного выше уравнения. Касательные проведены к каждой из двух кривых таким образом, чтобы обе касательные имели одинаковый наклон p . Проблема состоит в том, чтобы настроить p таким образом, чтобы две касательные были как можно дальше друг от друга (точнее, так, чтобы точки, в которых они пересекают ось y, были как можно дальше друг от друга). Представьте себе две касательные как металлические стержни с вертикальными пружинами между ними, которые раздвигают их и против двух парабол, которые закреплены на месте.

Теорема Фенхеля утверждает, что обе задачи имеют одно и то же решение. Точки, имеющие минимальное вертикальное разделение, являются также точками касания для максимально разделенных параллельных касательных.

Смотрите также

• преобразование Лежандра
• Выпуклый сопряженный
• Теорема Моро
• Двойственность Вульфа
• Вернер Фенхель

Ссылки

1. Борвейн, Джонатан; Чжу, Цицзи (2005). Методы вариационного анализа . Спрингер. стр. 135–137. ISBN 978-1-4419-2026-3.

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). «Двойственность Фенхеля–Рокафеллара». Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Springer. стр. 247–262. doi :10.1007/978-3-319-48311-5_15. ISBN 978-3-319-48310-8.
• Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Выпуклый анализ . Princeton University Press. стр. 327. ISBN 0-691-01586-4.