Физика теплопередачи

Раздел физики

Физика теплопередачи описывает кинетику хранения энергии , переноса и преобразования энергии основными носителями энергии : фононами (волнами колебаний решетки), электронами , жидкими частицами и фотонами . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Тепло — это тепловая энергия, запасенная в зависящем от температуры движении частиц, включая электроны, атомные ядра, отдельные атомы и молекулы. Тепло передается в материю и из нее основными носителями энергии. Состояние энергии, запасенной в материи или переносимой носителями, описывается комбинацией классической и квантовой статистической механики . Энергия по-разному создается (преобразуется) среди различных носителей. Процессы теплопередачи (или кинетика) регулируются скоростями, с которыми происходят различные связанные физические явления, такие как (например) скорость столкновений частиц в классической механике . Эти различные состояния и кинетика определяют теплопередачу, т. е. чистую скорость хранения или переноса энергии. Этими процессами от атомного уровня (масштаб длины атома или молекулы) до макромасштаба управляют законы термодинамики , включая закон сохранения энергии .

Введение

Изменение равновесной функции распределения частиц по энергии для различных энергоносителей.

Кинетика переноса энергии на атомном уровне и переходного взаимодействия ^[5]

Режимы масштаба длины и времени для ab initio, MD, переноса Больцмана и макроскопических рассмотрений теплопередачи. ^[5]

Тепло — это тепловая энергия, связанная с зависящим от температуры движением частиц. Макроскопическое уравнение энергии для бесконечно малого объема, используемое в анализе теплопередачи, выглядит так ^[6], где q — вектор теплового потока, − ρc _p ( ∂T / ∂t ) — временное изменение внутренней энергии ( ρ — плотность, c _p — удельная теплоемкость при постоянном давлении, T — температура, t — время), а — преобразование энергии в тепловую энергию и обратно ( i и j — основные носители энергии). Таким образом, эти термины представляют перенос, хранение и преобразование энергии. Вектор теплового потока q состоит из трех макроскопических основных мод: проводимости ( q k ₌ − k ∇ T , k : теплопроводность ), конвекции ( q _u = ρc _p u T , u : скорость) и излучения ( , ω : угловая частота, θ : полярный угол, I _ph,ω : спектральная, направленная интенсивность излучения, s : единичный вектор), т. е. q = q _k + q _u + q _r . $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {q} =-\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}+\sum _{i,j}{\dot {s}}_{i-j},}$$ ${\displaystyle {\dot {s}}}$ ${\textstyle \mathbf {q} _{r}=2\pi \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }\sin(\theta )d\theta \,d\omega }$

Как только состояния и кинетика преобразования энергии и теплофизические свойства известны, судьба теплопередачи описывается приведенным выше уравнением. Эти механизмы и кинетика на атомном уровне рассматриваются в физике теплопередачи. Микроскопическая тепловая энергия хранится, транспортируется и преобразуется основными носителями энергии: фононами ( p ), электронами ( e ), жидкими частицами ( f ) и фотонами ( ph ). ^[7]

Масштабы длины и времени

Теплофизические свойства вещества и кинетика взаимодействия и обмена энергией между основными носителями основаны на конфигурации и взаимодействии на атомном уровне. ^[1] Транспортные свойства, такие как теплопроводность, рассчитываются из этих свойств на атомном уровне с использованием классической и квантовой физики . ^{[5] [8]} Квантовые состояния основных носителей (например, импульс, энергия) выводятся из уравнения Шредингера (называемого первым принципом или ab initio ), а скорости взаимодействия (для кинетики) рассчитываются с использованием квантовых состояний и квантовой теории возмущений (сформулированной как золотое правило Ферми ). ^[9] Существует множество решателей (программ) ab initio (лат. «с самого начала») (например, ABINIT , CASTEP , Gaussian , Q-Chem , Quantum ESPRESSO , SIESTA , VASP , WIEN2k ). Электроны во внутренних оболочках (ядрах) не участвуют в передаче тепла, и вычисления значительно сокращаются за счет соответствующих приближений относительно электронов внутренних оболочек. ^[10]

Квантовые методы, включая равновесную и неравновесную ab initio молекулярную динамику (МД), включающую большие длины и времена, ограничены вычислительными ресурсами, поэтому использовались различные альтернативные методы с упрощающими предположениями и кинетикой. ^[11] В классической (ньютоновской) МД движение атома или молекулы (частиц) основано на эмпирических или эффективных потенциалах взаимодействия, которые, в свою очередь, могут быть основаны на кривой подгонки ab initio расчетов или кривой подгонки к теплофизическим свойствам. Из ансамблей моделируемых частиц выводятся статические или динамические тепловые свойства или скорости рассеяния. ^{[12] [13]}

На еще больших масштабах длины (мезомасштаб, включающий много средних свободных пробегов) применяется уравнение переноса Больцмана (BTE), которое основано на классической гамильтоново-статистической механике. BTE рассматривает состояния частиц в терминах векторов положения и импульса ( x , p ), и это представлено как вероятность занятия состояния. Занятость имеет равновесные распределения (известные бозоны, фермионы и частицы Максвелла-Больцмана), а перенос энергии (тепла) обусловлен неравновесностью (вызванной движущей силой или потенциалом). Центральную роль в переносе играет рассеяние, которое поворачивает распределение к равновесию. Рассеяние представлено отношениями времени или среднего свободного пробега. Время релаксации (или его обратная величина, которая является скоростью взаимодействия) находится из других расчетов ( ab initio или MD) или эмпирически. BTE может быть численно решено с помощью метода Монте-Карло и т. д. ^[14]

В зависимости от продолжительности и временного масштаба выбирается соответствующий уровень обработки ( ab initio , MD или BTE). Анализ физики теплопередачи может включать несколько масштабов (например, BTE с использованием скорости взаимодействия из ab initio или классического MD) с состояниями и кинетикой, связанными с хранением, транспортировкой и преобразованием тепловой энергии.

Итак, физика теплопередачи охватывает четыре основных переносчика энергии и их кинетику с классической и квантово-механической точек зрения. Это позволяет проводить многомасштабный анализ ( ab initio , MD, BTE и макромасштаб), включая низкоразмерные и размерные эффекты. ^[2]

Фонон

Фонон (квантованная волна колебаний решетки) является центральным носителем тепловой энергии, способствующим теплоемкости (запасу явного тепла) и кондуктивному переносу тепла в конденсированной фазе, и играет очень важную роль в преобразовании тепловой энергии. Его транспортные свойства представлены тензором фононной проводимости K _p (Вт/мК, из закона Фурье q _k,p = - K _p ⋅∇ T ) для объемных материалов и фононным граничным сопротивлением AR _p,b [K/(Вт/м ² )] для твердых интерфейсов, где A - площадь интерфейса. Удельная теплоемкость фонона c _v,p (Дж/кг-К) включает квантовый эффект. Скорость преобразования тепловой энергии с участием фонона включена в . Физика теплопередачи описывает и предсказывает, c _v,p , K _p , R _p,b (или проводимость G _p,b ) и , на основе свойств атомного уровня. ${\displaystyle {\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}}$ ${\displaystyle {\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}}$

Для равновесного потенциала ⟨ φ ⟩ _o системы с N атомами полный потенциал ⟨ φ ⟩ находится путем разложения в ряд Тейлора в равновесии, и его можно аппроксимировать вторыми производными (гармоническое приближение) как $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \varphi \rangle &=\langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+\left.\sum _{i}\sum _{\alpha }{\frac {\partial \langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }+\left.{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }{\frac {\partial ^{2}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }+\left.{\frac {1}{6}}\sum _{i,j,k}\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }{\frac {\partial ^{3}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }\partial d_{k\gamma }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }d_{k\gamma }+\cdots \\&\approx \langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }\Gamma _{\alpha \beta }d_{i\alpha }d_{j\beta },\end{aligned}}}$$

где d _i - вектор смещения атома i , а Γ - постоянная пружины (или силы) как производные второго порядка от потенциала. Уравнение движения для колебания решетки в терминах смещения атомов [ d ( jl , t ): вектор смещения j -го атома в l -й элементарной ячейке в момент времени t ] имеет вид где m - атомная масса, а Γ - тензор силовой постоянной. Смещение атома представляет собой сумму по нормальным модам [ s _α : единичный вектор моды α , ω _p : угловая частота волны и κ _p : волновой вектор]. Используя это смещение плоской волны, уравнение движения становится уравнением собственных значений ^{[15] [16]} , где M - диагональная массовая матрица, а D - гармоническая динамическая матрица. Решение этого уравнения собственных значений дает соотношение между угловой частотой ω _p и волновым вектором κ _p , и это соотношение называется соотношением дисперсии фононов . Таким образом, дисперсионное соотношение фононов определяется матрицами M и D , которые зависят от атомной структуры и силы взаимодействия между составляющими атомами (чем сильнее взаимодействие и чем легче атомы, тем выше частота фонона и больше наклон dω _p / d κ _p ). Гамильтониан фононной системы с гармоническим приближением равен ^{[15] [17] [18]} где D _ij - динамический матричный элемент между атомами i и j , а d _i ( d _j ) - смещение атома i ( j ), а p - импульс. Из этого и решения дисперсионного соотношения оператор уничтожения фононов для квантовой обработки определяется как где N - число нормальных мод, деленное на α , а ħ - приведенная постоянная Планка . Оператор рождения является сопряженным к оператору уничтожения, Гамильтониан в терминах b _κ,α $${\displaystyle m_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {d} (jl,t)}{dt^{2}}}=-\sum _{j'l'}{\boldsymbol {\Gamma }}{\binom {j\ j^{\prime }}{l\ l'}}\cdot \mathbf {d} (j'l',T),}$$ $${\displaystyle \mathbf {M} \omega _{p}^{2}({\boldsymbol {\kappa }}_{p},\alpha )\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})=\mathbf {D} ({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p}),}$$ $${\displaystyle \mathrm {H} _{p}=\sum _{x}{\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {x} ,\mathbf {x} '}\mathbf {d} _{i}(\mathbf {x} )D_{ij}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\mathbf {d} _{j}(\mathbf {x} '),}$$ $${\displaystyle b_{\kappa ,\alpha }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{-i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )+i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right],}$$ $${\displaystyle b_{\kappa ,\alpha }^{\dagger }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )-i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right].}$$^† и b _κ,α — это H _p = Σ _{κ , α} ħω _p,α [ b _κ,α ^† b _κ,α + 1/2] и b _κ,α ^† b _κ,α — оператор числа фононов . Энергия квантово-гармонического осциллятора равна E _p = Σ _{κ , α} [ f _p ( κ , α ) + 1/2] ħω _p,α ( κ _p ), и, следовательно, квант энергии фонона ħω _p .

Фононное дисперсионное соотношение дает все возможные фононные моды в зоне Бриллюэна (зона в примитивной ячейке в обратном пространстве ) и плотность фононных состояний D _p ( плотность числа возможных фононных мод). Групповая скорость фонона u _p,g является наклоном дисперсионной кривой, dω _p / d κ _p . Поскольку фонон является бозонной частицей, его занятость следует распределению Бозе–Эйнштейна { f _p ^o = [exp( ħω _p / k _B T )-1] ⁻¹ , k _B : постоянная Больцмана }. Используя плотность фононных состояний и это распределение занятости, энергия фонона равна E _p ( T ) = ∫ D _p ( ω _p ) f _p ( ω _p ,T ) ħω _p dω _p , а плотность фононов равна n _p ( T ) = ∫ D _p ( ω _p ) f _p ( ω _p ,T ) dω _p . Теплоемкость фонона c _v,p (в твердом теле c _v,p = c _p,p , c _v,p  : теплоемкость при постоянном объеме, c _p,p : теплоемкость при постоянном давлении) является температурной производной энергии фонона для модели Дебая (модель линейной дисперсии), равна ^[19] где T _D - температура Дебая , m - атомная масса, а n - плотность атомного числа (плотность числа фононных мод для кристалла 3 n ). Это дает закон Дебая T3 при низкой температуре и ^закон Дюлонга-Пти при высоких температурах. $${\displaystyle c_{v,p}=\left.{\frac {dE_{p}}{dT}}\right|_{v}={\frac {9k_{\mathrm {B} }}{m}}\left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}n\int _{0}^{T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx\qquad (x={\frac {\hbar \omega }{k_{\mathrm {B} }T}}),}$$

Из кинетической теории газов ^[20] теплопроводность основного носителя i ( p , e , f и ph ) равна где n _i - плотность носителей, а теплоемкость - на одного носителя, u _i - скорость носителя, а λ _i - длина свободного пробега (расстояние, пройденное носителем до момента рассеяния). Таким образом, чем больше плотность носителей, теплоемкость и скорость, и чем меньше рассеяние, тем выше проводимость. Для фонона λ _p представляет собой кинетику взаимодействия (рассеяния) фононов и связана со временем релаксации рассеяния τ _p или скоростью (= 1/ τ _p ) через λ _p = u _p τ _p . Фононы взаимодействуют с другими фононами, а также с электронами, границами, примесями и т. д., и λ _p объединяет эти механизмы взаимодействия с помощью правила Маттиссена . При низких температурах преобладает рассеяние на границах, а с ростом температуры становится важной скорость взаимодействия с примесями, электронными и другими фононами, и, наконец, фонон-фононное рассеяние доминирует при T > 0,2 T _D. Скорости взаимодействия рассмотрены в ^[21] и включают квантовую теорию возмущений и МД. $${\displaystyle k_{i}={\frac {1}{3}}n_{i}c_{v,i}u_{i}\lambda _{i},}$$

Доступно несколько моделей проводимости с приближениями относительно дисперсии и λ _p . ^{[17] [19] [21] [22] [23] [24] [25]} Используя приближение времени релаксации одномодового режима (∂ f _p ^′ /∂ t | _s = − f _p ^′ / τ _p ) и газокинетическую теорию, модель фононной (решеточной) проводимости Каллавэя ^{[21] [26]} $${\displaystyle k_{p,\mathbf {s} }={\frac {1}{8\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}(\mathbf {u} _{p,g}\cdot \mathbf {s} )^{2}d\kappa \ \ \ \ \ {\text{ for component along }}\mathbf {s} ,}$$ $${\displaystyle k_{p}={\frac {1}{6\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}{u}_{p,g}^{2}\kappa ^{2}d\kappa \ \ \ \ \ \ \ \ {\text{for isotropic conductivity}}.}$$

С помощью модели Дебая (единая групповая скорость u _p,g и удельная теплоемкость, рассчитанная выше) это становится $${\displaystyle k_{p}=\left(48\pi ^{2}\right)^{1/3}{\frac {k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}}{ah_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {D} }}}\int _{0}^{T/T_{\mathrm {D} }}\tau _{p}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx,}$$

где a — постоянная решетки a = n ^−1/3 для кубической решетки, а n — плотность атомного числа. Модель слабой фононной проводимости, в основном учитывающая рассеяние акустических фононов (трехфононное взаимодействие), задается как ^{[27] [28]} , где ⟨ M ⟩ — средний атомный вес атомов в примитивной ячейке, V _a =1/ n — средний объем на атом, T _D,∞ — высокотемпературная температура Дебая, T — температура, N _o — число атомов в примитивной ячейке, а ⟨γ ² _G ⟩ — усредненный по моде квадрат постоянной или параметра Грюнайзена при высоких температурах. Эта модель широко тестируется с чистыми неметаллическими кристаллами, и общее согласие хорошее, даже для сложных кристаллов. $${\displaystyle k_{p}=k_{p,S}={\frac {3.1\times 10^{12}\langle M\rangle V_{a}^{1/3}T_{D,\infty }^{3}}{T\langle \gamma _{G}^{2}\rangle N_{o}^{2/3}}}\qquad {\text{ high temperatures }}(T>0.2T_{D},{\text{ phonon-phonon scattering only)}},}$$

На основе кинетики и рассмотрения атомной структуры ожидается, что материал с высокими кристаллическими и сильными взаимодействиями, состоящий из легких атомов (например, алмаз и графен), будет иметь большую фононную проводимость. Твердые тела с более чем одним атомом в наименьшей элементарной ячейке, представляющей решетку, имеют два типа фононов, т. е. акустические и оптические. (Акустические фононы представляют собой синфазные движения атомов вокруг их положений равновесия, в то время как оптические фононы представляют собой противофазные движения соседних атомов в решетке.) Оптические фононы имеют более высокие энергии (частоты), но вносят меньший вклад в теплопередачу проводимости из-за их меньшей групповой скорости и занятости.

Перенос фононов через границы гетероструктуры (представленный как R _p,b , фононное граничное сопротивление ) в соответствии с приближениями граничного рассеяния моделируется как модели акустического и диффузного несоответствия. ^[29] Большая передача фононов (маленькие R _p,b ) происходит на границах, где пары материалов имеют схожие фононные свойства ( u _p , D _p и т. д.), и, напротив, большие R _p,b возникают, когда один материал мягче (более низкая граничная частота фонона), чем другой.

Электрон

Квантовые состояния энергии электрона для электрона находятся с использованием электронного квантового гамильтониана, который обычно состоит из кинетических (- ħ ² ∇ ² /2 m _e ) и потенциальных энергетических членов ( φ _e ). Атомная орбиталь, математическая функция, описывающая волнообразное поведение электрона или пары электронов в атоме , может быть найдена из уравнения Шредингера с этим электронным гамильтонианом. Водородоподобные атомы (ядро и электрон) допускают замкнутое решение уравнения Шредингера с электростатическим потенциалом ( закон Кулона ). Уравнение Шредингера для атомов или атомных ионов с более чем одним электроном не было решено аналитически из-за кулоновских взаимодействий между электронами. Таким образом, используются численные методы, и электронная конфигурация аппроксимируется как произведение более простых водородоподобных атомных орбиталей (изолированные электронные орбитали). Молекулы с несколькими атомами (ядра и их электроны) имеют молекулярную орбиталь (МО, математическая функция для волнообразного поведения электрона в молекуле), и получаются с помощью упрощенных методов решения, таких как линейная комбинация атомных орбиталей (ЛКАО). Молекулярная орбиталь используется для прогнозирования химических и физических свойств, а разница между высшей занятой молекулярной орбиталью ( ВЗМО ) и низшей незанятой молекулярной орбиталью ( НВМО ) является мерой возбудимости молекул.

В кристаллической структуре металлических твердых тел используется модель свободных электронов (нулевой потенциал, φ _e = 0) для поведения валентных электронов . Однако в периодической решетке (кристалле) существует периодический кристаллический потенциал, поэтому электронный гамильтониан становится ^[19] где m _e — масса электрона, а периодический потенциал выражается как φ _c ( x ) = Σ _g φ _g exp[ i ( g ∙ x )] ( g : вектор обратной решетки). Не зависящее от времени уравнение Шредингера с этим гамильтонианом задается как (уравнение собственных значений) , где собственная функция ψ _e,κ — волновая функция электрона, а собственное значение E _e ( κ _e ) — энергия электрона ( κ _e : волновой вектор электрона). Связь между волновым вектором κ _e и энергией E _e обеспечивает электронную зонную структуру . На практике решетка как многочастичная система включает взаимодействия между электронами и ядрами в потенциале, но этот расчет может быть слишком сложным. Таким образом, было предложено много приближенных методов, и один из них - теория функционала плотности (DFT), использующая функционалы пространственно зависимой электронной плотности вместо полных взаимодействий. DFT широко используется в программном обеспечении ab initio ( ABINIT , CASTEP , Quantum ESPRESSO , SIESTA , VASP , WIEN2k и т. д.). Удельная теплоемкость электронов основана на энергетических состояниях и распределении занятости ( статистика Ферми-Дирака ). В общем случае теплоемкость электронов мала, за исключением очень высоких температур, когда они находятся в тепловом равновесии с фононами (решетка). Электроны вносят вклад в теплопроводность (в дополнение к переносу заряда) в твердом теле, особенно в металлах. Тензор теплопроводности в твердом теле представляет собой сумму тензоров электрической и фононной теплопроводности K = K _e + K _p . $${\displaystyle \mathrm {H} _{e}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}+\varphi _{c}(\mathbf {x} ),}$$ $${\displaystyle \mathrm {H} _{e}\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} )=E_{e}({\boldsymbol {\kappa }}_{e})\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ),}$$

_На электроны действуют две термодинамические силы [со стороны заряда, ∇( EF / ec ), гдеEF _— уровень Ферми , аec — _заряд электрона и градиент температуры, ∇(1/ T )], поскольку они переносят как _{заряд ,} так и тепловую энергию, и , таким образом _, электрический ток je и тепловой поток _q описываются термоэлектрическими тензорами ( Aee , _Aet , Ate и Att ) _из обратных соотношений Онзагера [ ^30] как $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=\mathbf {A} _{ee}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{et}\cdot \nabla {\frac {1}{T}},\ \ {\text{and}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} _{te}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{tt}\cdot \nabla {\frac {1}{T}}.}$$

Преобразуем эти уравнения так, чтобы получить уравнение j _e в терминах электрического поля e _e и ∇ T и уравнение q с j _e и ∇ T , (используя скалярные коэффициенты для изотропного переноса, α _ee , α _et , α _te и α _tt вместо A _ee , A _et , A _te и A _tt ) $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=\alpha _{ee}\mathbf {e} _{e}-{\frac {\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T\qquad (\mathbf {e} _{e}=\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}+{\frac {\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T),}$$ $${\displaystyle \mathbf {q} =\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}-{\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T.}$$

Электропроводность/удельное сопротивление σe ₍ Ом ⁻¹ _· м ⁻¹ )/ρe _{( Ом} ·м), электропроводность ke (Вт/мК ₎ и коэффициенты Зеебека/Пельтье αS (В/К)/ αP (В) определяются как, $${\displaystyle \sigma _{e}={\frac {1}{\rho _{e}}}=\alpha _{ee},\ \ k_{e}={\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}},\mathrm {and} \ \alpha _{\mathrm {S} }={\frac {\alpha _{et}\alpha _{ee}^{-1}}{T^{2}}}\ \ (\alpha _{\mathrm {S} }=\alpha _{\mathrm {P} }T).}$$

Различные носители (электроны, магноны , фононы и поляроны ) и их взаимодействия существенно влияют на коэффициент Зеебека. ^{[31] [32]} Коэффициент Зеебека можно разложить на два вклада: α _S = α _S,pres + α _S,trans , где α _S,pres — сумма вкладов в изменение энтропии, вызванное носителем, т. е. α _S,pres = α _S,mix + α _S,spin + α _S,vib ( α _S,mix : энтропия смешивания, α _S,spin : спиновая энтропия и α _S,vib : колебательная энтропия). Другой вклад α _S,trans — это чистая энергия, переданная при перемещении носителя, деленная на qT ( q : заряд носителя). Вклад электронов в коэффициент Зеебека в основном находится в α _S,pres . α _S,mix обычно доминирует в слаболегированных полупроводниках. Изменение энтропии смешивания при добавлении электрона в систему — это так называемая формула Хейкеса , где f _e ^o = N / N _a — отношение электронов к узлам (концентрация носителей). Используя химический потенциал ( μ ), тепловую энергию ( k _B T ) и функцию Ферми, приведенное выше уравнение можно выразить в альтернативной форме: α _S,mix = ( k _B / q )[( E _e − μ )/( k _B T )]. Распространяя эффект Зеебека на спины, хорошим примером может служить ферромагнитный сплав. Вклад в коэффициент Зеебека, который возникает из-за присутствия электронов, изменяющих спиновую энтропию системы, определяется как α _S,spin = Δ S _spin / q = ( k _B / q )ln[(2 s + 1)/(2 s ₀ +1)], где s ₀ и s $${\displaystyle \alpha _{\mathrm {S,mix} }={\frac {1}{q}}{\frac {\partial S_{\mathrm {mix} }}{\partial N}}={\frac {k_{\mathrm {B} }}{q}}\ln \left({\frac {1-f_{e}^{\mathrm {o} }}{f_{e}^{\mathrm {o} }}}\right),}$$являются чистыми спинами магнитного участка в отсутствие и в присутствии носителя соответственно. Многие колебательные эффекты с электронами также вносят вклад в коэффициент Зеебека. Смягчение колебательных частот приводит к изменению колебательной энтропии - один из примеров. Колебательная энтропия является отрицательной производной свободной энергии, т. е., где D _p ( ω ) - плотность состояний фононов для структуры. Для высокотемпературного предела и разложений в ряд гиперболических функций вышеизложенное упрощается как α _S,vib = (Δ S _vib / q ) = ( k _B / q )Σ _i (-Δ ω _i / ω _i ). $${\displaystyle S_{\mathrm {vib} }=-{\frac {\partial F_{\mathrm {mix} }}{\partial T}}=3Nk_{\mathrm {B} }T\int _{0}^{\omega }\left\{{\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)-\ln \left[2\sinh \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)\right]\right\}D_{p}(\omega )d\omega ,}$$

Коэффициент Зеебека, полученный в приведенной выше формулировке Онзагера, представляет собой компонент смешивания α _S,mix , который доминирует в большинстве полупроводников. Колебательная компонента в материалах с большой шириной запрещенной зоны, таких как B ₁₃ C _{2 ,} очень важна.
Учитывая микроскопический транспорт (транспорт является результатом неравновесности), $${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),}$$ $${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {1}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}(E_{e}-E_{\mathrm {F} })\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }={\frac {1}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(E_{e}-E_{\mathrm {F} })(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),}$$

где u _e — вектор скорости электронов, f _e ( f _e ^o ) — неравновесное (равновесное) распределение электронов, τ _e — время рассеяния электронов, E _e — энергия электронов, а F _te — электрические и тепловые силы от ∇( E _F / e _c ) и ∇(1/ T ). Связывая термоэлектрические коэффициенты с микроскопическими уравнениями переноса для j _e и q, вычисляются тепловые, электрические и термоэлектрические свойства. Таким образом, k _e увеличивается с электропроводностью σe и температурой T , как показывает закон Видемана–Франца [ k _e /( σ _e T _e ) = (1/3)( πk _B / e _c ) ² =2,44 × 10−8  Вт-Ом/К2 ^] . Электронный транспорт (представленный как σe ₎ является функцией плотности носителей ne _,c и подвижности электронов _μe ( σe = e c _ne , _c μe ). μe _{определяется} скоростями рассеяния электронов ⁽ или временем релаксации ) в различных механизмах взаимодействия, включая взаимодействие с другими электронами, фононами, примесями и _{границами .} ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{e}}$ ${\displaystyle \tau _{e}=1/{\dot {\gamma }}_{e}}$

Электроны взаимодействуют с другими основными носителями энергии. Электроны, ускоренные электрическим полем, релаксируют посредством преобразования энергии в фонон (в полупроводниках, в основном оптический фонон), что называется джоулевым нагревом . Преобразование энергии между электрическим потенциалом и энергией фонона рассматривается в термоэлектриках, таких как охлаждение Пельтье и термоэлектрический генератор. Кроме того, изучение взаимодействия с фотонами является центральным в оптоэлектронных приложениях (например, светодиоды , солнечные фотоэлектрические элементы и т. д.). Скорости взаимодействия или скорости преобразования энергии можно оценить с помощью золотого правила Ферми (из теории возмущений) с подходом ab initio .

Частица жидкости

Частица жидкости — это наименьшая единица (атомы или молекулы) в жидкой фазе (газ, жидкость или плазма) без разрыва какой-либо химической связи. Энергия частицы жидкости делится на потенциальную, электронную, поступательную, колебательную и вращательную энергии. Тепловая (тепловая) энергия, запасаемая в частице жидкости, осуществляется посредством движения частицы, зависящего от температуры (поступательная, колебательная и вращательная энергии). Электронная энергия включается только в том случае, если температура достаточно высока для ионизации или диссоциации частиц жидкости или для включения других электронных переходов. Эти квантовые энергетические состояния частиц жидкости находятся с использованием их соответствующего квантового гамильтониана. Это H _{f , t} = −( ħ ² /2 m )∇ ² , H _f,v = −( ħ ² /2 m )∇ ² + Γ x ² /2 и H _{f , r} = −( ħ ² /2 I _f )∇ ² для поступательных, колебательных и вращательных мод. (Γ: константа пружины , I _f : момент инерции молекулы). Из гамильтониана квантованное энергетическое состояние частицы жидкости E _f и статистические суммы Z _f [с распределением занятости Максвелла–Больцмана (МБ) ] находятся как ^[33]

• трансляционный $${\displaystyle E_{f,t,n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{L^{2}}}\right)\ \ \ {\text{and}}\ \ \ Z_{f,t}\sum _{i=0}^{\infty }g_{f,t,i}\exp \left(-{\frac {E_{f,t,i}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)=V\left({\frac {mk_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2},}$$
• вибрационный $${\displaystyle E_{f,v,l}=\hbar \omega _{f,v}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,v}\sum _{j=0}^{\infty }\exp \left[-\left(l+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\hbar \omega _{f,v}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]={\frac {\exp(-T_{f,v}/2T)}{1-\exp(-T_{f,v}/T)}},}$$
• вращательный $${\displaystyle E_{f,r,j}={\frac {\hbar ^{2}}{2I_{f}}}\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,r}\sum _{j=0}^{\infty }(2j+1)\exp \left[-{\frac {-\hbar ^{2}j(j+1)}{2I_{f}k_{\mathrm {B} }T}}\right]\approx {\frac {T}{T_{f,r}}}\left(1+{\frac {T_{f,r}}{3T}}+{\frac {T_{f,r}^{2}}{15T^{2}}}+\cdots \right),}$$
• общий $${\displaystyle E_{f}=\sum _{i}E_{f,i}=E_{f,t}+E_{f,v}+E_{f,r}+\dots \ \ {\text{and}}\ \ Z_{f}=\prod _{i}Z_{f,i}=Z_{f,t}Z_{f,v}Z_{f,r}\dots .}$$

Здесь g _f — вырождение, n , l и j — переходные, колебательные и вращательные квантовые числа, T _f,v — характеристическая температура для вибрации (= ħω _f,v / k _B , : частота вибрации), а T _f,r — вращательная температура [= ħ ² /(2 I _f k _B )]. Средняя удельная внутренняя энергия связана с статистической суммой через Z _f , ${\displaystyle e_{f}=(k_{\mathrm {B} }T^{2}/m)(\partial \mathrm {ln} Z_{f}/\partial T)|_{N,V}.}$

С энергетическими состояниями и функцией распределения удельная теплоемкость частиц жидкости c _v,f является суммой вклада различных кинетических энергий (для неидеального газа также добавляется потенциальная энергия). Поскольку общее число степеней свободы в молекулах определяется атомной конфигурацией, c _v,f имеет различные формулы в зависимости от конфигурации, ^[33]

• одноатомный идеальный газ $${\displaystyle c_{v,f}=\left.{\frac {\partial e_{f}}{\partial T}}\right|_{V}={\frac {3R_{g}}{2M}},}$$
• двухатомный идеальный газ $${\displaystyle c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{{\frac {3}{2}}+\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}+1+{\frac {2}{15}}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}\right\},}$$
• нелинейный, многоатомный идеальный газ $${\displaystyle c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{3+\sum _{j=1}^{3N_{o}-6}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}\right\}.}$$

где R _g — газовая постоянная (= N _A k _B , N _A : постоянная Авогадро), а M — молекулярная масса (кг/кмоль). (Для многоатомного идеального газа N _o — число атомов в молекуле.) В газе удельная теплоемкость при постоянном давлении c _p,f имеет большее значение, и разница зависит от температуры T , объемного коэффициента теплового расширения β и изотермической сжимаемости κ [ c _p,f – c _v,f = Tβ ² /( ρ _f κ ), ρ _f  : плотность жидкости]. Для плотных жидкостей следует включить взаимодействия между частицами (взаимодействие Ван-дер-Ваальса), и c _v,f и c _p,f изменятся соответственно. Чистое движение частиц (под действием силы тяжести или внешнего давления) приводит к конвективному тепловому потоку q _u = ρ _f c _p,f u _f T . Тепловой поток проводимости q _k для идеального газа выводится с помощью кинетической теории газа или транспортных уравнений Больцмана, а теплопроводность равна где ⟨ uf ₂ ⟩ ^{1/2 -} среднеквадратичная (RMS ) тепловая скорость (3 k _B T / m из функции распределения МБ, m : ^{атомная} масса), а τ _f-f - время релаксации (или период времени между столкновениями) [(2 ^1/2 π d ² n _f ⟨ uf ⟩) ⁻¹ из кинетической теории газа, ⟨ uf _{⟩ :} средняя тепловая скорость (8 k _B T / πm ) ^1/2 , d : диаметр столкновения частицы жидкости (атома или молекулы), n _f : плотность числа жидкости]. $${\displaystyle k_{f}={\tfrac {1}{3}}n_{f}c_{p,f}\langle u_{f}^{2}\rangle \tau _{f{\mbox{-}}f},}$$

k _f также рассчитывается с использованием молекулярной динамики (МД), которая моделирует физические движения частиц жидкости с помощью уравнений движения Ньютона (классических) и силового поля (из ab initio или эмпирических свойств). Для расчета k _f обычно используются равновесная МД с соотношениями Грина-Кубо , которые выражают коэффициенты переноса через интегралы временных корреляционных функций (с учетом флуктуации), или неравновесная МД (задающая тепловой поток или разницу температур в моделируемой системе).

Частицы жидкости могут взаимодействовать с другими основными частицами. Колебательные или вращательные моды, которые имеют относительно высокую энергию, возбуждаются или распадаются посредством взаимодействия с фотонами. Газовые лазеры используют кинетику взаимодействия между частицами жидкости и фотонами, а лазерное охлаждение также рассматривалось в газовом лазере на CO2. _[ ^{34] [35]} Кроме того, частицы жидкости могут адсорбироваться на твердых поверхностях ( физическая адсорбция и хемосорбция ), а фрустрированные колебательные моды в адсорбатах (частицах жидкости) распадаются путем создания пар e ⁻ - h ⁺ или фононов. Эти скорости взаимодействия также рассчитываются с помощью расчета ab initio для частиц жидкости и золотого правила Ферми. ^[36]

Фотон

Спектральный коэффициент поглощения фотонов для типичных газовых, жидких и твердых фаз. Для твердой фазы приведены примеры полимера, оксида, полупроводника и металлов.

Фотон — это квант электромагнитного (ЭМ) излучения и носитель энергии для передачи тепла излучением . ЭМ волна регулируется классическими уравнениями Максвелла , а квантование ЭМ волны используется для таких явлений, как излучение черного тела (в частности, для объяснения ультрафиолетовой катастрофы ). Энергия квантовой ЭМ волны (фотона) угловой частоты ω _ph равна E _ph = ħω _ph и следует функции распределения Бозе-Эйнштейна ( f _ph ). Гамильтониан фотона для квантованного поля излучения ( вторичное квантование ) равен ^{[37] [38]} где e _e и b _e — электрические и магнитные поля ЭМ излучения, ε _o и μ _o — диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства, V — объем взаимодействия, ω _ph,α — угловая частота фотона для моды α , а c _α ^† и c _α — операторы рождения и уничтожения фотона. Векторный потенциал a _e электромагнитных полей ( e _e = −∂ a _e /∂ t и b _e = ∇× a _e ) равен , где s _ph,α — единичный вектор поляризации, κ _α — волновой вектор. $${\displaystyle \mathrm {H} _{ph}={\frac {1}{2}}\int \left(\varepsilon _{\mathrm {o} }\mathbf {e} _{e}^{2}+\mu _{\mathrm {o} }^{-1}\mathbf {b} _{e}^{2}\right)dV=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }+{\frac {1}{2}}\right),}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{e}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{\alpha }\left({\frac {\hbar }{2\varepsilon _{\mathrm {o} }\omega _{ph,\alpha }V}}\right)^{1/2}\mathbf {s} _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }e^{i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }+c_{\alpha }^{\dagger }e^{-i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }\right),}$$

Излучение абсолютно черного тела среди различных типов фотонного излучения использует модель фотонного газа с термализованным распределением энергии без межфотонного взаимодействия. Из линейного дисперсионного соотношения (т.е. бездисперсионного) фазовая и групповая скорости равны ( u _ph = d ω _ph / dκ = ω _ph / κ , u _ph : скорость фотона) и плотность состояний Дебая (используемая для бездисперсионного фотона) равна D _ph,b,ω dω = ω _ph ² dω _ph / π ² u _ph ³ . С D _ph,b,ω и равновесным распределением f _ph , спектральное распределение энергии фотона dI _b,ω или dI _b,λ ( λ _ph : длина волны) и полная излучательная мощность E _b выводятся как ( закон Планка ), ( закон Стефана–Больцмана ). $${\displaystyle dI_{b,\omega }={\frac {D_{ph,b,\omega }f_{ph}u_{ph}d\omega _{ph}}{4\pi }}={\frac {\hbar \omega _{ph}^{3}}{4\pi ^{3}u_{ph}^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega _{ph}/k_{\mathrm {B} }T}-1}}d\omega _{ph}\ {\text{or}}\ dI_{b,\lambda }={\frac {4\pi \hbar u_{ph}^{2}d\lambda _{ph}}{\lambda _{ph}^{5}(e^{2\pi \hbar u_{ph}/\lambda _{ph}k_{\mathrm {B} }T}-1)}}}$$ $${\displaystyle E_{b}=\int _{0}^{\infty }dE_{b,\lambda }=\sigma _{\mathrm {SB} }T^{4}\ {\text{, where}}\ \sigma _{\mathrm {SB} }={\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{60\hbar ^{3}u_{ph}^{2}}}}$$

По сравнению с излучением черного тела, лазерное излучение имеет высокую направленность (малый телесный угол ΔΩ) и спектральную чистоту (узкие полосы Δ ω ). Лазеры работают в диапазоне от дальнего инфракрасного до рентгеновского/γ-излучения, основанном на резонансном переходе ( стимулированное излучение ) между электронными энергетическими состояниями. ^[39]

Излучение в ближнем поле от термически возбужденных диполей и других электрических/магнитных переходов очень эффективно на небольшом расстоянии (порядка длины волны) от мест излучения. ^{[40] [41] [42]}

BTE для импульса фотонной частицы p _ph = ħω _ph s / u _ph вдоль направления s, испытывающего поглощение/испускание (= u _ph σ _ph,ω [ f _ph ( ω _ph , T ) - f _ph ( s )], σ _ph,ω : спектральный коэффициент поглощения ) и генерацию/удаление , равно ^{[43] [44]} ${\displaystyle \textstyle {\dot {s}}_{f,ph-e}\ }$ ${\displaystyle \textstyle {\dot {s}}_{f,ph,i}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}+u_{ph}\mathbf {s} \cdot \nabla f_{ph}=\left.{\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}\right|_{s}+u_{ph}\sigma _{ph,\omega }[f_{ph}(\omega _{ph},T)-f_{ph}(\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{f,ph,i}.}$$

В терминах интенсивности излучения ( I _ph,ω = u _ph f _ph ħω _ph D _ph,ω /4 π , D _ph,ω : плотность состояний фотонов) это называется уравнением переноса излучения (ERT) ^[44]. Вектор чистого потока теплового излучения равен $${\displaystyle {\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}+\mathbf {s} \cdot \nabla I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )=\left.{\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}\right|_{s}+\sigma _{ph,\omega }[I_{ph,\omega }(\omega _{ph},T)-I_{ph}(\omega _{ph},\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{ph,i}.}$$ ${\textstyle \mathbf {q} _{r}=\mathbf {q} _{ph}=\int _{0}^{\infty }\int _{4\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }d\Omega d\omega .}$

Из уравнения скорости популяции Эйнштейна спектральный коэффициент поглощения σ _ph,ω в ЭРТ равен, ^[45] где - скорость вероятности взаимодействия (поглощения) или коэффициент Эйнштейна B ₁₂ (Дж ⁻¹ м ³ с ⁻¹ ), который дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной плотности энергии поля излучения (1: основное состояние, 2: возбужденное состояние), а n _e - плотность электронов (в основном состоянии). Это можно получить, используя дипольный момент перехода μ _e с FGR и соотношением между коэффициентами Эйнштейна. Усреднение σ _ph,ω по ω дает средний коэффициент поглощения фотона σ _ph . $${\displaystyle \sigma _{ph,\omega }={\frac {\hbar \omega {\dot {\gamma }}_{ph,a}n_{e}}{u_{ph}}},}$$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{ph,a}}$

Для случая оптически толстой среды длиной L , т.е. σ _ф L >> 1, и с использованием газокинетической теории фотонная проводимость k _ф равна 16 σ _SB T ³ /3 σ _ф ( σ _SB : постоянная Стефана–Больцмана , σ _ф : среднее поглощение фотонов), а фотонная теплоемкость n _ф c _{v, ф} равна 16 σ _SB T ³ / u _ф .

Фотоны имеют самый большой диапазон энергии и центральные в различных энергетических преобразованиях. Фотоны взаимодействуют с электрическими и магнитными сущностями. Например, электрический диполь, который в свою очередь возбуждается оптическими фононами или вибрацией частиц жидкости, или переходными дипольными моментами электронных переходов. В физике теплопередачи кинетика взаимодействия фонона рассматривается с использованием теории возмущений (золотое правило Ферми) и гамильтониана взаимодействия. Взаимодействие фотона с электроном ^[46] где p _e — вектор дипольного момента, а a ^† и a — создание и уничтожение внутреннего движения электрона. Фотоны также участвуют в тройных взаимодействиях, например, поглощение/испускание фотона с помощью фононов (переход уровня энергии электрона). ^{[47] [48]} Колебательная мода в частицах жидкости может затухать или возбуждаться путем испускания или поглощения фотонов. Примерами являются твердое и молекулярное газовое лазерное охлаждение. ^{[49] [50] [51]} $${\displaystyle \mathrm {H} _{ph-e}=-{\frac {e_{c}}{m_{e}}}\left(a+a^{\dagger }\right)\mathbf {a} _{e}\cdot \mathbf {p} _{e}=-\left({\frac {\hbar \omega _{ph,\alpha }}{2\varepsilon _{o}V}}\right)^{1/2}(\mathbf {s} _{ph,\alpha }\cdot e_{c}\mathbf {x} _{e})\left(a+a^{\dagger }\right)\left(ce^{i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }+c^{\dagger }e^{-i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }\right),}$$

Используя вычисления ab initio, основанные на первых принципах вместе с теорией ЭМ, различные радиационные свойства, такие как диэлектрическая функция ( электрическая проницаемость , ε _e,ω ), спектральный коэффициент поглощения ( σ _ph,ω ) и комплексный показатель преломления ( m _ω ), рассчитываются для различных взаимодействий между фотонами и электрическими/магнитными сущностями в веществе. ^{[52] [53]} Например, мнимая часть ( ε _e,c,ω ) комплексной диэлектрической функции ( ε _e,ω = ε _e,r,ω + i ε _e,c,ω ) для электронного перехода через запрещенную зону равна ^[3] где V - объем элементарной ячейки, VB и CB обозначают валентную зону и зону проводимости, w _κ - вес, связанный с κ -точкой, а p _ij - матричный элемент импульса перехода. Действительная часть ε _e,r,ω получается из ε _e,c,ω с помощью соотношения Крамерса-Кронига ^[54] Здесь обозначает главное значение интеграла .
$${\displaystyle \varepsilon _{e,c,\omega }={\frac {4\pi ^{2}}{\omega ^{2}V}}\sum _{i\in \mathrm {VB} ,j\in \mathrm {CB} }\sum _{\kappa }w_{\kappa }|p_{ij}|^{2}\delta (E_{\kappa ,j}-E_{\kappa ,i}-\hbar \omega ),}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{e,r,\omega }=1+{\frac {4}{\pi }}\mathbb {P} \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega '{\frac {\omega '\varepsilon _{e,c,\omega '}}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

В другом примере для дальних ИК-областей, где задействованы оптические фононы, диэлектрическая функция ( ε _e,ω ) рассчитывается как где LO и TO обозначают продольные и поперечные моды оптических фононов, j — все ИК-активные моды, а γ — зависящий от температуры член затухания в модели осциллятора. ε _e,∞ — высокочастотная диэлектрическая проницаемость, которую можно рассчитать методом DFT, когда ионы рассматриваются как внешний потенциал. $${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{e,\omega }}{\varepsilon _{e,\infty }}}=1+\sum _{j}{\frac {\omega _{\mathrm {LO} ,j}^{2}-\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}}{\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }},}$$

Из этих расчетов диэлектрической функции ( ε _e,ω ) (например, Abinit , VASP и т. д.) комплексный показатель преломления m _ω (= n _ω + i κ _ω , n _ω : показатель преломления и κ _ω : показатель экстинкции) равен найдено, т. е. m _ω ² = ε _e,ω = ε _e,r,ω + i ε _e,c,ω ). Коэффициент отражения поверхности R идеальной поверхности при нормальном падении со стороны вакуума или воздуха определяется как ^[55] R = [( n _ω - 1) ² + κ _ω ² ]/[( n _ω + 1) ² + κ _ω ² ] . Спектральный коэффициент поглощения затем находится по формуле σ _ph,ω = 2 ω κ _ω / u _ph . Коэффициенты спектрального поглощения для различных электрических объектов приведены в таблице ниже. ^[56]

Смотрите также

• Передача энергии
• Массоперенос
• Преобразование энергии (преобразование энергии)
• Теплофизика
• Тепловая наука
• Тепловая инженерия

Ссылки

1. Тьен, Чан-Лин; Маджумдар, Арунава; Гернер, Фрэнк М., ред. (1998). Микромасштабный энергетический транспорт . Вашингтон, округ Колумбия: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1560324591.
2. Chen, G. (2004). Наномасштабный перенос энергии и преобразование: параллельное рассмотрение электронов, молекул, фононов и фотонов . Нью-Йорк: Оксфорд. ISBN 978-0195159424.
3. Чжан, ЗМ (2007). Нано/микромасштабный теплообмен ([Online-Ausg.]. Ред.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0071436748.
4. Volz, S. (2010). Микромасштабная и наномасштабная теплопередача (темы прикладной физики) . Springer. ISBN 978-3642071584.
5. Кавьяни, М. (2014). Физика теплопередачи (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107041783.
6. Кавьяни, М. (2011). Основы теплопередачи: принципы, материалы и приложения . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9781107012400.
7. Carey, VP; Chen, G.; Grigoropoulos, C.; Kaviany, M.; Majumdar, A. (2008). «Обзор физики теплопередачи». Наномасштабная и микромасштабная термофизическая инженерия . 12 (1): 1–60. Bibcode :2008NMTE...12....1C. CiteSeerX 10.1.1.475.5253 . doi :10.1080/15567260801917520. S2CID  51900755. 
8. Олигшлегер, К.; Шён, Дж. (1999). «Моделирование теплопроводности и переноса тепла в твёрдых телах». Physical Review B. 59 ( 6): 4125–4133. arXiv : cond-mat/9811156 . Bibcode : 1999PhRvB..59.4125O. doi : 10.1103/PhysRevB.59.4125. S2CID  118983264.
9. Пизани, К. (1996). Квантово-механический ab-initio расчет свойств кристаллических материалов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3540616450.
10. Шолл, Д.С.; Стеккель, Дж. А. (2009). Теория функционала плотности: практическое введение ([Online-Ausg.]. Ред.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0470373170.
11. Маркс, Д.; Хаттер, Дж. (2009).Молекулярная динамика ab initio : базовая теория и передовые методы (1-е изд., переизд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0521898638.
12. Хейл, Дж. М. (1997). Моделирование молекулярной динамики: элементарные методы (Переиздание. ред.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0471184393.
13. Френкель, Д.; Смит, Б. (2002). Понимание молекулярного моделирования от алгоритмов до приложений (2-е изд.). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0122673511.
14. Lundstrom, M. (2009). Fundamentals of Carrier Transport (2-е изд., цифровая версия. ред.). Cambridge [ua]: Cambridge Univ Press. ISBN 978-0521637244.
15. Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1977). Физика твердого тела (27-е переиздание). Нью-Йорк: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0030839931.
16. Займан, Дж. М. (1985). Принципы теории твердых тел (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521297332.
17. Dove, MT (2005). Введение в динамику решетки (цифровая печать 1-й pbk. версии. ред.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521398947.
18. Greegor, R.; Lytle, F. (1979). «Определение тонкой структуры термического беспорядка в Cu с помощью расширенного рентгеновского поглощения: сравнение теории и эксперимента». Physical Review B. 20 ( 12): 4902–4907. Bibcode : 1979PhRvB..20.4902G. doi : 10.1103/PhysRevB.20.4902.
19. Kittel, C. (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0471415268.
20. Миллат, Дж.; Ньето де Кастро, К. А., ред. (1996). Транспортные свойства жидкостей: их корреляция, прогнозирование и оценка . Кембридж: Univ. Press. ISBN 978-0521461788.
21. Холланд, М. (1963). «Анализ решеточной теплопроводности». Physical Review . 132 (6): 2461–2471. Bibcode : 1963PhRv..132.2461H. doi : 10.1103/PhysRev.132.2461.
22. Нильссон, Г.; Нелин, Г. (1971). «Фононные дисперсионные соотношения в Ge при 80 К». Physical Review B. 3 ( 2): 364–369. Bibcode :1971PhRvB...3..364N. doi :10.1103/PhysRevB.3.364.
23. Тивари, М.; Агравал, Б. (1971). «Анализ решеточной теплопроводности германия». Physical Review B. 4 ( 10): 3527–3532. Bibcode :1971PhRvB...4.3527T. doi :10.1103/PhysRevB.4.3527.
24. МакГоги, А.; Кавиани, М. (2004). «Количественная проверка модели фононной теплопроводности уравнения переноса Больцмана в приближении времени релаксации одномодового режима». Physical Review B. 69 ( 9): 094303. Bibcode : 2004PhRvB..69i4303M. doi : 10.1103/PhysRevB.69.094303.
25. Займан, Дж. М. (1972). Электроны и фононы: теория явлений переноса в твердых телах ([2e éd. corrigée] ed.). Лондон: Oxford University Press. ISBN 978-0198512356.
26. Callaway, J. (1959). "Модель решеточной теплопроводности при низких температурах". Physical Review . 113 (4): 1046–1051. Bibcode : 1959PhRv..113.1046C. doi : 10.1103/PhysRev.113.1046.
27. Берман, Р. (1979). Теплопроводность в твердых телах . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0198514305.
28. Seitz, F.; Ehrenreich, H.; Turnbull, D., ред. (1979). Физика твердого тела: достижения в исследованиях и приложениях . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 1–73. ISBN 978-0-12-607734-6.
29. Swartz, E.; Pohl, R. (1989). "Тепловое граничное сопротивление". Reviews of Modern Physics . 61 (3): 605–668. Bibcode : 1989RvMP...61..605S. doi : 10.1103/RevModPhys.61.605.
30. Онзагер, Л. (1931). «Взаимные отношения в необратимых процессах. I». Physical Review . 37 (4): 405–426. Bibcode :1931PhRv...37..405O. doi : 10.1103/PhysRev.37.405 .
31. Эмин, Д. (1987). «Икосаэдрические твердые тела, богатые бором». Physics Today . 40 (1): 55–62. Bibcode : 1987PhT....40a..55E. doi : 10.1063/1.881112.
32. Канацидис, М.Г.; Махати, SD; Хоган, Т.П., ред. (2003). Химия, физика и материаловедение термоэлектрических материалов: за пределами теллурида висмута . Нью-Йорк [ua]: Kluwer Academic/Plenum Publ. ISBN 978-0306477386.
33. Carey, VP (1999). Статистическая термодинамика и микромасштабная термофизика . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521654203.
34. Djeu, N.; Whitney, W. (1981). «Охлаждение лазера спонтанным антистоксовым рассеянием». Physical Review Letters . 46 (4): 236–239. Bibcode : 1981PhRvL..46..236D. doi : 10.1103/PhysRevLett.46.236.
35. Shin, S.; Kaviany, M. (2009). «Улучшенное лазерное охлаждение газа CO ₂ –Xe с использованием возбуждения (02 ^{0 0)».} Журнал прикладной физики . 106 (12): 124910–124910–6. Bibcode : 2009JAP...106l4910S. doi : 10.1063/1.3273488.
36. Саконг, С.; Кратцер, П.; Хан, X.; Ласс, К.; Вейнгарт, О.; Хассельбринк, Э. (2008). «Исследование колебательной релаксации валентного возбуждения CO на Si(100) теорией функционала плотности». Журнал химической физики . 129 (17): 174702. Бибкод : 2008JChPh.129q4702S. дои : 10.1063/1.2993254. ПМИД  19045365.
37. Сакурай, Дж. Дж. (1973). Advanced quantum mechanics (4-е издание, с исправлениями. ред.). Менло-Парк, Калифорния: Benjamin/Cummings. ISBN 978-0201067101.
38. Мерцбахер, Э. (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Wiley. ISBN 978-0471887027.
39. Siegman, AE (1986). Лазеры (8-е печатное издание). Mill Valley, Калифорния: University Science Books. ISBN 978-0935702118.
40. Оттенс, Р.; Кетчке, В.; Вайс, Стейси; Алеми, А.; Ландок, Р.; Мюллер, Г.; Рейтце, Д.; Таннер, Д.; Уайтинг, Б. (2011). "Радиационный перенос тепла в ближнем поле между макроскопическими плоскими поверхностями". Physical Review Letters . 107 (1): 014301. arXiv : 1103.2389 . Bibcode :2011PhRvL.107a4301O. doi :10.1103/PhysRevLett.107.014301. PMID  21797544. S2CID  27038790.
41. Татарский, ВИ; Рытов, СМ; Кравцов, Я.А. (1987). Основы статистической радиофизики (2-е перераб. и доп. ред.). Berlin ua: Springer. ISBN 978-3540125624.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
42. Домингес, Г.; Фольц, С.; Жулен, К.; Греффе, Ж.-Ж. (2005). «Передача тепла между двумя наночастицами посредством взаимодействия в ближнем поле». Physical Review Letters . 94 (8): 085901. Bibcode : 2005PhRvL..94h5901D. doi : 10.1103/PhysRevLett.94.085901. PMID  15783904.
43. Сэмпсон, Д. Х. (1965). Радиационный вклад в перенос энергии и импульса в газе . Interscience.
44. Howell, JR; Siegel, R.; Mengüç, MP (2010). Теплопередача теплового излучения (5-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC. ISBN 978-1439805336.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
45. Лаудон, Р. (2000). Квантовая теория света (3-е изд.). Оксфорд [ua]: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0198501763.
46. Ди Бартоло, Б. (2010). Оптические взаимодействия в твердых телах (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-9814295741.
47. Гарсия, Х.; Калянараман, Р. (2006). «Фонон-ассистированное двухфотонное поглощение в присутствии постоянного поля: нелинейный эффект Франца–Келдыша в непрямозонных полупроводниках». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 39 (12): 2737–2746. Bibcode : 2006JPhB...39.2737G. doi : 10.1088/0953-4075/39/12/009.
48. Ким, Дж.; Капур, А.; Кавиани, М. (2008). «Материальные показатели для лазерного охлаждения твердых тел». Physical Review B. 77 ( 11): 115127. Bibcode : 2008PhRvB..77k5127K. doi : 10.1103/PhysRevB.77.115127.
49. Филлипс, У. Д. (1998). «Нобелевская лекция: Лазерное охлаждение и захват нейтральных атомов». Reviews of Modern Physics . 70 (3): 721–741. Bibcode : 1998RvMP...70..721P. doi : 10.1103/RevModPhys.70.721 .
50. Чан, Дж.; Алегре, Т. П. Майер; Сафави-Наеини, Амир Х.; Хилл, Джефф Т.; Краузе, Алекс; Грёблахер, Саймон; Аспельмейер, Маркус; Пейнтер, Оскар (2011). «Лазерное охлаждение наномеханического осциллятора в его квантовом основном состоянии». Nature . 478 (7367): 89–92. arXiv : 1106.3614 . Bibcode :2011Natur.478...89C. doi :10.1038/nature10461. PMID  21979049. S2CID  4382148.
51. Хелен, М.; Эпштейн, Р.; Иноуэ, Х. (2007). "Модель лазерного охлаждения в легированном Yb3+ фторцирконатном стекле ZBLAN". Physical Review B. 75 ( 14): 144302. Bibcode : 2007PhRvB..75n4302H. doi : 10.1103/PhysRevB.75.144302.
52. Бао, Х.; Руан, Х. (2009). «Расчеты ab initio тепловых радиационных свойств: полупроводник GaAs». Международный журнал по тепло- и массообмену . 53 (7–8): 1308–1312. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2009.12.033.
53. Bao, H.; Qiu, B.; Zhang, Y.; Ruan, X. (2012). «Подход молекулярной динамики на основе первых принципов для прогнозирования времени жизни оптических фононов и отражения полярных материалов в дальней инфракрасной области». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 113 (13): 1683–1688. Bibcode : 2012JQSRT.113.1683B. doi : 10.1016/j.jqsrt.2012.04.018.
54. Вутен, Ф. (1972). Оптические свойства твердых тел (3. [д-р] ред.). Сан-Диего [и т. д.]: Academic Press. ISBN 978-0127634500.
55. Педротти, FL; Педротти, LS; Педротти, LM (2007). Введение в оптику (3-е изд. -- ред.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0131499331.
56. Борн, М.; Эмиль Вольф; AB Bhatia (2006). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (переиздание с исправлениями, 4-е издание. 7-е расширенное издание). Кембридж [ua]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521642224.