Закон Стефана-Больцмана

Физический закон об излучательной способности абсолютно черного тела

Полная излучаемая энергия, , черного тела как функция его температуры, . Верхняя (черная) кривая изображает закон Стефана-Больцмана, . Нижняя (синяя) кривая - полная энергия согласно приближению Вина , ${\displaystyle j\equiv M^{\circ }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}}$ ${\displaystyle M_{W}^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}$

Закон Стефана-Больцмана , также известный как закон Стефана , описывает интенсивность теплового излучения , испускаемого веществом, в терминах температуры этого вещества . Он назван в честь Йозефа Стефана , который эмпирически вывел это соотношение, и Людвига Больцмана, который вывел этот закон теоретически.

Для идеального поглотителя/излучателя или черного тела закон Стефана-Больцмана гласит, что полная энергия, излучаемая единицей площади поверхности за единицу времени (также известная как светимость ), прямо пропорциональна четвертой степени температуры черного тела, T : $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}.}$$

Константа пропорциональности , , называется константой Стефана–Больцмана . Она имеет значение ${\displaystyle \sigma }$

σ  = 5,670 374 419 ... × 10 ^-8  Вт⋅м ^-2 ⋅К ^-4 . ^[1]

В общем случае закон Стефана-Больцмана для лучистой светимости имеет вид: где - излучательная способность поверхности, испускающей излучение. Излучательная способность обычно находится в пределах от нуля до единицы. Излучательная способность, равная единице, соответствует абсолютно черному телу. $${\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4},}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Подробное объяснение

Лучистая светимость (ранее называвшаяся лучистой эмиссией ), имеет размерность потока энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), а единицами измерения СИ являются джоули в секунду на квадратный метр (Дж⋅с ⁻ 1⋅м ⁻² ), или, что эквивалентно, ватты на квадратный метр (Вт⋅м ⁻² ). ^[2] Единицей измерения абсолютной температуры в СИ , T , является кельвин (К). ${\displaystyle M}$

Чтобы найти полную мощность , излучаемую объектом, умножьте светимость на площадь поверхности объекта : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.}$$

Материя, которая не поглощает все падающее излучение, испускает меньше полной энергии, чем черное тело. Излучение уменьшается на фактор , где излучательная способность , , является свойством материала, которое для большинства веществ удовлетворяет . Излучательная способность может в общем случае зависеть от длины волны , направления и поляризации . Однако излучательная способность, которая появляется в ненаправленной форме закона Стефана-Больцмана, является полусферической полной излучательной способностью , которая отражает излучение, суммированное по всем длинам волн, направлениям и поляризациям. ^{[3] : 60} ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}$

Форма закона Стефана-Больцмана, включающая излучательную способность, применима ко всей материи при условии, что материя находится в состоянии локального термодинамического равновесия (ЛТР), так что ее температура хорошо определена. ^{[3] : 66n, 541} (Это тривиальный вывод, поскольку излучательная способность, , определяется как величина, делающая это уравнение справедливым. Нетривиальным является утверждение, что , что является следствием закона теплового излучения Кирхгофа . ^{[4] : 385} ) ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \leq 1}$

Так называемое серое тело — это тело, для которого спектральная излучательная способность не зависит от длины волны, так что общая излучательная способность, , является постоянной величиной. ^{[3] : 71} В более общем (и реалистичном) случае спектральная излучательная способность зависит от длины волны. Общая излучательная способность, применимая к закону Стефана-Больцмана, может быть рассчитана как взвешенное среднее значение спектральной излучательной способности, причем спектр излучения черного тела служит весовой функцией . Из этого следует, что если спектральная излучательная способность зависит от длины волны, то общая излучательная способность зависит от температуры, т. е . . ^{[3] : 60} Однако, если зависимость от длины волны мала, то и зависимость от температуры будет малой. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (T)}$

Частицы с волновым и субволновым масштабом ^[5] , метаматериалы ^[6] и другие наноструктуры ^[7] не подвержены ограничениям лучевой оптики и могут быть спроектированы так, чтобы иметь излучательную способность больше 1.

В национальных и международных нормативных документах рекомендуется использовать символ для обозначения лучистой светимости ; надстрочный круг (°) указывает на термин, относящийся к черному телу. ^[2] (Нижний индекс «e» добавляется, когда важно отличить энергетическую ( радиометрическую ) величину лучистую светимость , , от аналогичной величины человеческого зрения ( фотометрической ), световой светимости , обозначаемой . ^[8] ) В общепринятом использовании символ, используемый для лучистой светимости (часто называемой лучистой эмиссией ), различается в разных текстах и ​​в разных областях. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {v} }}$

Закон Стефана-Больцмана может быть выражен в виде формулы для яркости как функции температуры. Яркость измеряется в ваттах на квадратный метр на стерадиан (Вт⋅м ⁻² ⋅ср ⁻¹ ). Закон Стефана-Больцмана для яркости черного тела: ^{[9] : 26  [10]} $${\displaystyle L_{\Omega }^{\circ }={\frac {M^{\circ }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}\,T^{4}.}$$

Закон Стефана–Больцмана, выраженный в виде формулы для плотности энергии излучения, имеет вид: ^[11] где — скорость света. $${\displaystyle w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},}$$ ${\displaystyle c}$

История

В 1864 году Джон Тиндаль представил измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующий цвет нити. ^{[12] [13] [14] [15]} Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1877 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( О связи между тепловым излучением и температурой ) в Бюллетенях сессий Венской академии наук. ^[16]

Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманом (1844–1906) в 1884 году, опираясь на работу Адольфо Бартоли . ^[17] Бартоли в 1876 году вывел существование давления излучения из принципов термодинамики . Следуя за Бартоли, Больцман рассмотрел идеальную тепловую машину, использующую электромагнитное излучение вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.

Закон был почти сразу же экспериментально проверен. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но идеальная точность в пределах погрешностей измерений была подтверждена вплоть до температур 1535 К к 1897 году. ^[18] Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана–Больцмана как функции скорости света , постоянной Больцмана и постоянной Планка , является прямым следствием закона Планка , сформулированного в 1900 году.

Постоянная Стефана–Больцмана

Постоянная Стефана-Больцмана, σ , выводится из других известных физических констант : где k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , а c — скорость света в вакууме . ^{[19] [4] : 388} $${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}$$

По состоянию на пересмотр СИ 2019 года , который устанавливает точные фиксированные значения для k , h и c , постоянная Стефана–Больцмана равна точно: Таким образом, ^[20] $${\displaystyle \sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}}$$

σ =5,670 374 419 ... × 10 ^-8  Вт⋅м ^-2 ⋅К ^-4 .

До этого значение рассчитывалось по измеренному значению газовой постоянной . ^[21] ${\displaystyle \sigma }$

Числовое значение постоянной Стефана–Больцмана в других системах единиц отличается, как показано в таблице ниже.

Примеры

Температура Солнца

Логарифмические графики пиковой длины волны излучения и светимости в зависимости от температуры черного тела . Красные стрелки показывают, что черные тела с температурой 5780 К имеют пик 501 нм и светимость 63,3 МВт/м ^{2 .}

С помощью своего закона Стефан также определил температуру поверхности Солнца . ^[23] Из данных Жака-Луи Соре (1827–1890) ^[24] он сделал вывод , что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше плотности потока энергии некоторой нагретой металлической пластины (тонкой пластины). Круглая пластина была помещена на таком расстоянии от измерительного прибора, что она была бы видна на том же угловом диаметре, что и Солнце. Соре оценил температуру пластины примерно в 1900–2000 ° C. Стефан предположил, что 1/3 потока энергии от Солнца поглощается атмосферой Земли , поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза большее, чем значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.

Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Полученная Стефаном температура была медианным значением предыдущих, 1950 °C и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. Поскольку 2,57 ⁴ = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше температуры ламеллы, поэтому Стефан получил значение 5430 °C или 5700 K. Это было первое разумное значение для температуры Солнца. До этого значения варьировались от 1800 °C доБыло заявлено 13 000 000  °C ^[25] . Нижнее значение 1800 °C было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с использованием закона Дюлонга–Пти . ^{[26] [27]} Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.

Температура звезд

Температуру звезд , отличных от Солнца, можно аппроксимировать, используя аналогичные средства, рассматривая излучаемую энергию как излучение черного тела . ^[28] Итак: где L — светимость , σ — постоянная Стефана-Больцмана, R — радиус звезды, а T — эффективная температура . Эту формулу затем можно переформулировать для расчета температуры: или, альтернативно, радиуса: $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$ $${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$ $${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}$$

Те же формулы можно упростить для вычисления параметров относительно Солнца: где - радиус Солнца и т. д. Их также можно переписать в терминах площади поверхности A и светимости : где и $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{\odot }}$ ${\displaystyle M^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}$

С законом Стефана-Больцмана астрономы могут легко вывести радиусы звезд. Закон также выполняется в термодинамике черных дыр в так называемом излучении Хокинга .

Эффективная температура Земли

Аналогично мы можем вычислить эффективную температуру Земли T _⊕ , приравняв энергию, полученную от Солнца, и энергию, излучаемую Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь). Светимость Солнца, L _⊙ , определяется по формуле: $${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

На Земле эта энергия проходит через сферу с радиусом a ₀ , расстояние между Землей и Солнцем, а энергетическая освещенность (принимаемая мощность на единицу площади) определяется выражением $${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

Радиус Земли равен R _⊕ , а следовательно, имеет поперечное сечение . Лучистый поток (т.е. солнечная энергия), поглощаемый Землей, таким образом, определяется по формуле: ${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$ $${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

Поскольку закон Стефана–Больцмана использует четвертую степень, он оказывает стабилизирующее воздействие на обмен, и поток, испускаемый Землей, имеет тенденцию быть равным потоку, поглощаемому, что близко к устойчивому состоянию, где: $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Затем можно найти T _⊕ : где T _⊙ — температура Солнца, R _{⊙ —} радиус Солнца, а a ₀ — расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру 6 °C на поверхности Земли, предполагая, что она идеально поглощает все падающее на нее излучение и не имеет атмосферы. $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$

Альбедо Земли составляет 0,3, что означает, что 30% солнечного излучения, которое достигает планеты, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, предположив, что поглощенная энергия умножается на 0,7, но планета все еще излучает как черное тело (последнее по определению эффективной температуры , которую мы и вычисляем). Это приближение уменьшает температуру в 0,7 ^{1/4 раза} , что дает 255 К (−18 °C; −1 °F). ^{[29] [30]}

Вышеуказанная температура — это температура Земли из космоса, не температура поверхности, а средняя температура всех излучающих тел Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 К (15 °C; 59 °F), что выше эффективной температуры 255 К (−18 °C; −1 °F) и даже выше температуры 279 К (6 °C; 43 °F), которую имело бы черное тело.

В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос — спросить, какой будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла наклона солнца к поверхности и от того, через какой объем воздуха прошел солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, облученность может достигать 1120 Вт/м2 ^. [ ^31] Тогда закон Стефана-Больцмана дает температуру или 102 °C (216 °F). (Выше атмосферы результат еще выше: 394 K (121 °C; 250 °F).) Мы можем думать о поверхности Земли как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой, и «пытающейся» достичь равновесия со звездным и, возможно, лунным светом ночью, но нагреваемой атмосферой. $${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$

Происхождение

Термодинамический вывод плотности энергии

Тот факт, что плотность энергии ящика, содержащего излучение, пропорциональна, можно вывести с помощью термодинамики. ^{[32] [15]} Этот вывод использует соотношение между давлением излучения p и плотностью внутренней энергии , соотношение, которое можно показать с помощью формы тензора электромагнитного напряжения-энергии . Это соотношение: ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

Теперь из основного термодинамического соотношения , после деления на и фиксации , получаем следующее выражение : $${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$ ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла : $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

Из определения плотности энергии следует, что где плотность энергии излучения зависит только от температуры, то поэтому $${\displaystyle U=uV}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

Теперь равенство после подстановки $${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

Между тем, давление — это скорость изменения импульса на единицу площади. Поскольку импульс фотона равен энергии, деленной на скорость света, где множитель 1/3 возникает из-за проекции переноса импульса на нормаль к стенке контейнера. $${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$

Поскольку частная производная может быть выражена как отношение только между и (если изолировать ее на одной стороне равенства), то частная производная может быть заменена обычной производной. После разделения дифференциалов равенство становится что немедленно приводит к , с некоторой константой интегрирования. ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$ ${\displaystyle u=AT^{4}}$ ${\displaystyle A}$

Вывод из закона Планка

Вывод закона Стефана–Больцмана с использованием закона Планка .

Закон можно вывести, рассматривая небольшую плоскую поверхность черного тела , излучающую в полусферу. Этот вывод использует сферические координаты , где θ — зенитный угол, а φ — азимутальный угол; и небольшая плоская поверхность черного тела лежит на плоскости xy, где θ = ^π / ₂ .

Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка , где $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$количество мощности на единицу площади поверхности, на единицу телесного угла , на единицу частоты, излучаемое на частоте черным телом при температуре T. ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle h}$постоянная Планка
• ${\displaystyle c}$это скорость света , и
• ${\displaystyle k}$постоянная Больцмана .

Величина представляет собой мощность , излучаемую поверхностью площадью A через телесный угол d Ω в диапазоне частот от ν до ν + dν . ${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$

Закон Стефана-Больцмана определяет мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела, $${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

Обратите внимание, что косинус появляется, поскольку черные тела являются ламбертовскими (т.е. подчиняются закону косинуса Ламберта ), что означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет равна фактической интенсивности, умноженной на косинус зенитного угла. Чтобы вывести закон Стефана-Больцмана, мы должны интегрировать по полусфере и интегрировать от 0 до ∞. ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

Затем подставляем вместо I : $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

Чтобы оценить этот интеграл, выполните замену, которая дает: $${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

Интеграл справа является стандартным и имеет много названий: это частный случай интеграла Бозе–Эйнштейна , полилогарифма или дзета-функции Римана . Значение интеграла равно (где — гамма-функция ), что дает результат, который для идеальной поверхности черного тела: ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

Наконец, это доказательство начиналось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любая дифференцируемая поверхность может быть аппроксимирована набором небольших плоских поверхностей. Пока геометрия поверхности не заставляет черное тело поглощать свое собственное излучение, полная излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а полная площадь поверхности является просто суммой площадей каждой поверхности — так что этот закон справедлив и для всех выпуклых черных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру по всей поверхности. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучает так, как если бы она сама была черным телом.

Плотность энергии

Полную плотность энергии U можно рассчитать аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование производится по всей сфере и косинус отсутствует, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c, чтобы получить плотность энергии U : Таким образом , заменяется на , что дает дополнительный множитель 4. $${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

Таким образом, в целом: Произведение иногда называют постоянной излучения или постоянной плотности излучения . ^{[33] [34]} $${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$ ${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$

Разложение по фотонам

Закон Стефана-Больцмана можно выразить как ^[35], где поток фотонов, , определяется выражением , а средняя энергия на фотон, , определяется выражением $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle }$$ ${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }}$ $${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu }$$ $${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}}$$ ${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$ $${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.}$$

Марр и Уилкин (2012) рекомендуют, чтобы студенты изучали закон смещения Вина , а не изучали его , и чтобы указанное выше разложение преподавалось одновременно с изучением закона Стефана-Больцмана. ^[35] ${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$

Смотрите также

• Излучение черного тела
• Закон Рэлея-Джинса
• Уравнение Сакумы–Хаттори

Примечания

1. "2022 CODATA Value: Stefan–Boltzmann constant". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
2. "Теплоизоляция — Передача тепла излучением — Словарь". ISO_9288:2022 . Международная организация по стандартизации . 2022 . Получено 2023-06-17 .
3. Siegel, Robert; Howell, John R. (1992). Теплопередача с помощью теплового излучения (3-е изд.). Taylor & Francis. ISBN 0-89116-271-2.
4. Reif, F. (1965). Основы статистической и тепловой физики . Waveland Press. ISBN 978-1-57766-612-7.
5. Борен, Крейг Ф.; Хаффман, Дональд Р. (1998). Поглощение и рассеяние света малыми частицами. Wiley. С. 123–126. ISBN 978-0-471-29340-8.
6. Нариманов, Евгений Э.; Смольянинов, Игорь И. (2012). «За пределами закона Стефана–Больцмана: Тепловая гиперпроводимость». Конференция по лазерам и электрооптике 2012 г. Технический сборник OSA. Оптическое общество Америки. стр. QM2E.1. arXiv : 1109.5444 . CiteSeerX 10.1.1.764.846 . doi :10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN  978-1-55752-943-5. S2CID  36550833.
7. Golyk, VA; Krüger, M.; Kardar, M. (2012). «Тепловое излучение длинных цилиндрических объектов». Phys. Rev. E . 85 (4): 046603. doi :10.1103/PhysRevE.85.046603. hdl : 1721.1/71630 . PMID  22680594. S2CID  27489038.
8. "radiant exitance". Electropedia: The World's Online Electrotechnical Vocabulary . Международная электротехническая комиссия . Получено 20 июня 2023 г.
9. Гуди, Р. М.; Юнг, Ю. Л. (1989). Атмосферная радиация: Теоретическая основа . Oxford University Press. ISBN 0-19-505134-3.
10. Грейнджер, РГ (2020). "Учебник по атмосферному радиационному переносу: Глава 3. Радиометрические основы" (PDF) . Группа данных наблюдения за Землей, Физический факультет, Оксфордский университет . Получено 15 июня 2023 г. .
11. "Плотность энергии излучения". HyperPhysics . Получено 20 июня 2023 г.
12. Тиндаль, Джон (1864). «О светящемся [т. е. видимом] и неясном [т. е. инфракрасном] излучении». Philosophical Magazine . 4-я серия. 28 : 329–341. ; см. стр. 333.
13. В своем учебнике физики 1875 года Адольф Вюлльнер процитировал результаты Тиндаля, а затем добавил оценки температуры, которые соответствовали цвету платиновой нити: Вюлльнер, Адольф (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Учебник экспериментальной физики ] (на немецком языке). Т. 3. Лейпциг, Германия: BG Teubner. С. 215.
14. Из Wüllner 1875, стр. 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu." (Как следует из экспериментов Дрейпера, которые будут вскоре рассмотрены, температура около 525°[C] соответствует слабому красному свечению; [температура] около 1200°[C] - полному белому свечению. Таким образом, в то время как температура поднялась лишь немного более чем вдвое, интенсивность излучения увеличилась с 10,4 до 122; то есть почти в 12 раз.)
15. Wisniak, Jaime (ноябрь 2002 г.). "Закон теплового излучения – от Ньютона до Стефана" (PDF) . Indian Journal of Chemical Technology . 9 : 551–552 . Получено 15.06.2023 .
16. Стефан заявил (Stefan 1879, стр. 421): «Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur rational anzunehmen». (Прежде всего, я хочу здесь указать на наблюдение, которое Вюлльнер в своем учебнике добавил к отчету об экспериментах Тиндаля по излучению платиновой проволоки, накаленной электрическим током, поскольку это наблюдение впервые заставило меня предположить, что тепловое излучение пропорционально четвертой степени абсолютной температуры.)
17. Больцманн, Людвиг (1884). «Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der Electromagnetischen Lichttheorie» [Вывод закона Стефана, касающегося зависимости теплового излучения от температуры, из электромагнитной теории света]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 258 (6): 291–294. Бибкод : 1884АнП...258..291Б. дои : 10.1002/andp.18842580616 .
18. Бадино, М. (2015). Ухабистая дорога: Макс Планк от теории излучения к квантовой (1896–1906). SpringerBriefs по истории науки и техники. Springer International Publishing. стр. 31. ISBN 978-3-319-20031-6. Получено 15.06.2023 .
19. "Термодинамический вывод закона Стефана–Больцмана". TECS . 21 февраля 2020 г. . Получено 20 июня 2023 г. .
20. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A081820". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
21. Молдовер, MR; Труслер, JPM; Эдвардс, TJ; Мель, JB; Дэвис, RS (1988-01-25). «Измерение универсальной газовой постоянной R с использованием сферического акустического резонатора». Physical Review Letters . 60 (4): 249–252. Bibcode : 1988PhRvL..60..249M. doi : 10.1103/PhysRevLett.60.249. PMID  10038493.
22. Çengel, Yunus A. (2007). Тепло- и массообмен: практический подход (3-е изд.). McGraw Hill.
23. Стефан 1879, стр. 426–427.
24. Соре, JL (1872). Comparison des Intensités Calorifiques du rayonnement Solaire et du rayonnement d'un Corps Chauffé à La Lampe Oxydrique [ Сравнение тепловых интенсивностей солнечной радиации и радиации тела, нагретого кислородно-водородной горелкой ]. 2-я серия (на французском языке). Том. 44. Женева, Швейцария: Архивы естественных и физических наук. стр. 220–229.
25. Уотерстон, Джон Джеймс (1862). «Отчет о наблюдениях солнечной радиации». Philosophical Magazine . 4-я серия. 23 (2): 497–511. Bibcode : 1861MNRAS..22...60W. doi : 10.1093/mnras/22.2.60 .На стр. 505 шотландский физик Джон Джеймс Уотерстон подсчитал, что температура поверхности Солнца может составлять 12 880 000°.
26. Пуйе (1838). «Мемуар о солнечном тепле, о излучающей и поглощающей способности атмосферного воздуха и о температуре космос]. Comptes Rendus (на французском языке). 7 (2): 24–65. На стр. 36, Пуйе оценивает температуру Солнца: «… cette température pourrait être de 1761°…» (… эта температура [т. е. Солнца] могла составлять 1761°…)
27. Английский перевод: Тейлор, Р.; Вульф, Х. (1966). Научные мемуары, выбранные из трудов иностранных академий наук и научных обществ, а также из иностранных журналов. Johnson Reprint Corporation . Получено 15 июня 2023 г.
28. "Светимость звезд". Australian Telescope Outreach and Education . Получено 2006-08-13 .
29. Четвертый оценочный доклад Межправительственной группы экспертов по изменению климата. Глава 1: Исторический обзор науки об изменении климата (PDF) (Отчет). стр. 97. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-26.
30. "Солнечная радиация и энергетический баланс Земли". Архивировано из оригинала 2012-07-17 . Получено 2010-08-16 .
31. "Введение в солнечную радиацию". Newport Corporation. Архивировано из оригинала 29 октября 2013 г.
32. Книжник, Калман. "Вывод закона Стефана–Больцмана" (PDF) . Университет Джонса Хопкинса – Кафедра физики и астрономии . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2018-09-03 .
33. Лемонс, Дон С.; Шанахан, Уильям Р.; Бухгольц, Луис Дж. (2022-09-13). По следам излучения черного тела: Макс Планк и физика его эпохи. MIT Press. стр. 38. ISBN 978-0-262-37038-7.
34. Кампана, С.; Мангано, В.; Блустин, А. Дж.; Браун, П.; Берроуз, Д. Н.; Чинкарини, Г.; Каммингс, Дж. Р.; Кусумано, Г.; Валле, М. Делла; Малезани, Д.; Месарош, П.; Нусек, Дж. А.; Пейдж, М.; Сакамото, Т.; Ваксман, Э. (август 2006 г.). «Связь GRB 060218 со сверхновой и эволюция ударной волны». Nature . 442 (7106): 1008–1010. arXiv : astro-ph/0603279 . Bibcode :2006Natur.442.1008C. doi :10.1038/nature04892. ISSN  0028-0836. PMID  16943830. S2CID  119357877.
35. Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francis P. (2012). «Лучшее представление закона излучения Планка». Am. J. Phys . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode :2012AmJPh..80..399M. doi :10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.

Ссылки

• Стефан, Дж. (1879). «Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur» [О взаимосвязи между тепловым излучением и температурой] (PDF) . Sitzungsberichte der Mathematich-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке). 79 : 391–428.
• Больцман, Людвиг (1884). «Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der Electromagnetischen Lichttheorie» [Вывод маленького закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры в электромагнитной теории света]. Аннален дер Физик и Химия . 258 (6): 291–294. Бибкод : 1884АнП...258..291Б. дои : 10.1002/andp.18842580616 . ISSN  0003-3804.